Chain Rule MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Chain Rule - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on May 20, 2025
Latest Chain Rule MCQ Objective Questions
Chain Rule Question 1:
Comprehension:
निर्देश : निम्नलिखित प्रश्नों के लिए नीचे दिए गए कथनों पर विचार करें:
माना f : (-1, 1) → R एक अवकलनीय फलन है जहाँ f(0) = -1 और f’(0) = 1 माना h(x) = f(2f(x) +2) और g(x) = (h(x))2.
g’(0) किसके बराबर है?
Answer (Detailed Solution Below)
Chain Rule Question 1 Detailed Solution
व्याख्या:
दिया गया है:
f(0) = -1 और f'(0) = 1 मान लीजिये h(x) = f(2f(x) +2) और g(x) = (h(x))2
⇒ g(x) = (h(x))2
⇒ g'(x) = 2(h(x)).h'(x)
⇒ g'(0) = 2(h(0)).h'(0)
= 2f(2f (0) + 2).2
= 2f(0).2 = (-2).2 = -4
∴ विकल्प (a) सही है
Chain Rule Question 2:
Comprehension:
निर्देश : निम्नलिखित प्रश्नों के लिए नीचे दिए गए कथनों पर विचार करें:
माना f : (-1, 1) → R एक अवकलनीय फलन है जहाँ f(0) = -1 और f’(0) = 1 माना h(x) = f(2f(x) +2) और g(x) = (h(x))2.
h’(0) किसके बराबर है?
Answer (Detailed Solution Below)
Chain Rule Question 2 Detailed Solution
व्याख्या:
मान लीजिये कि f: (-1, 1)→ R एक अवकलनीय फलन है जहाँ f(0) = -1 और f'(0) = 1
⇒ h(x) = f(2f(x) + 2)
⇒ h'(x) = f'(2f(x) + 2)2f'(x)
⇒ h'(0) = f'(2f(0) + 2).2f'(0)
= f'(-2 + 2).2(1)
= f'(0).2 = (1).2 = 2
∴ विकल्प (d) सही है।
Chain Rule Question 3:
x के संबंध में sin (x2 + 9) का अवकलन कीजिए।
Answer (Detailed Solution Below)
Chain Rule Question 3 Detailed Solution
दिया गया है:
x के सापेक्ष sin(x2 + 9) का अवकलन कीजिए।
प्रयुक्त सूत्र:
श्रृंखला नियम: यदि y = sin(u) और u = x2 + 9 है, तब dy/dx = cos(u) x du/dx
गणना:
माना, y = sin(x2 + 9)
⇒ dy/dx = cos(x2 + 9) × (d/dx)(x2 + 9)
⇒ dy/dx = cos(x2 + 9) × 2x
⇒ dy/dx = 2x cos(x2 + 9)
∴ सही उत्तर विकल्प (4) है।
Chain Rule Question 4:
x के संबंध में sin (x2 + 9) का अवकलन कीजिए।
Answer (Detailed Solution Below)
Chain Rule Question 4 Detailed Solution
दिया गया है:
x के सापेक्ष sin(x2 + 9) का अवकलन कीजिए।
प्रयुक्त सूत्र:
श्रृंखला नियम: यदि y = sin(u) और u = x2 + 9 है, तब dy/dx = cos(u) x du/dx
गणना:
माना, y = sin(x2 + 9)
⇒ dy/dx = cos(x2 + 9) × (d/dx)(x2 + 9)
⇒ dy/dx = cos(x2 + 9) × 2x
⇒ dy/dx = 2x cos(x2 + 9)
∴ सही उत्तर विकल्प (4) है।
Chain Rule Question 5:
यदि y = 2x + x log x, तो \(\rm \frac{dy}{dx}:\) ज्ञात कीजिए।
Answer (Detailed Solution Below)
Chain Rule Question 5 Detailed Solution
दिया गया है:
y = 2x + x log x
अवधारणा:
सूत्र \(\rm \frac{d}{dx}(a^x)=a^x\ loga\) का प्रयोग कीजिए।
\(\rm \frac{d}{dx}[f(x)g(x)]=\frac{d}{dx}[f(x)]g(x)+f(x)\frac{d}{dx}[g(x)]\)
गणना:
y = 2x + x log x
