Chain Rule MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Chain Rule - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

Last updated on May 20, 2025

पाईये Chain Rule उत्तर और विस्तृत समाधान के साथ MCQ प्रश्न। इन्हें मुफ्त में डाउनलोड करें Chain Rule MCQ क्विज़ Pdf और अपनी आगामी परीक्षाओं जैसे बैंकिंग, SSC, रेलवे, UPSC, State PSC की तैयारी करें।

Latest Chain Rule MCQ Objective Questions

Chain Rule Question 1:

Comprehension:

निर्देश : निम्नलिखित प्रश्नों के लिए नीचे दिए गए कथनों पर विचार करें:

माना f : (-1, 1) → R एक अवकलनीय फलन है जहाँ f(0) = -1 और f’(0) = 1 माना h(x) = f(2f(x) +2) और g(x) = (h(x))2

g’(0) किसके बराबर है?

  1. -4
  2. -2
  3. 0
  4. 4

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : -4

Chain Rule Question 1 Detailed Solution

व्याख्या:

दिया गया है:

f(0) = -1 और f'(0) = 1 मान लीजिये h(x) = f(2f(x) +2) और g(x) = (h(x))2

⇒ g(x) = (h(x))2

g'(x) = 2(h(x)).h'(x)

⇒ g'(0) = 2(h(0)).h'(0)

= 2f(2f (0) + 2).2

= 2f(0).2 = (-2).2 = -4

∴ विकल्प (a) सही है

Chain Rule Question 2:

Comprehension:

निर्देश : निम्नलिखित प्रश्नों के लिए नीचे दिए गए कथनों पर विचार करें:

माना f : (-1, 1) → R एक अवकलनीय फलन है जहाँ f(0) = -1 और f’(0) = 1 माना h(x) = f(2f(x) +2) और g(x) = (h(x))2

h’(0) किसके बराबर है?

  1. -2
  2. -1
  3. 0
  4. 2

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : 2

Chain Rule Question 2 Detailed Solution

व्याख्या:

मान लीजिये कि f: (-1, 1)→ R एक अवकलनीय फलन है जहाँ f(0) = -1 और f'(0) = 1

⇒ h(x) = f(2f(x) + 2)

h'(x) = f'(2f(x) + 2)2f'(x)

⇒ h'(0) = f'(2f(0) + 2).2f'(0)

= f'(-2 + 2).2(1)

= f'(0).2 = (1).2 = 2

∴ विकल्प (d) सही है।

Chain Rule Question 3:

x के संबंध में sin (x2 + 9) का अवकलन कीजिए।

  1. 2.cos (x2 + 9)
  2. 2x.sin (x2 + 9)
  3. 2cos (x + 9)
  4. 2x cos (x2 + 9)
  5. 2cos (x + 7)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : 2x cos (x2 + 9)

Chain Rule Question 3 Detailed Solution

दिया गया है:

x के सापेक्ष sin(x2 + 9) का अवकलन कीजिए।

प्रयुक्त सूत्र:

श्रृंखला नियम: यदि y = sin(u) और u = x2 + 9 है, तब dy/dx = cos(u) x du/dx

गणना:

माना, y = sin(x2 + 9)

⇒ dy/dx = cos(x2 + 9) × (d/dx)(x2 + 9)

⇒ dy/dx = cos(x2 + 9) × 2x

⇒ dy/dx = 2x cos(x2 + 9)

∴ सही उत्तर विकल्प (4) है।

Chain Rule Question 4:

x के संबंध में sin (x2 + 9) का अवकलन कीजिए।

  1. 2.cos (x2 + 9)
  2. 2x.sin (x2 + 9)
  3. 2cos (x + 9)
  4. 2x cos (x2 + 9)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : 2x cos (x2 + 9)

Chain Rule Question 4 Detailed Solution

दिया गया है:

x के सापेक्ष sin(x2 + 9) का अवकलन कीजिए।

प्रयुक्त सूत्र:

श्रृंखला नियम: यदि y = sin(u) और u = x2 + 9 है, तब dy/dx = cos(u) x du/dx

गणना:

