Chain Rule MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Chain Rule - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

दिया गया है:

f(0) = -1 और f'(0) = 1 मान लीजिये h(x) = f(2f(x) +2) और g(x) = (h(x))2

⇒ g(x) = (h(x))²

⇒ g'(x) = 2(h(x)).h'(x)

⇒ g'(0) = 2(h(0)).h'(0)

= 2f(2f (0) + 2).2

= 2f(0).2 = (-2).2 = -4

∴ विकल्प (a) सही है

व्याख्या:

मान लीजिये कि f: (-1, 1)→ R एक अवकलनीय फलन है जहाँ f(0) = -1 और f'(0) = 1

⇒ h(x) = f(2f(x) + 2)

⇒ h'(x) = f'(2f(x) + 2)2f'(x)

⇒ h'(0) = f'(2f(0) + 2).2f'(0)

= f'(-2 + 2).2(1)

= f'(0).2 = (1).2 = 2

∴ विकल्प (d) सही है।

दिया गया है:

x के सापेक्ष sin(x² + 9) का अवकलन कीजिए।

प्रयुक्त सूत्र:

श्रृंखला नियम: यदि y = sin(u) और u = x² + 9 है, तब dy/dx = cos(u) x du/dx

गणना:

माना, y = sin(x² + 9)

⇒ dy/dx = cos(x2 + 9) × (d/dx)(x2 + 9)

⇒ dy/dx = cos(x2 + 9) × 2x

⇒ dy/dx = 2x cos(x2 + 9)

∴ सही उत्तर विकल्प (4) है।

दिया गया है:

x के सापेक्ष sin(x² + 9) का अवकलन कीजिए।

प्रयुक्त सूत्र:

श्रृंखला नियम: यदि y = sin(u) और u = x² + 9 है, तब dy/dx = cos(u) x du/dx

गणना:

माना, y = sin(x² + 9)

⇒ dy/dx = cos(x2 + 9) × (d/dx)(x2 + 9)

⇒ dy/dx = cos(x2 + 9) × 2x

⇒ dy/dx = 2x cos(x2 + 9)

∴ सही उत्तर विकल्प (4) है।

दिया गया है:

 y = 2x + x log x

अवधारणा:

सूत्र \(\rm \frac{d}{dx}(a^x)=a^x\ loga\) का प्रयोग कीजिए। 

\(\rm \frac{d}{dx}[f(x)g(x)]=\frac{d}{dx}[f(x)]g(x)+f(x)\frac{d}{dx}[g(x)]\)

गणना:

 y = 2x + x log x

x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

\(\rm \frac{dy}{dx}=2^x\ log 2 + 1\cdot log x + x\cdot\frac{1}{x}\)

\(\rm \frac{dy}{dx}\)= 2x log 2 + log x + 1

अतः विकल्प (4) सही है।

संकल्पना:

अवकलजों का शृंखला नियम:

\(\rm \dfrac{d}{dx}f(g(x))=\dfrac{d}{d\ g(x)}f(g(x))\times \dfrac{d}{dx}g(x)\)।

\(\rm \dfrac{d}{dx}e^x\) = e^x

गणना:

यह दिया गया है कि y = \(\rm e^{x+e^{x+e^{x+^{\ ...\ \infty}}}}\)।

∴ y = \(\rm e^{x+(e^{x+e^{x+^{\ ...\ \infty}}})}=e^{x+y}\)

x के संबंध में दोनों पक्षों को अवकलित करके और श्रृंखला नियम का उपयोग करना, हमें मिलता है:

\(\rm \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{d}{dx}e^{x+y}\)

⇒ \(\rm \dfrac{dy}{dx}=e^{x+y}\dfrac{d}{dx}(x+y)\)

⇒ \(\rm \dfrac{dy}{dx}=y\left (1+\dfrac{dy}{dx} \right )\)

⇒ \(\rm \dfrac{dy}{dx}=y+y\dfrac{dy}{dx}\)