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\(\rm \frac{dy}{dx}=2^x\ log 2 + 1\cdot log x + x\cdot\frac{1}{x}\)
\(\rm \frac{dy}{dx}\)= 2x log 2 + log x + 1
अतः विकल्प (4) सही है।
Top Chain Rule MCQ Objective Questions
यदि y = \(\rm e^{x+e^{x+e^{x+^{\ ...\ \infty}}}}\) तो \(\rm \dfrac{dy}{dx}\) क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Chain Rule Question 6 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
अवकलजों का शृंखला नियम:
\(\rm \dfrac{d}{dx}f(g(x))=\dfrac{d}{d\ g(x)}f(g(x))\times \dfrac{d}{dx}g(x)\)।
\(\rm \dfrac{d}{dx}e^x\) = ex
गणना:
यह दिया गया है कि y = \(\rm e^{x+e^{x+e^{x+^{\ ...\ \infty}}}}\)।
∴ y = \(\rm e^{x+(e^{x+e^{x+^{\ ...\ \infty}}})}=e^{x+y}\)
x के संबंध में दोनों पक्षों को अवकलित करके और श्रृंखला नियम का उपयोग करना, हमें मिलता है:
\(\rm \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{d}{dx}e^{x+y}\)
⇒ \(\rm \dfrac{dy}{dx}=e^{x+y}\dfrac{d}{dx}(x+y)\)
⇒ \(\rm \dfrac{dy}{dx}=y\left (1+\dfrac{dy}{dx} \right )\)
⇒ \(\rm \dfrac{dy}{dx}=y+y\dfrac{dy}{dx}\)
⇒ \(\rm (1-y)\dfrac{dy}{dx}=y\)
⇒ \(\rm \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y}{1-y}\)
यदि f'(x) = g(x) और g'(x) = f(x2) है, तब f"(x2) का माना बराबर है
Answer (Detailed Solution Below)
Chain Rule Question 7 Detailed Solution
Download Solution PDFयदि f'(x) = g(x) और g'(x) = f(x2) है, तब f"(x2)
दिया गया है f’(x) = g(x)
x के सन्दर्भ में पृथक्करण से हमें प्राप्त होता है
f’’(x) = g’(x)
f’’(x) = f(x2)
फलन को x2 से गुणा करने पर
f’’(x2) = f(x4)यदि y = sin (log cos x) तो \(\rm \frac{dy}{dx}\) का मूल्य क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Chain Rule Question 8 Detailed Solution
Download Solution PDFअवधारणा:
अवकलन सूत्र
\(\rm \frac{d\: (sin x)}{dx}\) = cos x
\(\rm \frac{d\: (log \: x)}{dx} = \frac{1}{x}\)
\(\rm \frac{d\: (cos\: x)}{dx} \) = - sin x
त्रिकोणमिति सूत्र
\(\rm tan\: \theta = \frac{sin \: \theta }{cos\: \theta }\)
गणना:
दिया हुआ: y = sin (log cos x)
x के संबंध में अवकलन
\(\rm \frac{dy}{dx}\) = \(\rm \frac{d\;\left \{sin\: (log (cos \:x )) \right \} }{dx}\)
= cos (log (cos x)). \(\rm \frac{d\;\left \{ (log (cos\: x )) \right \} }{dx}\)
= cos (log (cos x)). \(\rm \frac{1}{cos\: x}\) \(\)\(\frac{d\: (cos \:x)}{dx}\)
= cos (log (cos x)). \(\rm \frac{1}{cos\: x}\) .(- sin x)
= - cos (log (cos x)). \(\rm \frac{sin\: x }{cos\: x}\)
= - cos (log (cos x)).tan x
\(\rm \frac{dy}{dx}\) = - cos (log (cos x)).tan x
यदिf \({\rm{s}} = \sqrt {{{\rm{t}}^2} + 1} \) तो \(\frac{{{{\rm{d}}^2}{\rm{s}}}}{{{\rm{d}}{{\rm{t}}^2}}}\) किसके बराबर है?
