Evaluate using Integration by Parts MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Evaluate using Integration by Parts - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

दिया गया है:

f(x) =|x² - x - 2|

= {x²- x - 2; x ∈ (-∞, -1) ∪ (2, ∞)

- (x2 -x -2 ; x ∈[ -1,2]

माना I = \(\int_1^3f(x)dx\)

= \(- \int_1^2(x^2 -x-2)dx+ \int_2^3(x^2-x-2)dx\)

= \(- [\frac{x^3}{3} -\frac{x^2}{2}-2x]^2_1 + [\frac{x^3}{3} -\frac{x^2}{2}-2x]^3_2\)

= \([\frac{8}{3}-\frac{4}{2}-4] - [[\frac{1}{3}-\frac{1}{2}-2] + [\frac{27}{3}-\frac{9}{2}-6] - [\frac{8}{3}-\frac{4}{2}-4] \)

= \(\frac{20}{6} - \frac{13}{6} -\frac{9}{6} +\frac{20}{6}\) = 3

इसलिए, विकल्प (b) सही है।

व्याख्या:

दिया गया है:

f(x) =|x² - x - 2|.

= {x² - x - 2; x ∈ (-∞ -1) ∪ (2,∞ ) - (x² - x - 2); x ∈ [-1, 2]

माना I = - \(\int_0^2(x^2 – x – 2)dx\)

= - \([\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2} -2x]_2^0\)

= \(- [\frac{8}{3}-\frac{4}{2}+4] +0 =\frac{10}{3}\)

∴ विकल्प (d) सही है

गणना

\(\int f(x)g(x)dx=f(x) \int g(x)dx=\int \left(\dfrac{d}{dx} [f(x)] \int g(x)dx \right)dx\)

\(\int_0^1 4\underset{I}{x^3} \frac{d^2}{dx^2} (1-\underset{II}{x^2})^5 dx\)

\(= \left [ 4x^3 \frac{d}{dx} (1-x^2)^5 \right ]_0^1 - \int_0^1 12x^2 \frac{d}{dx} (1 - x^2)^5 dx\)

\(=\left [ 4x^3 \times 5(1-x^2)^4 (-2x) \right ]_0^1 - 12 \left [ \left [ x^2 (1-x^2)^5 \right ]_0^1 - \int_0^1 2x (1-x^2)^5 dx \right ]\)

\(=0-0-12 [0-0] + 12 \int_0^1 2x (1-x^2)^5 dx\)

\(=12 \times \left [ - \frac{(1-x^2)^6}{6} \right ]_0^1\)

\(=12 \left [ 0 + \dfrac{1}{6} \right ] \) = 2

स्पष्टीकरण -

दिया गया समीकरण:

\(3f(x) + f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{x} + 1\) ..... (i)

x के स्थान पर 1/x प्रतिस्थापित करते हैं:

\(3f\left(\frac{1}{x}\right) + f(x) = x + 1\) ...... (ii)

अब, हमारे पास दो समीकरण हैं:

\(3f(x) + f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{x} + 1\)

\(3f\left(\frac{1}{x}\right) + f(x) = x + 1\)

मान लीजिए: f(x) = a और f(1/x) = b

समीकरण प्रणाली इस प्रकार है:

3a + b = 1/x + 1
3b + a = x + 1

पहले समीकरण को 3 से गुणा करते हैं:

9a + 3b = 3/x + 3

संशोधित प्रथम समीकरण से दूसरे समीकरण को घटाएँ:

9a + 3b - (3b + a) = 3/x + 3 - (x + 1)

⇒ 8a = 3/x + 3 - x - 1

⇒ 8a = 3/x - x + 2

⇒ a = \( \frac{1}{8} \left(\frac{3}{x} - x + 2\right)\)

इसलिए: f(x) = \( \frac{1}{8} \left(\frac{3}{x} - x + 2\right)\)

इस प्रकार, फलन f(x) = \(\frac{3}{8x} - \frac{x}{8} + \frac{1}{4}\)

अब, \(8 \int_1^2 f(x) d x\)

= \(8 \int_1^2 [ \frac{3}{8x} - \frac{x}{8} + \frac{1}{4} ]d x\)

= \(8 [ \frac{3}{8}ln (x) - \frac{x^2}{16} + \frac{x}{4} ]_1^2 \)

= \( [ 3ln (x) - \frac{x^2}{2} + 2x ]_1^2 \)

= \( [ 3ln (2) - \frac{4}{2} + 4 ] - [ - \frac{1}{2} + 2]\)

= \( [ 3ln (2) + 2 ] - \frac{3}{2}\)

= \( 3ln (2) + \frac{1}{2}\)

= \( 3ln (2) + \frac{1}{2}ln e\)

