मान लीजिए सभी x, y ϵ R के लिए f(x + y) = f(x) f(y) और f(2) = 4 है, जहाँ f(x) निरंतर फलन है। तो f' (2) किसके बराबर है?

Question

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Answer 1

संकल्पना:

\({\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) = {{\rm{a}}^{\rm{x}}},{\rm{Then\;f'}}\left( {\rm{x}} \right) = {{\rm{a}}^{\rm{x}}}\ln {\rm{a}}\)

गणना:

दिया गया है कि f (2) = 4 और f (x + y) = f(x) f(y)

x = 1, y = 1 रखने पर

f(2) = f(1) f(1) = 4

f(1) = f(1) = 2

अर्थात् f(1) = 2¹

x = 1, और y = 2 रखने पर

f (3) = f(1) f(2) = 2 × 4 = 2³

∴ f(x) = 2^x

⇒ f’(x) = 2^xln 2

∴ f’(2) = 2² ln 2 = 4 ln 2

अतः विकल्प (2) सही है।