⇒ \(\rm (1-y)\dfrac{dy}{dx}=y\)

⇒ \(\rm \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y}{1-y}\)

यदि f'(x) = g(x) और g'(x) = f(x2) है, तब f"(x2) 

दिया गया है f’(x) = g(x)

x के सन्दर्भ में पृथक्करण से हमें प्राप्त होता है

f’’(x) = g’(x)

f’’(x) = f(x²) 

फलन को x² से गुणा करने पर

अवधारणा:

अवकलन सूत्र

\(\rm \frac{d\: (sin x)}{dx}\) = cos x 

\(\rm \frac{d\: (log \: x)}{dx} = \frac{1}{x}\)

\(\rm \frac{d\: (cos\: x)}{dx} \) = - sin x

त्रिकोणमिति सूत्र

\(\rm tan\: \theta = \frac{sin \: \theta }{cos\: \theta }\)

गणना:

दिया हुआ: y = sin (log cos x)

x के संबंध में अवकलन

\(\rm \frac{dy}{dx}\) = \(\rm \frac{d\;\left \{sin\: (log (cos \:x )) \right \} }{dx}\)

= cos (log (cos x)). \(\rm \frac{d\;\left \{ (log (cos\: x )) \right \} }{dx}\)

= cos (log (cos x)). \(\rm \frac{1}{cos\: x}\) \(\)\(\frac{d\: (cos \:x)}{dx}\)

= cos (log (cos x)). \(\rm \frac{1}{cos\: x}\) .(- sin x)

= - cos (log (cos x)). \(\rm \frac{sin\: x }{cos\: x}\)

= - cos (log (cos x)).tan x​​

\(\rm \frac{dy}{dx}\) = - cos (log (cos x)).tan x

धारणा:

\(\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{dx}}}}\left( {\frac{{{\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right)}}{{{\rm{g}}\left( {\rm{x}} \right)}}} \right) = \frac{{{\rm{f'}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{g}}\left( {\rm{x}} \right) - {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{g'}}\left( {\rm{x}} \right)}}{{{{\left( {{\rm{g}}\left( {\rm{x}} \right)} \right)}^2}}}\)

गणना:

दिया हुआ: \({\rm{s}} = \sqrt {{{\rm{t}}^2} + 1} \)

\(\frac{{{\rm{ds}}}}{{{\rm{dt}}}} = \frac{{{\rm{d}}\left( {\sqrt {{{\rm{t}}^2} + 1} } \right)}}{{{\rm{dt}}}}\)

\( = \frac{1}{{2\sqrt {{{\rm{t}}^2} + 1} }} \times \frac{{{\rm{d}}\left( {{{\rm{t}}^2} + 1} \right)}}{{{\rm{dt}}}}\)

\(= \frac{{2{\rm{t}}}}{{2\sqrt {{{\rm{t}}^2} + 1} }} = \frac{{\rm{t}}}{{\sqrt {{{\rm{t}}^2} + 1} }}\)

अब

\(\frac{{{{\rm{d}}^2}{\rm{s}}}}{{{\rm{d}}{{\rm{t}}^2}}} = \frac{{\rm{d}}}{{{\rm{dt}}}}\left( {\frac{{{\rm{ds}}}}{{{\rm{dt}}}}} \right) = \frac{{\rm{d}}}{{{\rm{dt}}}}\left( {\frac{{\rm{t}}}{{\sqrt {{{\rm{t}}^2} + 1} }}} \right)\)

\(= \frac{{\sqrt {{{\rm{t}}^2} + 1} - \frac{{2{\rm{t}} \times {\rm{t}}}}{{2\sqrt {{{\rm{t}}^2} + 1} }}}}{{{{\left( {\sqrt {{{\rm{t}}^2} + 1} } \right)}^2}}}\)

\( = \frac{{\sqrt {{{\rm{t}}^2} + 1} - \frac{{{{\rm{t}}^2}}}{{\sqrt {{{\rm{t}}^2} + 1} }}}}{{{{\left( {\sqrt {{{\rm{t}}^2} + 1} } \right)}^2}}}\)