= ln 8 + ln√e

= ln 8√e

अतः, विकल्प (1) सही है।

स्पष्टीकरण -

दिया गया समीकरण:

\(3f(x) + f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{x} + 1\) ..... (i)

x के स्थान पर 1/x प्रतिस्थापित करते हैं:

\(3f\left(\frac{1}{x}\right) + f(x) = x + 1\) ...... (ii)

अब हमारे पास दो समीकरण हैं:

\(3f(x) + f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{x} + 1\)

\(3f\left(\frac{1}{x}\right) + f(x) = x + 1\)

मान लीजिए: f(x) = a और f(1/x) = b

समीकरण प्रणाली इस प्रकार है:

3a + b = 1/x + 1
3b + a = x + 11

पहले समीकरण को 3 से गुणा करते हैं:

9a + 3b = 3/x + 3

संशोधित प्रथम समीकरण से दूसरे समीकरण को घटाते हैं:

9a + 3b - (3b + a) = 3/x + 3 - (x + 1)

⇒ 8a = 3/x + 3 - x - 1

⇒ 8a = 3/x - x + 2

⇒ a = \( \frac{1}{8} \left(\frac{3}{x} - x + 2\right)\)

इसलिए: f(x) = \( \frac{1}{8} \left(\frac{3}{x} - x + 2\right)\)

इस प्रकार, फलन f(x) = \(\frac{3}{8x} - \frac{x}{8} + \frac{1}{4}\)

संकल्पना:

1. खंडश:समाकलन: खंडश:समाकलन गुणनफलों का समाकल ज्ञात करने की एक विधि है। 

खंडश:समाकलन के लिए सूत्र निम्न द्वारा दिया गया है;

⇒ ∫ uv dx = u(x) ∫ v(x) dx - ∫ [u'(x) ∫ v(x) dx] dx

जहाँ u, u(x) का फलन है और v, v(x) का फलन है। 

2. ILATE नियम: सामान्यतौर पर इस नियम का वरीयता क्रम व्युत्क्रम, लघुगुणक, बीजगणितीय, त्रिकोणमितीय और घातांक जैसे कुछ फलनों पर आधारित होता है। 

गणना:

माना कि I = \(\displaystyle\int_0^1 \rm xe^x\ dx\) है। 

खंडश:समाकलन नियम लागू करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

I \(\rm = x\int _0^1 e^{x}\;dx - \int _0^1(\frac{dx}{dx}\int e^{x}\;dx)\;dx \)

\(\rm = [xe^{x}]_{0}^{1} - \int _0^11\times e^{x}\;dx\)

\(\rm = [xe^{x}]_{0}^{1} - [e^{x}]_{0}^{1} \)

= (e - 0) - (e - 1)

= 1

अवधारणा:

मापांक फलन:

एक मापांक फलन एक ऐसा फलन होता है, जो किसी संख्या या चर का निरपेक्ष मान देता है।

\(f(x)= |x| = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \ if \ x \ge 0}\\ { - x} \ if x < 0 \end{array}} \right.\)

प्रयुक्त सूत्र:

\(\int x^n dx = \frac{x^{n + 1}}{n+ 1} \)

गणना:

हमारे पास है,

⇒ I = \(\int\limits_0^2 {|1-x|}dx\)

⇒ 1 < x ≤ 2 के लिए 1 - x < 0 और 0 < x ≤ 1 के लिए  1 - x ≥ 0 है।

⇒ I = \(\int\limits_0^1(1 - x)dx \ - \ \int\limits_1^2 (1 - x)dx\)

⇒ I = \(\left[ x - \frac{x^2}{2} \right]_0^1 - \left[ x - \frac{x^2}{2} \right]_1^2 \)

⇒ I = \(\left[ 1- \frac{1}{2} - 0\right]\) - \(\left[ 2 - \frac{2^2}{2} - 1 + \frac{1}{2} \right] \)

⇒ I = \(\left( \frac{1}{2} \right) - \left( 0 - \frac{1}{2} \right) \)

⇒ I = \(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \)

⇒ I = 1

∴  \(\int\limits_0^2 {|1-x|}dx\) का अभीष्ट मान 1 है। 

संकल्पना:

खंडश:समाकलन: खंडश:समाकलन गुणनफलों का समाकल ज्ञात करने की एक विधि है।

• खंडश:समाकलन के लिए सूत्र निम्न है,
• ∫u v dx = u∫v dx −∫u' (∫v dx) dx

जहाँ u फलन u(x) है और v फलन v(x) है। 

ILATE नियम: विशेष रूप से इस नियम का वरीयता क्रम व्युत्क्रम, लघुगुणक, बीजगणित, त्रिकोणमितीय और घातांक जैसे कुछ फलन पर आधारित है। 

गणना:

माना कि  I = \(\int^\pi_0 x^3 \sin xdx\) है। 

खंडश: नियम को लागू करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

\(\rm =x^3 \int^\pi_0sinxdx- \int^\pi_03x^2(-cosx)dx\)

\(\rm =[x^3(-cosx)]_0^\pi+3[x^2\int^\pi_0cosxdx- \int^\pi_02x(sinx)dx]_0^\pi\)

\(\rm =\pi^3+0-6\int^\pi_0x(sinx)dx\)

\(\rm=\pi^3-6[x\int^\pi_0sinxdx- \int^\pi_0(-cosx)dx]\)

\(\rm =\pi^3-6[\pi- 0]\)

= π3 - 6π

संकल्पना:

1. खंडश:समाकलन: खंडश:समाकलन गुणनफलों का समाकलन ज्ञात करने की एक विधि है। 

खंडश:समाकलन के लिए सूत्र निम्न दिया गया है;

 \(\Rightarrow \smallint {\rm{u\;vdx}} = {\rm{u\;}}\smallint {\rm{vdx}} - {\rm{\;}}\smallint \left( {\frac{{{\rm{du}}}}{{{\rm{dx}}}}{\rm{\;}}\smallint {\rm{vdx}}} \right){\rm{dx}}\), जहाँ u फलन u(x) है और v फलन v(x) है। 

2. ILATE नियम: सामान्यतौर पर इस नियम का वरीयता क्रम प्रतिलोम, लघुगणक, बीजगणितीय, त्रिकोणमितीय और घातांक जैसे कुछ फलनों पर आधारित होता है। 

गणना:

माना कि I = \(\rm \displaystyle\int_0^1 x \tan^{-1} xdx \) है। 

खंडश: नियम लागू करने पर,\(\rm= [{\tan ^{ - 1}}x \cdot \;\displaystyle\int x\;dx]_0^1 - \;\displaystyle\int_0^1 \left\{ {\frac{{d\left( {{{\tan }^{ - 1}}x} \right)}}{{dx}} \cdot \;\displaystyle\int x\;dx} \right\}dx\)

\( = \rm [{\tan ^{ - 1}}x \cdot \frac{{{x^2}}}{2}]_0^1 - \;\displaystyle\int_0^1 \frac{1}{{1 + {x^2}}} \cdot \frac{{{x^2}}}{2}\;dx\)

\( = \rm [{\tan ^{ - 1}}x \cdot \frac{{{x^2}}}{2}]_0^1 - \;\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_0^1 \frac{1+x^2-1}{{1 + {x^2}}}\;dx\)

\( = \rm [{\tan ^{ - 1}}x \cdot \frac{{{x^2}}}{2}]_0^1 - \;\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_0^1 [1 -\frac{1}{{1 + {x^2}}}]\;dx\)

\( = \rm [{\tan ^{ - 1}}x \cdot \frac{{{x^2}}}{2}]_0^1 - \frac{1}{2} [x - {\tan ^{ - 1}}x ]_0^1\)

\( = \rm [{\tan ^{ - 1}}1 \cdot \frac{{{1^2}}}{2}] - \frac{1}{2} [1 - {\tan ^{ - 1}}1 ]\\= \dfrac{\pi}{4}\times \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2} \times \dfrac{\pi}{4}\)

= \(\rm \dfrac{\pi}{4}-\dfrac{1}{2}\)

संकल्पना:

खंडश:समाकलन: खंडश:समाकलन गुणनफलो का समकाल ज्ञात करने की एक विधि है। 

खंडश:समाकलन के सूत्र को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है;

 \(\Rightarrow \smallint {\rm{u\;vdx}} = {\rm{u\;}}\smallint {\rm{vdx}} - \smallint \left( {\frac{{{\rm{du}}}}{{{\rm{dx}}}}{\rm{\;}}\smallint {\rm{vdx}}} \right){\rm{dx}}\) 

जहाँ u फलन u(x) और v फलन v(x) है। 

ILATE नियम: सामान्यतौर पर इस नियम का वरीयता क्रम व्युत्क्रम, लघुगुणक, बीजगणितीय, त्रिकोणमितीय और घातांक जैसे कुछ फलनों पर आधारित होता है। 

गणना:

सर्वप्रथम हम सीमा के बिना समाकलन की गणना करेंगे। 

माना कि हम \(\rm \cot^{-1}x=u\) लेते हैं। 

दोनों पक्षों पर u का अवकलन करने पर हमें निम्न प्राप्त होता है \(\rm -\dfrac{1}{1+x^2}dx=du\) .

