Evaluate using Integration by Parts MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Evaluate using Integration by Parts - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Apr 11, 2025
Latest Evaluate using Integration by Parts MCQ Objective Questions
Evaluate using Integration by Parts Question 1:
Comprehension:
निर्देश : निम्नलिखित प्रश्नों के लिए नीचे दिए गए कथनों पर विचार करें:
माना f(x) = |x2 - x - 2|
\(\rm \int_1^3f(x)dx\) किसके बराबर है?
Answer (Detailed Solution Below)
Evaluate using Integration by Parts Question 1 Detailed Solution
व्याख्या:
दिया गया है:
f(x) =|x2 - x - 2|
= {x2- x - 2; x ∈ (-∞, -1) ∪ (2, ∞)
- (x2 -x -2 ; x ∈[ -1,2]
माना I = \(\int_1^3f(x)dx\)
= \(- \int_1^2(x^2 -x-2)dx+ \int_2^3(x^2-x-2)dx\)
= \(- [\frac{x^3}{3} -\frac{x^2}{2}-2x]^2_1 + [\frac{x^3}{3} -\frac{x^2}{2}-2x]^3_2\)
= \([\frac{8}{3}-\frac{4}{2}-4] - [[\frac{1}{3}-\frac{1}{2}-2] + [\frac{27}{3}-\frac{9}{2}-6] - [\frac{8}{3}-\frac{4}{2}-4] \)
= \(\frac{20}{6} - \frac{13}{6} -\frac{9}{6} +\frac{20}{6}\) = 3
इसलिए, विकल्प (b) सही है।
Evaluate using Integration by Parts Question 2:
Comprehension:
निर्देश : निम्नलिखित प्रश्नों के लिए नीचे दिए गए कथनों पर विचार करें:
माना f(x) = |x2 - x - 2|
\(\rm \int_0^2f(x)dx\) किसके बराबर है?
Answer (Detailed Solution Below)
Evaluate using Integration by Parts Question 2 Detailed Solution
व्याख्या:
दिया गया है:
f(x) =|x2 - x - 2|.
= {x2 - x - 2; x ∈ (-∞ -1) ∪ (2,∞ ) - (x2 - x - 2); x ∈ [-1, 2]
माना I = - \(\int_0^2(x^2 – x – 2)dx\)
= - \([\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2} -2x]_2^0\)
= \(- [\frac{8}{3}-\frac{4}{2}+4] +0 =\frac{10}{3}\)
∴ विकल्प (d) सही है
Evaluate using Integration by Parts Question 3:
\(\int_0^1 4x^3 \left \{ \frac{d^2}{dx^2} (1-x^2)^5 \right \} dx\) का मान कितना है?
Answer (Detailed Solution Below) 2
Evaluate using Integration by Parts Question 3 Detailed Solution
गणना
\(\int f(x)g(x)dx=f(x) \int g(x)dx=\int \left(\dfrac{d}{dx} [f(x)] \int g(x)dx \right)dx\)
\(\int_0^1 4\underset{I}{x^3} \frac{d^2}{dx^2} (1-\underset{II}{x^2})^5 dx\)
\(= \left [ 4x^3 \frac{d}{dx} (1-x^2)^5 \right ]_0^1 - \int_0^1 12x^2 \frac{d}{dx} (1 - x^2)^5 dx\)
\(=\left [ 4x^3 \times 5(1-x^2)^4 (-2x) \right ]_0^1 - 12 \left [ \left [ x^2 (1-x^2)^5 \right ]_0^1 - \int_0^1 2x (1-x^2)^5 dx \right ]\)
\(=0-0-12 [0-0] + 12 \int_0^1 2x (1-x^2)^5 dx\)
\(=12 \times \left [ - \frac{(1-x^2)^6}{6} \right ]_0^1\)
\(=12 \left [ 0 + \dfrac{1}{6} \right ] \) = 2
Evaluate using Integration by Parts Question 4:
Comprehension:
प्रश्नांशों के लिए निम्नलिखित पर विचार कीजिए :
मान लीजिए \(3 f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{x}+1\)
\(8 \int_1^2 f(x) d x\) किसके बराबर है ?