\( = \frac{{{{\rm{t}}^2} + 1 - {{\rm{t}}^2}}}{{{{\left( {\sqrt {{{\rm{t}}^2} + 1} } \right)}^3}}}\)

\( = \frac{1}{{{{\left( {\sqrt {{{\rm{t}}^2} + 1} } \right)}^3}}} = \frac{1}{{{{\rm{s}}^3}}}\)

इसलिए, विकल्प (3) सही है।

संकल्पना:​

\(\rm d\over dx\) sin^-1 x = \(\rm 1\over\sqrt{1 - x^2}\)

\(\rm d\over dx\) tan^-1 x = \(\rm 1\over1 + x^2\)

श्रृंखला नियम (प्रतिस्थापन द्वारा अवकलन): यदि y, u का फलन है और u, x का फलन है। 

\(\rm {dy\over dx} = {dy\over du}× {du\over dx}\)

गणना:

माना कि u = 1 - x² है। 

\(\rm du \over dx\) = - 2x

y = sin^-1(1 - x²) = sin^-1 u

\(\rm dy\over dx\) = \(\rm {dy\over du}×{du\over dx}\)            

\(\rm dy\over dx\) = \(\rm d\over du\) sin^-1 u × (-2x)

\(\rm dy\over dx\) = \(\rm 1\over\sqrt{1 - u^2}\) × (-2x)

\(\rm dy\over dx\) = \(\rm -2x\over\sqrt{1 - (1-x^2)^2}\)

\(\rm dy\over dx\) = \(\rm -2x\over\sqrt{2x^2-x^4}\)

\(\rm dy\over dx\) = \(\boldsymbol{\rm -2\over\sqrt{2-x^2}}\)

अवधारणा:

अवकलन सूत्र

\(\rm \frac{d\: (sin x)}{dx}\) = cos x 

\(\rm \frac{d}{dx} (e^{x}) = e^{x} \)

\(\rm \frac{d}{dx} (x^{n}) = n x^{n - 1} \)

​

गणना:

दिया हुआ:

\(\rm \frac{d}{dx} sin (e^{sin\: 3\sqrt{x}}) \)

= \(\rm cos (e^{sin\: 3\sqrt{x}}) \) \(\rm \frac{d}{dx} (e^{sin\: 3\sqrt{x}}) \)

=  \(\rm cos (e^{sin\: 3\sqrt{x}}) \) \(\rm (e^{sin\: 3\sqrt{x}}) \) \(\rm \frac{d}{dx} ({sin\: 3\sqrt{x}}) \)

=   \(\rm cos (e^{sin\: 3\sqrt{x}}) \) \(\rm (e^{sin\: 3\sqrt{x}}) \) \(\rm \frac{d}{dx} ({sin\: 3\sqrt{x}}) \)

=   \(\rm cos (e^{sin\: 3\sqrt{x}}) \) \(\rm e^{sin\: 3\sqrt{x}}\) \(\rm ({cos\: 3\sqrt{x}}) \) \(\rm \frac{d\: 3\sqrt{x}}{dx} \)

=  ​\(\rm cos (e^{sin\: 3\sqrt{x}}) \)\(\rm e^{sin\: 3\sqrt{x}}\)\(\rm ({cos\: 3\sqrt{x}}) \) . 3 .\(\rm \frac{1}{2\sqrt{x}}\)

= \(\rm \frac{3 \: cos (e^{sin\: 3\sqrt{x}}) e^{sin\: 3\sqrt{x}} ({cos\: 3\sqrt{x}})}{2\sqrt{x}}\)​

संकल्पना:

x के संबंध में sinx का अवकलज cosx  है। 

श्रृंखला नियम:

माना कि y = f(v), v का एक अवकलनीय फलन है और v = g(x), x का अवकलनीय फलन है, तो  \(\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{dy}}{{dv}} ⋅ \frac{{dv}}{{dx}}\)  है। 