माना, y = sin(x2 + 9)

⇒ dy/dx = cos(x2 + 9) × (d/dx)(x2 + 9)

⇒ dy/dx = cos(x2 + 9) × 2x

⇒ dy/dx = 2x cos(x2 + 9)

∴ सही उत्तर विकल्प (4) है।

Chain Rule Question 5:

यदि y = 2x + x log x, तो \(\rm \frac{dy}{dx}:\) ज्ञात कीजिए। 

  1. 2x log 2 - log x - 1
  2. 2x log 2 - log x + 1
  3. 2x log 2 + log x - 1
  4. 2x log 2 + log x + 1

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : 2x log 2 + log x + 1

Chain Rule Question 5 Detailed Solution

दिया गया है:

 y = 2x + x log x

अवधारणा:

सूत्र \(\rm \frac{d}{dx}(a^x)=a^x\ loga\) का प्रयोग कीजिए। 

\(\rm \frac{d}{dx}[f(x)g(x)]=\frac{d}{dx}[f(x)]g(x)+f(x)\frac{d}{dx}[g(x)]\)

गणना:

 y = 2x + x log x

x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

\(\rm \frac{dy}{dx}=2^x\ log 2 + 1\cdot log x + x\cdot\frac{1}{x}\)

\(\rm \frac{dy}{dx}\)= 2x log 2 + log x + 1

अतः विकल्प (4) सही है।

Top Chain Rule MCQ Objective Questions

यदि y = \(\rm e^{x+e^{x+e^{x+^{\ ...\ \infty}}}}\) तो \(\rm \dfrac{dy}{dx}\) क्या है?

  1. \(\rm \dfrac{1+y}{y}\)
  2. \(\rm \dfrac{y}{1+y}\)
  3. \(\rm \dfrac{y}{1-y}\)
  4. \(\rm \dfrac{1-y}{y}\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : \(\rm \dfrac{y}{1-y}\)

Chain Rule Question 6 Detailed Solution

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संकल्पना:

अवकलजों का शृंखला नियम:

\(\rm \dfrac{d}{dx}f(g(x))=\dfrac{d}{d\ g(x)}f(g(x))\times \dfrac{d}{dx}g(x)\)

\(\rm \dfrac{d}{dx}e^x\) = ex

गणना:

यह दिया गया है कि y = \(\rm e^{x+e^{x+e^{x+^{\ ...\ \infty}}}}\)

∴ y = \(\rm e^{x+(e^{x+e^{x+^{\ ...\ \infty}}})}=e^{x+y}\)

x के संबंध में दोनों पक्षों को अवकलित करके और श्रृंखला नियम का उपयोग करना, हमें मिलता है:

\(\rm \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{d}{dx}e^{x+y}\)

\(\rm \dfrac{dy}{dx}=e^{x+y}\dfrac{d}{dx}(x+y)\)

\(\rm \dfrac{dy}{dx}=y\left (1+\dfrac{dy}{dx} \right )\)

\(\rm \dfrac{dy}{dx}=y+y\dfrac{dy}{dx}\)

\(\rm (1-y)\dfrac{dy}{dx}=y\)

\(\rm \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y}{1-y}\)

यदि f'(x) = g(x) और g'(x) = f(x2) है, तब f"(x2) का माना बराबर है 

  1. g(x2)
  2. f(x4)
  3. f(x3)
  4. g(x4)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : f(x4)

Chain Rule Question 7 Detailed Solution

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यदि f'(x) = g(x) और g'(x) = f(x2) है, तब f"(x2

दिया गया है f’(x) = g(x)

x के सन्दर्भ में पृथक्करण से हमें प्राप्त होता है

f’’(x) = g’(x)

f’’(x) = f(x2

फलन को xसे गुणा करने पर

f’’(x2) = f(x4)

यदि y = sin (log cos x) तो \(\rm \frac{dy}{dx}\) का मूल्य क्या है?