Answer (Detailed Solution Below)
Evaluate using Integration by Parts Question 4 Detailed Solution
स्पष्टीकरण -
दिया गया समीकरण:
\(3f(x) + f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{x} + 1\) ..... (i)
x के स्थान पर 1/x प्रतिस्थापित करते हैं:
\(3f\left(\frac{1}{x}\right) + f(x) = x + 1\) ...... (ii)
अब, हमारे पास दो समीकरण हैं:
\(3f(x) + f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{x} + 1\)
\(3f\left(\frac{1}{x}\right) + f(x) = x + 1\)
मान लीजिए: f(x) = a और f(1/x) = b
समीकरण प्रणाली इस प्रकार है:
3a + b = 1/x + 1
3b + a = x + 1
पहले समीकरण को 3 से गुणा करते हैं:
9a + 3b = 3/x + 3
संशोधित प्रथम समीकरण से दूसरे समीकरण को घटाएँ:
9a + 3b - (3b + a) = 3/x + 3 - (x + 1)
⇒ 8a = 3/x + 3 - x - 1
⇒ 8a = 3/x - x + 2
⇒ a = \( \frac{1}{8} \left(\frac{3}{x} - x + 2\right)\)
इसलिए: f(x) = \( \frac{1}{8} \left(\frac{3}{x} - x + 2\right)\)
इस प्रकार, फलन f(x) = \(\frac{3}{8x} - \frac{x}{8} + \frac{1}{4}\)
अब, \(8 \int_1^2 f(x) d x\)
= \(8 \int_1^2 [ \frac{3}{8x} - \frac{x}{8} + \frac{1}{4} ]d x\)
= \(8 [ \frac{3}{8}ln (x) - \frac{x^2}{16} + \frac{x}{4} ]_1^2 \)
= \( [ 3ln (x) - \frac{x^2}{2} + 2x ]_1^2 \)
= \( [ 3ln (2) - \frac{4}{2} + 4 ] - [ - \frac{1}{2} + 2]\)
= \( [ 3ln (2) + 2 ] - \frac{3}{2}\)
= \( 3ln (2) + \frac{1}{2}\)
= \( 3ln (2) + \frac{1}{2}ln e\)
= ln 8 + ln√e
= ln 8√e
अतः, विकल्प (1) सही है।
Evaluate using Integration by Parts Question 5:
Comprehension:
प्रश्नांशों के लिए निम्नलिखित पर विचार कीजिए :
मान लीजिए \(3 f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{x}+1\)
f(x) किसके बराबर है ?
Answer (Detailed Solution Below)
Evaluate using Integration by Parts Question 5 Detailed Solution
स्पष्टीकरण -
दिया गया समीकरण:
\(3f(x) + f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{x} + 1\) ..... (i)
x के स्थान पर 1/x प्रतिस्थापित करते हैं:
\(3f\left(\frac{1}{x}\right) + f(x) = x + 1\) ...... (ii)
अब हमारे पास दो समीकरण हैं:
\(3f(x) + f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{x} + 1\)
\(3f\left(\frac{1}{x}\right) + f(x) = x + 1\)
मान लीजिए: f(x) = a और f(1/x) = b
समीकरण प्रणाली इस प्रकार है:
3a + b = 1/x + 1
3b + a = x + 11
पहले समीकरण को 3 से गुणा करते हैं:
9a + 3b = 3/x + 3
संशोधित प्रथम समीकरण से दूसरे समीकरण को घटाते हैं:
9a + 3b - (3b + a) = 3/x + 3 - (x + 1)
⇒ 8a = 3/x + 3 - x - 1
⇒ 8a = 3/x - x + 2
⇒ a = \( \frac{1}{8} \left(\frac{3}{x} - x + 2\right)\)
इसलिए: f(x) = \( \frac{1}{8} \left(\frac{3}{x} - x + 2\right)\)
इस प्रकार, फलन f(x) = \(\frac{3}{8x} - \frac{x}{8} + \frac{1}{4}\)
Top Evaluate using Integration by Parts MCQ Objective Questions
\(\displaystyle\int_0^1 \rm xe^x\ dx\) किसके बराबर है?