गणना:

दिया गया फलन y = sin2(2x+5)  है। 

हम x के संबंध में फलन का अवकलन करते हैं। 

⇒  y' = [sin2(2x+5)]' 

चूँकि हम जानते हैं कि, \(\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{dy}}{{dv}} ⋅ \frac{{dv}}{{dx}}\)

⇒ y' = 2 sin(2x+5) ⋅ [sin(2x+5)]'

⇒  y' = 2 sin(2x+5) ⋅ cos(2x+5) ⋅ (2x+5)'

⇒ y' = 2 sin(2x+5).cos(2x+5).(2)

⇒ y' = 2 sin[2(2x+5)]                      (∴ sin2x = 2sinx.cosx)

⇒ y' = 2 sin(4x+10)

अतः विकल्प 4 सही है।    

अवधारणा:

\(\dfrac{\partial u}{\partial v} = \dfrac{\partial u}{\partial θ} \times \dfrac{\partial θ}{\partial v}\)

दिया हुआ:

u = \(\rm sin ^{-1}\dfrac{2x}{1+x^2}\) और v = \(\rm tan ^{-1}\dfrac{2x}{1-x^2}\)

गणना:

माना कि,

x = tan θ

फिर,

u = \(\rm sin ^{-1}\dfrac{2 \tanθ}{1+\tan^2θ}\) = \(\rm \sin ^{-1}{(\sin2θ)}\)

u = 2θ

\(\dfrac{\partial u}{\partial θ} = \) 2

तथा,

v = \(\rm tan ^{-1}\dfrac{2x}{1-x^2}\) = \(\rm \tan ^{-1}\dfrac{2\tanθ}{1-\tan^2θ}\) = \(\rm tan ^{-1}{(\tan2θ)}\)

v = 2θ

\(\dfrac{\partial v}{\partial θ} = \) 2

उसके बाद,

\(\dfrac{\partial u}{\partial v} = \dfrac{\partial u}{\partial θ} \times \dfrac{\partial θ}{\partial v}\)

\(\dfrac{\partial u}{\partial v} = 2 \times \dfrac{1}{2}\)

= 1

गणना:

दिया हुआ है कि:

y = log[log{log(x)}] 

x के संबंध में अवकलन करने पर

⇒ \(\rm \frac{{dy}}{{dx}} =\frac {d \;log[log{log(x)}] }{dx}\)

\(\rm =\frac {d \log[\log{\log(x)}] }{d\log{\log(x)}} \times \frac {d\log{\log(x)}}{dx}\)

\(\rm =\frac {d \log[\log{\log(x)}] }{d\log{\log(x)}} \times \frac {d\log{\log(x)}}{d\log x} \times \frac {d \log x}{dx}\)

\(\rm = \left( {\frac{1}{{\left[ {\log \left\{ {\log \left( x \right)} \right\}} \right]}}} \right) \times \;\left( {\frac{1}{{logx}}} \right) \times \left( {\frac{1}{x}} \right)\)

\(\rm \frac{{dy}}{{dx}}{\rm{\;}} = \left( {\frac{1}{{\left[ {\left( x \right)\left( {logx} \right)\log \left\{ {\log \left( x \right)} \right\}} \right]}}} \right)\)

दिया गया है:

 y = 2x + x log x

अवधारणा:

सूत्र \(\rm \frac{d}{dx}(a^x)=a^x\ loga\) का प्रयोग कीजिए। 

\(\rm \frac{d}{dx}[f(x)g(x)]=\frac{d}{dx}[f(x)]g(x)+f(x)\frac{d}{dx}[g(x)]\)

गणना:

 y = 2x + x log x

x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

\(\rm \frac{dy}{dx}=2^x\ log 2 + 1\cdot log x + x\cdot\frac{1}{x}\)

\(\rm \frac{dy}{dx}\)= 2x log 2 + log x + 1

अतः विकल्प (4) सही है।