Evaluate using Integration by Parts MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Evaluate using Integration by Parts - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

दिया गया है:

f(x) =|x² - x - 2|

= {x²- x - 2; x ∈ (-∞, -1) ∪ (2, ∞)

- (x2 -x -2 ; x ∈[ -1,2]

माना I =

=

=

=

= = 3

इसलिए, विकल्प (b) सही है।

व्याख्या:

दिया गया है:

f(x) =|x² - x - 2|.

= {x² - x - 2; x ∈ (-∞ -1) ∪ (2,∞ ) - (x² - x - 2); x ∈ [-1, 2]

माना I = -

= -

=

∴ विकल्प (d) सही है

गणना

= 2

स्पष्टीकरण -

दिया गया समीकरण:

..... (i)

x के स्थान पर 1/x प्रतिस्थापित करते हैं:

...... (ii)

अब, हमारे पास दो समीकरण हैं:

मान लीजिए: f(x) = a और f(1/x) = b

समीकरण प्रणाली इस प्रकार है:

3a + b = 1/x + 1
3b + a = x + 1

पहले समीकरण को 3 से गुणा करते हैं:

9a + 3b = 3/x + 3

संशोधित प्रथम समीकरण से दूसरे समीकरण को घटाएँ:

9a + 3b - (3b + a) = 3/x + 3 - (x + 1)

⇒ 8a = 3/x + 3 - x - 1

⇒ 8a = 3/x - x + 2

⇒ a =

इसलिए: f(x) =

इस प्रकार, फलन f(x) =

अब, 

=

=

=

=

=

=

=

= ln 8 + ln√e

= ln 8√e

अतः, विकल्प (1) सही है।

स्पष्टीकरण -

दिया गया समीकरण:

..... (i)

x के स्थान पर 1/x प्रतिस्थापित करते हैं:

...... (ii)

अब हमारे पास दो समीकरण हैं:

मान लीजिए: f(x) = a और f(1/x) = b

समीकरण प्रणाली इस प्रकार है:

3a + b = 1/x + 1
3b + a = x + 11

पहले समीकरण को 3 से गुणा करते हैं:

9a + 3b = 3/x + 3

संशोधित प्रथम समीकरण से दूसरे समीकरण को घटाते हैं:

9a + 3b - (3b + a) = 3/x + 3 - (x + 1)

⇒ 8a = 3/x + 3 - x - 1

⇒ 8a = 3/x - x + 2

⇒ a =

इसलिए: f(x) =

इस प्रकार, फलन f(x) =

संकल्पना:

1. खंडश:समाकलन: खंडश:समाकलन गुणनफलों का समाकल ज्ञात करने की एक विधि है। 

खंडश:समाकलन के लिए सूत्र निम्न द्वारा दिया गया है;

⇒ ∫ uv dx = u(x) ∫ v(x) dx - ∫ [u'(x) ∫ v(x) dx] dx

जहाँ u, u(x) का फलन है और v, v(x) का फलन है। 

2. ILATE नियम: सामान्यतौर पर इस नियम का वरीयता क्रम व्युत्क्रम, लघुगुणक, बीजगणितीय, त्रिकोणमितीय और घातांक जैसे कुछ फलनों पर आधारित होता है। 

गणना:

माना कि I =  है। 

खंडश:समाकलन नियम लागू करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

I 

= (e - 0) - (e - 1)

= 1

अवधारणा:

मापांक फलन:

एक मापांक फलन एक ऐसा फलन होता है, जो किसी संख्या या चर का निरपेक्ष मान देता है।

प्रयुक्त सूत्र:

गणना:

हमारे पास है,

⇒ I = 

⇒ 1 1 - x के लिए  1 - x ≥ 0 है।

⇒ I = 

⇒ I = 

⇒ I =  - 

⇒ I = 

⇒ I = 

⇒ I = 1

∴   का अभीष्ट मान 1 है। 

संकल्पना:

खंडश:समाकलन: खंडश:समाकलन गुणनफलों का समाकल ज्ञात करने की एक विधि है।

• खंडश:समाकलन के लिए सूत्र निम्न है,
• ∫u v dx = u∫v dx −∫u' (∫v dx) dx

जहाँ u फलन u(x) है और v फलन v(x) है। 

ILATE नियम: विशेष रूप से इस नियम का वरीयता क्रम व्युत्क्रम, लघुगुणक, बीजगणित, त्रिकोणमितीय और घातांक जैसे कुछ फलन पर आधारित है। 