  1. cos (log (cos x)).tan x
  2. sin (log (cos x)).tan x
  3. -cos (log (cos x)).tan x
  4. -cos (log (sin x)).tan x

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : -cos (log (cos x)).tan x

Chain Rule Question 8 Detailed Solution

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अवधारणा:

अवकलन सूत्र

\(\rm \frac{d\: (sin x)}{dx}\) = cos x 

\(\rm \frac{d\: (log \: x)}{dx} = \frac{1}{x}\)

\(\rm \frac{d\: (cos\: x)}{dx} \) = - sin x

त्रिकोणमिति सूत्र

\(\rm tan\: \theta = \frac{sin \: \theta }{cos\: \theta }\)

 

गणना:

दिया हुआ: y = sin (log cos x)

x के संबंध में अवकलन

\(\rm \frac{dy}{dx}\) = \(\rm \frac{d\;\left \{sin\: (log (cos \:x )) \right \} }{dx}\)

= cos (log (cos x)). \(\rm \frac{d\;\left \{ (log (cos\: x )) \right \} }{dx}\)

= cos (log (cos x)). \(\rm \frac{1}{cos\: x}\) \(\)\(\frac{d\: (cos \:x)}{dx}\)

= cos (log (cos x)). \(\rm \frac{1}{cos\: x}\) .(- sin x)

= - cos (log (cos x)). \(\rm \frac{sin\: x }{cos\: x}\)

= - cos (log (cos x)).tan x

\(\rm \frac{dy}{dx}\) = - cos (log (cos x)).tan x

यदिf \({\rm{s}} = \sqrt {{{\rm{t}}^2} + 1} \) तो \(\frac{{{{\rm{d}}^2}{\rm{s}}}}{{{\rm{d}}{{\rm{t}}^2}}}\) किसके बराबर है?

  1. \(\frac{1}{{\rm{s}}}\)
  2. \(\frac{1}{{{{\rm{s}}^2}}}\)
  3. \(\frac{1}{{{{\rm{s}}^3}}}\)
  4. \(\frac{1}{{{{\rm{s}}^4}}}\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : \(\frac{1}{{{{\rm{s}}^3}}}\)

Chain Rule Question 9 Detailed Solution

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धारणा:

\(\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{dx}}}}\left( {\frac{{{\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right)}}{{{\rm{g}}\left( {\rm{x}} \right)}}} \right) = \frac{{{\rm{f'}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{g}}\left( {\rm{x}} \right) - {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{g'}}\left( {\rm{x}} \right)}}{{{{\left( {{\rm{g}}\left( {\rm{x}} \right)} \right)}^2}}}\)

गणना:

दिया हुआ: \({\rm{s}} = \sqrt {{{\rm{t}}^2} + 1} \)

\(\frac{{{\rm{ds}}}}{{{\rm{dt}}}} = \frac{{{\rm{d}}\left( {\sqrt {{{\rm{t}}^2} + 1} } \right)}}{{{\rm{dt}}}}\)

\( = \frac{1}{{2\sqrt {{{\rm{t}}^2} + 1} }} \times \frac{{{\rm{d}}\left( {{{\rm{t}}^2} + 1} \right)}}{{{\rm{dt}}}}\)

\(= \frac{{2{\rm{t}}}}{{2\sqrt {{{\rm{t}}^2} + 1} }} = \frac{{\rm{t}}}{{\sqrt {{{\rm{t}}^2} + 1} }}\)

अब

\(\frac{{{{\rm{d}}^2}{\rm{s}}}}{{{\rm{d}}{{\rm{t}}^2}}} = \frac{{\rm{d}}}{{{\rm{dt}}}}\left( {\frac{{{\rm{ds}}}}{{{\rm{dt}}}}} \right) = \frac{{\rm{d}}}{{{\rm{dt}}}}\left( {\frac{{\rm{t}}}{{\sqrt {{{\rm{t}}^2} + 1} }}} \right)\)

\(= \frac{{\sqrt {{{\rm{t}}^2} + 1} - \frac{{2{\rm{t}} \times {\rm{t}}}}{{2\sqrt {{{\rm{t}}^2} + 1} }}}}{{{{\left( {\sqrt {{{\rm{t}}^2} + 1} } \right)}^2}}}\)