Answer (Detailed Solution Below)
Chain Rule Question 9 Detailed Solution
Download Solution PDFधारणा:
\(\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{dx}}}}\left( {\frac{{{\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right)}}{{{\rm{g}}\left( {\rm{x}} \right)}}} \right) = \frac{{{\rm{f'}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{g}}\left( {\rm{x}} \right) - {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{g'}}\left( {\rm{x}} \right)}}{{{{\left( {{\rm{g}}\left( {\rm{x}} \right)} \right)}^2}}}\)
गणना:
दिया हुआ: \({\rm{s}} = \sqrt {{{\rm{t}}^2} + 1} \)
\(\frac{{{\rm{ds}}}}{{{\rm{dt}}}} = \frac{{{\rm{d}}\left( {\sqrt {{{\rm{t}}^2} + 1} } \right)}}{{{\rm{dt}}}}\)
\( = \frac{1}{{2\sqrt {{{\rm{t}}^2} + 1} }} \times \frac{{{\rm{d}}\left( {{{\rm{t}}^2} + 1} \right)}}{{{\rm{dt}}}}\)
\(= \frac{{2{\rm{t}}}}{{2\sqrt {{{\rm{t}}^2} + 1} }} = \frac{{\rm{t}}}{{\sqrt {{{\rm{t}}^2} + 1} }}\)
अब
\(\frac{{{{\rm{d}}^2}{\rm{s}}}}{{{\rm{d}}{{\rm{t}}^2}}} = \frac{{\rm{d}}}{{{\rm{dt}}}}\left( {\frac{{{\rm{ds}}}}{{{\rm{dt}}}}} \right) = \frac{{\rm{d}}}{{{\rm{dt}}}}\left( {\frac{{\rm{t}}}{{\sqrt {{{\rm{t}}^2} + 1} }}} \right)\)
\(= \frac{{\sqrt {{{\rm{t}}^2} + 1} - \frac{{2{\rm{t}} \times {\rm{t}}}}{{2\sqrt {{{\rm{t}}^2} + 1} }}}}{{{{\left( {\sqrt {{{\rm{t}}^2} + 1} } \right)}^2}}}\)
\( = \frac{{\sqrt {{{\rm{t}}^2} + 1} - \frac{{{{\rm{t}}^2}}}{{\sqrt {{{\rm{t}}^2} + 1} }}}}{{{{\left( {\sqrt {{{\rm{t}}^2} + 1} } \right)}^2}}}\)
\( = \frac{{{{\rm{t}}^2} + 1 - {{\rm{t}}^2}}}{{{{\left( {\sqrt {{{\rm{t}}^2} + 1} } \right)}^3}}}\)
\( = \frac{1}{{{{\left( {\sqrt {{{\rm{t}}^2} + 1} } \right)}^3}}} = \frac{1}{{{{\rm{s}}^3}}}\)
इसलिए, विकल्प (3) सही है।
यदि f(x) = \(\rm \sin^{-1}(1-x^2)\) है, तो f'(x) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer (Detailed Solution Below)
Chain Rule Question 10 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
\(\rm d\over dx\) sin-1 x = \(\rm 1\over\sqrt{1 - x^2}\)
\(\rm d\over dx\) tan-1 x = \(\rm 1\over1 + x^2\)
श्रृंखला नियम (प्रतिस्थापन द्वारा अवकलन): यदि y, u का फलन है और u, x का फलन है।
\(\rm {dy\over dx} = {dy\over du}× {du\over dx}\)
गणना:
माना कि u = 1 - x2 है।
\(\rm du \over dx\) = - 2x
y = sin-1(1 - x2) = sin-1 u