गणना:

माना कि  I =  है। 

खंडश: नियम को लागू करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

= π3 - 6π

अतः विकल्प (1) सही है। 

संकल्पना:

1. खंडश:समाकलन: खंडश:समाकलन गुणनफलों का समाकलन ज्ञात करने की एक विधि है। 

खंडश:समाकलन के लिए सूत्र निम्न दिया गया है;

 , जहाँ u फलन u(x) है और v फलन v(x) है। 

2. ILATE नियम: सामान्यतौर पर इस नियम का वरीयता क्रम प्रतिलोम, लघुगणक, बीजगणितीय, त्रिकोणमितीय और घातांक जैसे कुछ फलनों पर आधारित होता है। 

गणना:

माना कि I =  है। 

खंडश: नियम लागू करने पर,

= 

संकल्पना:

खंडश:समाकलन: खंडश:समाकलन गुणनफलो का समकाल ज्ञात करने की एक विधि है। 

खंडश:समाकलन के सूत्र को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है;

जहाँ u फलन u(x) और v फलन v(x) है। 

ILATE नियम: सामान्यतौर पर इस नियम का वरीयता क्रम व्युत्क्रम, लघुगुणक, बीजगणितीय, त्रिकोणमितीय और घातांक जैसे कुछ फलनों पर आधारित होता है। 

गणना:

सर्वप्रथम हम सीमा के बिना समाकलन की गणना करेंगे। 

माना कि हम  लेते हैं। 

दोनों पक्षों पर u का अवकलन करने पर हमें निम्न प्राप्त होता है  .

इसलिए, हम दिए गए फलन का समाकलन निम्न रूप में करते हैं:

अब चूँकि दिया गया समाकलन निश्चित है, इसलिए हम समाकलन के स्थिरांक को हटाएंगे और सीमा को रखेंगे। 

अतः .

व्याख्या:

दिया गया है:

f(x) =|x² - x - 2|.

= {x² - x - 2; x ∈ (-∞ -1) ∪ (2,∞ ) - (x² - x - 2); x ∈ [-1, 2]

माना I = -

= -

=

∴ विकल्प (d) सही है

व्याख्या:

दिया गया है:

f(x) =|x² - x - 2|

= {x²- x - 2; x ∈ (-∞, -1) ∪ (2, ∞)

- (x2 -x -2 ; x ∈[ -1,2]

माना I =

=

=

=

= = 3

इसलिए, विकल्प (b) सही है।

संकल्पना:

1. खंडश:समाकलन: खंडश:समाकलन गुणनफलों का समाकल ज्ञात करने की एक विधि है। 

खंडश:समाकलन के लिए सूत्र निम्न द्वारा दिया गया है;

⇒ ∫ uv dx = u(x) ∫ v(x) dx - ∫ [u'(x) ∫ v(x) dx] dx

जहाँ u, u(x) का फलन है और v, v(x) का फलन है। 

2. ILATE नियम: सामान्यतौर पर इस नियम का वरीयता क्रम व्युत्क्रम, लघुगुणक, बीजगणितीय, त्रिकोणमितीय और घातांक जैसे कुछ फलनों पर आधारित होता है। 

गणना:

माना कि I =  है। 

खंडश:समाकलन नियम लागू करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

I 

= (e - 0) - (e - 1)

= 1

संकल्पना:

भागों द्वारा समाकलन:

∫ u v dx = u ∫ v dx − ∫ u' (∫ v dx) dx

u फलन u(x) है 

v फलन v(x) है 

u' फलन  u(x) का अवकलज है

हल:

 log_e x .1 dx = log_e x .  1 dx −  (​.  1dx) dx
⇒ [(log_e x) x]²₁ − (​) x dx

⇒ [x . log_e x − x]²₁

⇒ (2log_e 2 - 2) - (log_e 1 - 1)

⇒ log_e 4 - 1 

⇒ log_e 4 - log_e e

⇒ log_e(4/e)

∴ दिए गए समाकलन का मान loge(4/e) है