Answer (Detailed Solution Below)
Evaluate using Integration by Parts Question 6 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
1. खंडश:समाकलन: खंडश:समाकलन गुणनफलों का समाकल ज्ञात करने की एक विधि है।
खंडश:समाकलन के लिए सूत्र निम्न द्वारा दिया गया है;
⇒ ∫ uv dx = u(x) ∫ v(x) dx - ∫ [u'(x) ∫ v(x) dx] dx
जहाँ u, u(x) का फलन है और v, v(x) का फलन है।
2. ILATE नियम: सामान्यतौर पर इस नियम का वरीयता क्रम व्युत्क्रम, लघुगुणक, बीजगणितीय, त्रिकोणमितीय और घातांक जैसे कुछ फलनों पर आधारित होता है।
गणना:
माना कि I = \(\displaystyle\int_0^1 \rm xe^x\ dx\) है।
खंडश:समाकलन नियम लागू करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है
I \(\rm = x\int _0^1 e^{x}\;dx - \int _0^1(\frac{dx}{dx}\int e^{x}\;dx)\;dx \)
\(\rm = [xe^{x}]_{0}^{1} - \int _0^11\times e^{x}\;dx\)
\(\rm = [xe^{x}]_{0}^{1} - [e^{x}]_{0}^{1} \)
= (e - 0) - (e - 1)
= 1
\(\int\limits_0^2 {|1-x|}dx=\)
Answer (Detailed Solution Below)
Evaluate using Integration by Parts Question 7 Detailed Solution
Download Solution PDFअवधारणा:
मापांक फलन:
एक मापांक फलन एक ऐसा फलन होता है, जो किसी संख्या या चर का निरपेक्ष मान देता है।
\(f(x)= |x| = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \ if \ x \ge 0}\\ { - x} \ if x < 0 \end{array}} \right.\)
प्रयुक्त सूत्र:
\(\int x^n dx = \frac{x^{n + 1}}{n+ 1} \)
गणना:
हमारे पास है,
⇒ I = \(\int\limits_0^2 {|1-x|}dx\)
⇒ 1 < x ≤ 2 के लिए 1 - x < 0 और 0 < x ≤ 1 के लिए 1 - x ≥ 0 है।
⇒ I = \(\int\limits_0^1(1 - x)dx \ - \ \int\limits_1^2 (1 - x)dx\)
⇒ I = \(\left[ x - \frac{x^2}{2} \right]_0^1 - \left[ x - \frac{x^2}{2} \right]_1^2 \)
⇒ I = \(\left[ 1- \frac{1}{2} - 0\right]\) - \(\left[ 2 - \frac{2^2}{2} - 1 + \frac{1}{2} \right] \)
⇒ I = \(\left( \frac{1}{2} \right) - \left( 0 - \frac{1}{2} \right) \)
⇒ I = \(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \)
⇒ I = 1
∴ \(\int\limits_0^2 {|1-x|}dx\) का अभीष्ट मान 1 है।
\(\int^\pi_0 x^3 \sin xdx\) का मान क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Evaluate using Integration by Parts Question 8 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
खंडश:समाकलन: खंडश:समाकलन गुणनफलों का समाकल ज्ञात करने की एक विधि है।
- खंडश:समाकलन के लिए सूत्र निम्न है,
- ∫u v dx = u∫v dx −∫u' (∫v dx) dx
जहाँ u फलन u(x) है और v फलन v(x) है।
ILATE नियम: विशेष रूप से इस नियम का वरीयता क्रम व्युत्क्रम, लघुगुणक, बीजगणित, त्रिकोणमितीय और घातांक जैसे कुछ फलन पर आधारित है।
गणना:
माना कि I = \(\int^\pi_0 x^3 \sin xdx\) है।
खंडश: नियम को लागू करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है
\(\rm =x^3 \int^\pi_0sinxdx- \int^\pi_03x^2(-cosx)dx\)
\(\rm =[x^3(-cosx)]_0^\pi+3[x^2\int^\pi_0cosxdx- \int^\pi_02x(sinx)dx]_0^\pi\)
\(\rm =\pi^3+0-6\int^\pi_0x(sinx)dx\)
\(\rm=\pi^3-6[x\int^\pi_0sinxdx- \int^\pi_0(-cosx)dx]\)
\(\rm =\pi^3-6[\pi- 0]\)
= π3 - 6π
अतः विकल्प (1) सही है।\(\rm \displaystyle\int_0^1 x \tan^{-1} xdx =\) का मान क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Evaluate using Integration by Parts Question 9 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
1. खंडश:समाकलन: खंडश:समाकलन गुणनफलों का समाकलन ज्ञात करने की एक विधि है।