इसलिए, हम दिए गए फलन का समाकलन निम्न रूप में करते हैं:

\(\rm \int cot^{-1}x\,dx = x\cot^{-1}x + \int \dfrac{x}{1+x^2}\, dx\\ = x\cot^{-1}x + \dfrac{1}{2}\ln(1+x^2) +C \)

अब चूँकि दिया गया समाकलन निश्चित है, इसलिए हम समाकलन के स्थिरांक को हटाएंगे और सीमा को रखेंगे। \(\begin{align*} \int_{-3}^{3}\cot^{-1}x &= \left[x\cot^{-1}x+\dfrac{1}{2}\ln(1+x^2)\right]_{-3}^{3}\\ &= \left[3\cot^{-1}3+\dfrac{1}{2}\ln(10)\right]-\left[-3\cot^{-1}(-3)+\dfrac{1}{2}\ln(10)\right]\\ &= 3\left(\cot^{-1}(3)+\cot^{-1}(-3)\right)\\ &= 3\left(\cot^{-1}(3)+\pi -\cot^{-1}(3)\right)\\ &= 3\pi \end{align*}\)

अतः \(\displaystyle\int_{-3}^{3}\cot^{-1}x\, dx = 3\pi\).

व्याख्या:

दिया गया है:

f(x) =|x² - x - 2|.

= {x² - x - 2; x ∈ (-∞ -1) ∪ (2,∞ ) - (x² - x - 2); x ∈ [-1, 2]

माना I = - \(\int_0^2(x^2 – x – 2)dx\)

= - \([\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2} -2x]_2^0\)

= \(- [\frac{8}{3}-\frac{4}{2}+4] +0 =\frac{10}{3}\)

∴ विकल्प (d) सही है

व्याख्या:

दिया गया है:

f(x) =|x² - x - 2|

= {x²- x - 2; x ∈ (-∞, -1) ∪ (2, ∞)

- (x2 -x -2 ; x ∈[ -1,2]

माना I = \(\int_1^3f(x)dx\)

= \(- \int_1^2(x^2 -x-2)dx+ \int_2^3(x^2-x-2)dx\)

= \(- [\frac{x^3}{3} -\frac{x^2}{2}-2x]^2_1 + [\frac{x^3}{3} -\frac{x^2}{2}-2x]^3_2\)

= \([\frac{8}{3}-\frac{4}{2}-4] - [[\frac{1}{3}-\frac{1}{2}-2] + [\frac{27}{3}-\frac{9}{2}-6] - [\frac{8}{3}-\frac{4}{2}-4] \)

= \(\frac{20}{6} - \frac{13}{6} -\frac{9}{6} +\frac{20}{6}\) = 3

इसलिए, विकल्प (b) सही है।

संकल्पना:

1. खंडश:समाकलन: खंडश:समाकलन गुणनफलों का समाकल ज्ञात करने की एक विधि है। 

खंडश:समाकलन के लिए सूत्र निम्न द्वारा दिया गया है;

⇒ ∫ uv dx = u(x) ∫ v(x) dx - ∫ [u'(x) ∫ v(x) dx] dx

जहाँ u, u(x) का फलन है और v, v(x) का फलन है। 

2. ILATE नियम: सामान्यतौर पर इस नियम का वरीयता क्रम व्युत्क्रम, लघुगुणक, बीजगणितीय, त्रिकोणमितीय और घातांक जैसे कुछ फलनों पर आधारित होता है। 

गणना:

माना कि I = \(\displaystyle\int_0^1 \rm xe^x\ dx\) है। 

खंडश:समाकलन नियम लागू करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

I \(\rm = x\int _0^1 e^{x}\;dx - \int _0^1(\frac{dx}{dx}\int e^{x}\;dx)\;dx \)

\(\rm = [xe^{x}]_{0}^{1} - \int _0^11\times e^{x}\;dx\)

\(\rm = [xe^{x}]_{0}^{1} - [e^{x}]_{0}^{1} \)

= (e - 0) - (e - 1)

= 1

संकल्पना:

भागों द्वारा समाकलन:

∫ u v dx = u ∫ v dx − ∫ u' (∫ v dx) dx

u फलन u(x) है 

v फलन v(x) है 

u' फलन  u(x) का अवकलज है

हल:

\(\displaystyle \int_{1}^{2}\) log_e x .1 dx = log_e x . \(\displaystyle \int\) 1 dx − \(\displaystyle \int\) (\(\frac{1}{x}\)​. \(\displaystyle \int\) 1dx) dx
⇒ [(log_e x) x]²₁ − \(\displaystyle \int_{1}^{2}\)(\(\frac{1}{x}\)​) x dx

⇒ [x . log_e x − x]²₁

⇒ (2log_e 2 - 2) - (log_e 1 - 1)

⇒ log_e 4 - 1 

⇒ log_e 4 - log_e e

⇒ log_e(4/e)

∴ दिए गए समाकलन का मान loge(4/e) है