\(\rm dy\over dx\) = \(\rm {dy\over du}×{du\over dx}\)
\(\rm dy\over dx\) = \(\rm d\over du\) sin-1 u × (-2x)
\(\rm dy\over dx\) = \(\rm 1\over\sqrt{1 - u^2}\) × (-2x)
\(\rm dy\over dx\) = \(\rm -2x\over\sqrt{1 - (1-x^2)^2}\)
\(\rm dy\over dx\) = \(\rm -2x\over\sqrt{2x^2-x^4}\)
\(\rm dy\over dx\) = \(\boldsymbol{\rm -2\over\sqrt{2-x^2}}\)
\(\rm \frac{d}{dx} sin (e^{sin\: 3\sqrt{x}}) \) =? ज्ञात करें
Answer (Detailed Solution Below)
Chain Rule Question 11 Detailed Solution
Download Solution PDFअवधारणा:
अवकलन सूत्र
\(\rm \frac{d\: (sin x)}{dx}\) = cos x
\(\rm \frac{d}{dx} (e^{x}) = e^{x} \)
\(\rm \frac{d}{dx} (x^{n}) = n x^{n - 1} \)
गणना:
दिया हुआ:
\(\rm \frac{d}{dx} sin (e^{sin\: 3\sqrt{x}}) \)
= \(\rm cos (e^{sin\: 3\sqrt{x}}) \) \(\rm \frac{d}{dx} (e^{sin\: 3\sqrt{x}}) \)
= \(\rm cos (e^{sin\: 3\sqrt{x}}) \) \(\rm (e^{sin\: 3\sqrt{x}}) \) \(\rm \frac{d}{dx} ({sin\: 3\sqrt{x}}) \)
= \(\rm cos (e^{sin\: 3\sqrt{x}}) \) \(\rm (e^{sin\: 3\sqrt{x}}) \) \(\rm \frac{d}{dx} ({sin\: 3\sqrt{x}}) \)
= \(\rm cos (e^{sin\: 3\sqrt{x}}) \) \(\rm e^{sin\: 3\sqrt{x}}\) \(\rm ({cos\: 3\sqrt{x}}) \) \(\rm \frac{d\: 3\sqrt{x}}{dx} \)
= \(\rm cos (e^{sin\: 3\sqrt{x}}) \)\(\rm e^{sin\: 3\sqrt{x}}\)\(\rm ({cos\: 3\sqrt{x}}) \) . 3 .\(\rm \frac{1}{2\sqrt{x}}\)
= \(\rm \frac{3 \: cos (e^{sin\: 3\sqrt{x}}) e^{sin\: 3\sqrt{x}} ({cos\: 3\sqrt{x}})}{2\sqrt{x}}\)
x के संबंध में sin2(2x + 5) का अवकलज ज्ञात कीजिए।
Answer (Detailed Solution Below)
Chain Rule Question 12 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
x के संबंध में sinx का अवकलज cosx है।
श्रृंखला नियम:
माना कि y = f(v), v का एक अवकलनीय फलन है और v = g(x), x का अवकलनीय फलन है, तो \(\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{dy}}{{dv}} ⋅ \frac{{dv}}{{dx}}\) है।
गणना:
दिया गया फलन y = sin2(2x+5) है।
हम x के संबंध में फलन का अवकलन करते हैं।
⇒ y' = [sin2(2x+5)]'
चूँकि हम जानते हैं कि, \(\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{dy}}{{dv}} ⋅ \frac{{dv}}{{dx}}\)
⇒ y' = 2 sin(2x+5) ⋅ [sin(2x+5)]'
⇒ y' = 2 sin(2x+5) ⋅ cos(2x+5) ⋅ (2x+5)'
⇒ y' = 2 sin(2x+5).cos(2x+5).(2)
⇒ y' = 2 sin[2(2x+5)] (∴ sin2x = 2sinx.cosx)
⇒ y' = 2 sin(4x+10)
अतः विकल्प 4 सही है।
\(\rm tan ^{-1}\dfrac{2x}{1-x^2}\) के संबंध में \(\rm sin ^{-1}\dfrac{2x}{1+x^2}\) का अवकलज किसके बराबर है?