खंडश:समाकलन के लिए सूत्र निम्न दिया गया है;
\(\Rightarrow \smallint {\rm{u\;vdx}} = {\rm{u\;}}\smallint {\rm{vdx}} - {\rm{\;}}\smallint \left( {\frac{{{\rm{du}}}}{{{\rm{dx}}}}{\rm{\;}}\smallint {\rm{vdx}}} \right){\rm{dx}}\), जहाँ u फलन u(x) है और v फलन v(x) है।
2. ILATE नियम: सामान्यतौर पर इस नियम का वरीयता क्रम प्रतिलोम, लघुगणक, बीजगणितीय, त्रिकोणमितीय और घातांक जैसे कुछ फलनों पर आधारित होता है।
गणना:
माना कि I = \(\rm \displaystyle\int_0^1 x \tan^{-1} xdx \) है।
खंडश: नियम लागू करने पर,\(\rm= [{\tan ^{ - 1}}x \cdot \;\displaystyle\int x\;dx]_0^1 - \;\displaystyle\int_0^1 \left\{ {\frac{{d\left( {{{\tan }^{ - 1}}x} \right)}}{{dx}} \cdot \;\displaystyle\int x\;dx} \right\}dx\)
\( = \rm [{\tan ^{ - 1}}x \cdot \frac{{{x^2}}}{2}]_0^1 - \;\displaystyle\int_0^1 \frac{1}{{1 + {x^2}}} \cdot \frac{{{x^2}}}{2}\;dx\)
\( = \rm [{\tan ^{ - 1}}x \cdot \frac{{{x^2}}}{2}]_0^1 - \;\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_0^1 \frac{1+x^2-1}{{1 + {x^2}}}\;dx\)
\( = \rm [{\tan ^{ - 1}}x \cdot \frac{{{x^2}}}{2}]_0^1 - \;\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_0^1 [1 -\frac{1}{{1 + {x^2}}}]\;dx\)
\( = \rm [{\tan ^{ - 1}}x \cdot \frac{{{x^2}}}{2}]_0^1 - \frac{1}{2} [x - {\tan ^{ - 1}}x ]_0^1\)
\( = \rm [{\tan ^{ - 1}}1 \cdot \frac{{{1^2}}}{2}] - \frac{1}{2} [1 - {\tan ^{ - 1}}1 ]\\= \dfrac{\pi}{4}\times \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2} \times \dfrac{\pi}{4}\)
= \(\rm \dfrac{\pi}{4}-\dfrac{1}{2}\)
\(\rm \displaystyle\int_{-3}^3 \cot^{-1} \ x \ dx =\) का मान क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Evaluate using Integration by Parts Question 10 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
खंडश:समाकलन: खंडश:समाकलन गुणनफलो का समकाल ज्ञात करने की एक विधि है।
खंडश:समाकलन के सूत्र को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है;
\(\Rightarrow \smallint {\rm{u\;vdx}} = {\rm{u\;}}\smallint {\rm{vdx}} - \smallint \left( {\frac{{{\rm{du}}}}{{{\rm{dx}}}}{\rm{\;}}\smallint {\rm{vdx}}} \right){\rm{dx}}\)
जहाँ u फलन u(x) और v फलन v(x) है।
ILATE नियम: सामान्यतौर पर इस नियम का वरीयता क्रम व्युत्क्रम, लघुगुणक, बीजगणितीय, त्रिकोणमितीय और घातांक जैसे कुछ फलनों पर आधारित होता है।
गणना:
सर्वप्रथम हम सीमा के बिना समाकलन की गणना करेंगे।
माना कि हम \(\rm \cot^{-1}x=u\) लेते हैं।
दोनों पक्षों पर u का अवकलन करने पर हमें निम्न प्राप्त होता है \(\rm -\dfrac{1}{1+x^2}dx=du\) .
इसलिए, हम दिए गए फलन का समाकलन निम्न रूप में करते हैं:
\(\rm \int cot^{-1}x\,dx = x\cot^{-1}x + \int \dfrac{x}{1+x^2}\, dx\\ = x\cot^{-1}x + \dfrac{1}{2}\ln(1+x^2) +C \)
अब चूँकि दिया गया समाकलन निश्चित है, इसलिए हम समाकलन के स्थिरांक को हटाएंगे और सीमा को रखेंगे। \(\begin{align*} \int_{-3}^{3}\cot^{-1}x &= \left[x\cot^{-1}x+\dfrac{1}{2}\ln(1+x^2)\right]_{-3}^{3}\\ &= \left[3\cot^{-1}3+\dfrac{1}{2}\ln(10)\right]-\left[-3\cot^{-1}(-3)+\dfrac{1}{2}\ln(10)\right]\\ &= 3\left(\cot^{-1}(3)+\cot^{-1}(-3)\right)\\ &= 3\left(\cot^{-1}(3)+\pi -\cot^{-1}(3)\right)\\ &= 3\pi \end{align*}\)
अतः \(\displaystyle\int_{-3}^{3}\cot^{-1}x\, dx = 3\pi\).