\( = \frac{{\sqrt {{{\rm{t}}^2} + 1} - \frac{{{{\rm{t}}^2}}}{{\sqrt {{{\rm{t}}^2} + 1} }}}}{{{{\left( {\sqrt {{{\rm{t}}^2} + 1} } \right)}^2}}}\)

\( = \frac{{{{\rm{t}}^2} + 1 - {{\rm{t}}^2}}}{{{{\left( {\sqrt {{{\rm{t}}^2} + 1} } \right)}^3}}}\)

\( = \frac{1}{{{{\left( {\sqrt {{{\rm{t}}^2} + 1} } \right)}^3}}} = \frac{1}{{{{\rm{s}}^3}}}\)

इसलिए, विकल्प (3) सही है।

यदि f(x) = \(\rm \sin^{-1}(1-x^2)\) है, तो f'(x) का मान ज्ञात कीजिए। 

  1. \(\rm 1\over\sqrt{1-x^2}\)
  2. \(\rm 2\over\sqrt{2-x^2}\)
  3. \(\rm -2\over\sqrt{2-x^2}\)
  4. \(\rm -1\over\sqrt{1-x^2}\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : \(\rm -2\over\sqrt{2-x^2}\)

Chain Rule Question 10 Detailed Solution

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संकल्पना:

\(\rm d\over dx\) sin-1 x = \(\rm 1\over\sqrt{1 - x^2}\)

\(\rm d\over dx\) tan-1 x = \(\rm 1\over1 + x^2\)

श्रृंखला नियम (प्रतिस्थापन द्वारा अवकलन): यदि y, u का फलन है और u, x का फलन है। 

\(\rm {dy\over dx} = {dy\over du}× {du\over dx}\)

 

गणना:

माना कि u = 1 - x2 है। 

\(\rm du \over dx\) = - 2x

y = sin-1(1 - x2) = sin-1 u

\(\rm dy\over dx\)\(\rm {dy\over du}×{du\over dx}\)            

\(\rm dy\over dx\)\(\rm d\over du\) sin-1 u × (-2x)

\(\rm dy\over dx\)\(\rm 1\over\sqrt{1 - u^2}\) × (-2x)

\(\rm dy\over dx\) = \(\rm -2x\over\sqrt{1 - (1-x^2)^2}\)

\(\rm dy\over dx\)\(\rm -2x\over\sqrt{2x^2-x^4}\)

\(\rm dy\over dx\)\(\boldsymbol{\rm -2\over\sqrt{2-x^2}}\)

\(\rm \frac{d}{dx} sin (e^{sin\: 3\sqrt{x}}) \) =? ज्ञात करें

  1. \(\rm \frac{3 \: cos (e^{sin\: 3\sqrt{x}}) e^{cos\: 3\sqrt{x}} ({cos\: 3\sqrt{x}})}{2\sqrt{x}}\)
  2. \(\rm \frac{3 \: sin (e^{sin\: 3\sqrt{x}}) e^{sin\: 3\sqrt{x}} ({cos\: 3\sqrt{x}})}{2\sqrt{x}}\)
  3. \(\rm \frac{3 \: cos (e^{sin\: 3\sqrt{x}}) e^{sin\: 3\sqrt{x}} ({cos\: 3\sqrt{x}})}{2\sqrt{x}}\)
  4. \(\rm \frac{3 \: cos (e^{sin\: 3\sqrt{x}}) e^{sin\: 3\sqrt{x}} ({sin \: 3\sqrt{x}})}{2\sqrt{x}}\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : \(\rm \frac{3 \: cos (e^{sin\: 3\sqrt{x}}) e^{sin\: 3\sqrt{x}} ({cos\: 3\sqrt{x}})}{2\sqrt{x}}\)

Chain Rule Question 11 Detailed Solution

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अवधारणा:

अवकलन सूत्र

\(\rm \frac{d\: (sin x)}{dx}\) = cos x 

\(\rm \frac{d}{dx} (e^{x}) = e^{x} \)

\(\rm \frac{d}{dx} (x^{n}) = n x^{n - 1} \)