Answer (Detailed Solution Below)
Chain Rule Question 13 Detailed Solution
Download Solution PDFअवधारणा:
\(\dfrac{\partial u}{\partial v} = \dfrac{\partial u}{\partial θ} \times \dfrac{\partial θ}{\partial v}\)
दिया हुआ:
u = \(\rm sin ^{-1}\dfrac{2x}{1+x^2}\) और v = \(\rm tan ^{-1}\dfrac{2x}{1-x^2}\)
गणना:
माना कि,
x = tan θ
फिर,
u = \(\rm sin ^{-1}\dfrac{2 \tanθ}{1+\tan^2θ}\) = \(\rm \sin ^{-1}{(\sin2θ)}\)
u = 2θ
\(\dfrac{\partial u}{\partial θ} = \) 2
तथा,
v = \(\rm tan ^{-1}\dfrac{2x}{1-x^2}\) = \(\rm \tan ^{-1}\dfrac{2\tanθ}{1-\tan^2θ}\) = \(\rm tan ^{-1}{(\tan2θ)}\)
v = 2θ
\(\dfrac{\partial v}{\partial θ} = \) 2
उसके बाद,
\(\dfrac{\partial u}{\partial v} = \dfrac{\partial u}{\partial θ} \times \dfrac{\partial θ}{\partial v}\)
\(\dfrac{\partial u}{\partial v} = 2 \times \dfrac{1}{2}\)
= 1
यदि log[log{log(x)}] = y है, तो \(\rm \frac{{dy}}{{dx}}\) का मान ज्ञात करें।
Answer (Detailed Solution Below)
Chain Rule Question 14 Detailed Solution
Download Solution PDFगणना:
दिया हुआ है कि:
y = log[log{log(x)}]
x के संबंध में अवकलन करने पर
⇒ \(\rm \frac{{dy}}{{dx}} =\frac {d \;log[log{log(x)}] }{dx}\)
\(\rm =\frac {d \log[\log{\log(x)}] }{d\log{\log(x)}} \times \frac {d\log{\log(x)}}{dx}\)
\(\rm =\frac {d \log[\log{\log(x)}] }{d\log{\log(x)}} \times \frac {d\log{\log(x)}}{d\log x} \times \frac {d \log x}{dx}\)
\(\rm = \left( {\frac{1}{{\left[ {\log \left\{ {\log \left( x \right)} \right\}} \right]}}} \right) \times \;\left( {\frac{1}{{logx}}} \right) \times \left( {\frac{1}{x}} \right)\)
\(\rm \frac{{dy}}{{dx}}{\rm{\;}} = \left( {\frac{1}{{\left[ {\left( x \right)\left( {logx} \right)\log \left\{ {\log \left( x \right)} \right\}} \right]}}} \right)\)
यदि y = 2x + x log x, तो \(\rm \frac{dy}{dx}:\) ज्ञात कीजिए।
Answer (Detailed Solution Below)
Chain Rule Question 15 Detailed Solution
Download Solution PDFदिया गया है:
y = 2x + x log x
अवधारणा:
सूत्र \(\rm \frac{d}{dx}(a^x)=a^x\ loga\) का प्रयोग कीजिए।
\(\rm \frac{d}{dx}[f(x)g(x)]=\frac{d}{dx}[f(x)]g(x)+f(x)\frac{d}{dx}[g(x)]\)
गणना:
y = 2x + x log x
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\(\rm \frac{dy}{dx}=2^x\ log 2 + 1\cdot log x + x\cdot\frac{1}{x}\)
\(\rm \frac{dy}{dx}\)= 2x log 2 + log x + 1
अतः विकल्प (4) सही है।