गणना:

दिया हुआ:

\(\rm \frac{d}{dx} sin (e^{sin\: 3\sqrt{x}}) \)

\(\rm cos (e^{sin\: 3\sqrt{x}}) \) \(\rm \frac{d}{dx} (e^{sin\: 3\sqrt{x}}) \)

=  \(\rm cos (e^{sin\: 3\sqrt{x}}) \) \(\rm (e^{sin\: 3\sqrt{x}}) \) \(\rm \frac{d}{dx} ({sin\: 3\sqrt{x}}) \)

=   \(\rm cos (e^{sin\: 3\sqrt{x}}) \) \(\rm (e^{sin\: 3\sqrt{x}}) \) \(\rm \frac{d}{dx} ({sin\: 3\sqrt{x}}) \)

=   \(\rm cos (e^{sin\: 3\sqrt{x}}) \) \(\rm e^{sin\: 3\sqrt{x}}\) \(\rm ({cos\: 3\sqrt{x}}) \) \(\rm \frac{d\: 3\sqrt{x}}{dx} \)

=  ​\(\rm cos (e^{sin\: 3\sqrt{x}}) \)\(\rm e^{sin\: 3\sqrt{x}}\)\(\rm ({cos\: 3\sqrt{x}}) \) . 3 .\(\rm \frac{1}{2\sqrt{x}}\)

\(\rm \frac{3 \: cos (e^{sin\: 3\sqrt{x}}) e^{sin\: 3\sqrt{x}} ({cos\: 3\sqrt{x}})}{2\sqrt{x}}\)

x के संबंध में sin2(2x + 5) का अवकलज ज्ञात कीजिए। 

  1. 4 sin(2x + 5)
  2. 4 sin(4x + 10)
  3. 2 sin(2x + 5)
  4. 2 sin(4x + 10)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : 2 sin(4x + 10)

Chain Rule Question 12 Detailed Solution

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संकल्पना:

x के संबंध में sinx का अवकलज cosx  है। 

श्रृंखला नियम:

माना कि y = f(v), v का एक अवकलनीय फलन है और v = g(x), x का अवकलनीय फलन है, तो  \(\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{dy}}{{dv}} ⋅ \frac{{dv}}{{dx}}\)  है। 

गणना:

दिया गया फलन y = sin2(2x+5)  है। 

हम x के संबंध में फलन का अवकलन करते हैं। 

⇒  y' = [sin2(2x+5)]' 

चूँकि हम जानते हैं कि, \(\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{dy}}{{dv}} ⋅ \frac{{dv}}{{dx}}\)

⇒ y' = 2 sin(2x+5) ⋅ [sin(2x+5)]'

⇒  y' = 2 sin(2x+5) ⋅ cos(2x+5) ⋅ (2x+5)'

⇒ y' = 2 sin(2x+5).cos(2x+5).(2)

⇒ y' = 2 sin[2(2x+5)]                      (∴ sin2x = 2sinx.cosx)

⇒ y' = 2 sin(4x+10)

अतः विकल्प 4 सही है।    

\(\rm tan ^{-1}\dfrac{2x}{1-x^2}\) के संबंध में \(\rm sin ^{-1}\dfrac{2x}{1+x^2}\) का अवकलज किसके बराबर है?

  1. \(\dfrac{2x}{1-x^2}\)
  2. 1
  3. 0
  4. \(\dfrac{x}{1-x}\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : 1

Chain Rule Question 13 Detailed Solution

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अवधारणा:

\(\dfrac{\partial u}{\partial v} = \dfrac{\partial u}{\partial θ} \times \dfrac{\partial θ}{\partial v}\)

दिया हुआ:

u = \(\rm sin ^{-1}\dfrac{2x}{1+x^2}\) और v = \(\rm tan ^{-1}\dfrac{2x}{1-x^2}\)

गणना:

माना कि,

x = tan θ

फिर,

u = \(\rm sin ^{-1}\dfrac{2 \tanθ}{1+\tan^2θ}\) = \(\rm \sin ^{-1}{(\sin2θ)}\)

u = 2θ

\(\dfrac{\partial u}{\partial θ} = \) 2

तथा,

v = \(\rm tan ^{-1}\dfrac{2x}{1-x^2}\) = \(\rm \tan ^{-1}\dfrac{2\tanθ}{1-\tan^2θ}\) = \(\rm tan ^{-1}{(\tan2θ)}\)

v = 2θ

\(\dfrac{\partial v}{\partial θ} = \) 2

उसके बाद,

\(\dfrac{\partial u}{\partial v} = \dfrac{\partial u}{\partial θ} \times \dfrac{\partial θ}{\partial v}\)

\(\dfrac{\partial u}{\partial v} = 2 \times \dfrac{1}{2}\)

= 1

यदि log[log{log(x)}] = y है, तो \(\rm \frac{{dy}}{{dx}}\) का मान ज्ञात करें।

  1. \(\rm \frac{{dy}}{{dx}}{\rm{\;}} = \left( {\frac{1}{{\left[ {\left( {logx} \right)\log \left\{ {\log \left( x \right)} \right\}} \right]}}} \right)\)
  2. \(\rm \frac{{dy}}{{dx}}{\rm{\;}} = \left( {\frac{1}{{\left[ {\left( x \right)\left( {logx} \right)\log \left\{ {\log \left( x \right)} \right\}} \right]}}} \right)\)
  3. \(\rm \frac{{dy}}{{dx}}{\rm{\;}} = \left( {\frac{1}{{\left[ {x\log \left\{ {\log \left( x \right)} \right\}} \right]}}} \right)\)
  4. इनमें से कोई नहीं

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : \(\rm \frac{{dy}}{{dx}}{\rm{\;}} = \left( {\frac{1}{{\left[ {\left( x \right)\left( {logx} \right)\log \left\{ {\log \left( x \right)} \right\}} \right]}}} \right)\)

Chain Rule Question 14 Detailed Solution

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गणना:

दिया हुआ है कि:

y = log[log{log(x)}] 

x के संबंध में अवकलन करने पर

\(\rm \frac{{dy}}{{dx}} =\frac {d \;log[log{log(x)}] }{dx}\)

\(\rm =\frac {d \log[\log{\log(x)}] }{d\log{\log(x)}} \times \frac {d\log{\log(x)}}{dx}\)

\(\rm =\frac {d \log[\log{\log(x)}] }{d\log{\log(x)}} \times \frac {d\log{\log(x)}}{d\log x} \times \frac {d \log x}{dx}\)

\(\rm = \left( {\frac{1}{{\left[ {\log \left\{ {\log \left( x \right)} \right\}} \right]}}} \right) \times \;\left( {\frac{1}{{logx}}} \right) \times \left( {\frac{1}{x}} \right)\)

\(\rm \frac{{dy}}{{dx}}{\rm{\;}} = \left( {\frac{1}{{\left[ {\left( x \right)\left( {logx} \right)\log \left\{ {\log \left( x \right)} \right\}} \right]}}} \right)\)

यदि y = 2x + x log x, तो \(\rm \frac{dy}{dx}:\) ज्ञात कीजिए। 

  1. 2x log 2 - log x - 1
  2. 2x log 2 - log x + 1
  3. 2x log 2 + log x - 1
  4. 2x log 2 + log x + 1

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : 2x log 2 + log x + 1

Chain Rule Question 15 Detailed Solution

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दिया गया है:

 y = 2x + x log x

अवधारणा:

सूत्र \(\rm \frac{d}{dx}(a^x)=a^x\ loga\) का प्रयोग कीजिए। 

\(\rm \frac{d}{dx}[f(x)g(x)]=\frac{d}{dx}[f(x)]g(x)+f(x)\frac{d}{dx}[g(x)]\)

गणना:

 y = 2x + x log x

x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

\(\rm \frac{dy}{dx}=2^x\ log 2 + 1\cdot log x + x\cdot\frac{1}{x}\)

\(\rm \frac{dy}{dx}\)= 2x log 2 + log x + 1

अतः विकल्प (4) सही है।

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