\(\mathop \smallint \limits_2^5 \frac{{{x^2}}}{{\left( {{x^2} - 9} \right)}}dx = ?\)
Answer (Detailed Solution Below)
Evaluate using Integration by Parts Question 11 Detailed Solution
Download Solution PDFComprehension:
निर्देश : निम्नलिखित प्रश्नों के लिए नीचे दिए गए कथनों पर विचार करें:
माना f(x) = |x2 - x - 2|
\(\rm \int_0^2f(x)dx\) किसके बराबर है?
Answer (Detailed Solution Below)
Evaluate using Integration by Parts Question 12 Detailed Solution
Download Solution PDFव्याख्या:
दिया गया है:
f(x) =|x2 - x - 2|.
= {x2 - x - 2; x ∈ (-∞ -1) ∪ (2,∞ ) - (x2 - x - 2); x ∈ [-1, 2]
माना I = - \(\int_0^2(x^2 – x – 2)dx\)
= - \([\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2} -2x]_2^0\)
= \(- [\frac{8}{3}-\frac{4}{2}+4] +0 =\frac{10}{3}\)
∴ विकल्प (d) सही है
Comprehension:
निर्देश : निम्नलिखित प्रश्नों के लिए नीचे दिए गए कथनों पर विचार करें:
माना f(x) = |x2 - x - 2|
\(\rm \int_1^3f(x)dx\) किसके बराबर है?
Answer (Detailed Solution Below)
Evaluate using Integration by Parts Question 13 Detailed Solution
Download Solution PDFव्याख्या:
दिया गया है:
f(x) =|x2 - x - 2|
= {x2- x - 2; x ∈ (-∞, -1) ∪ (2, ∞)
- (x2 -x -2 ; x ∈[ -1,2]
माना I = \(\int_1^3f(x)dx\)
= \(- \int_1^2(x^2 -x-2)dx+ \int_2^3(x^2-x-2)dx\)
= \(- [\frac{x^3}{3} -\frac{x^2}{2}-2x]^2_1 + [\frac{x^3}{3} -\frac{x^2}{2}-2x]^3_2\)
= \([\frac{8}{3}-\frac{4}{2}-4] - [[\frac{1}{3}-\frac{1}{2}-2] + [\frac{27}{3}-\frac{9}{2}-6] - [\frac{8}{3}-\frac{4}{2}-4] \)
= \(\frac{20}{6} - \frac{13}{6} -\frac{9}{6} +\frac{20}{6}\) = 3
इसलिए, विकल्प (b) सही है।
Evaluate using Integration by Parts Question 14:
\(\displaystyle\int_0^1 \rm xe^x\ dx\) किसके बराबर है?
Answer (Detailed Solution Below)
Evaluate using Integration by Parts Question 14 Detailed Solution
संकल्पना:
1. खंडश:समाकलन: खंडश:समाकलन गुणनफलों का समाकल ज्ञात करने की एक विधि है।
खंडश:समाकलन के लिए सूत्र निम्न द्वारा दिया गया है;
⇒ ∫ uv dx = u(x) ∫ v(x) dx - ∫ [u'(x) ∫ v(x) dx] dx
जहाँ u, u(x) का फलन है और v, v(x) का फलन है।
2. ILATE नियम: सामान्यतौर पर इस नियम का वरीयता क्रम व्युत्क्रम, लघुगुणक, बीजगणितीय, त्रिकोणमितीय और घातांक जैसे कुछ फलनों पर आधारित होता है।
गणना:
माना कि I = \(\displaystyle\int_0^1 \rm xe^x\ dx\) है।
खंडश:समाकलन नियम लागू करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है
I \(\rm = x\int _0^1 e^{x}\;dx - \int _0^1(\frac{dx}{dx}\int e^{x}\;dx)\;dx \)
\(\rm = [xe^{x}]_{0}^{1} - \int _0^11\times e^{x}\;dx\)
\(\rm = [xe^{x}]_{0}^{1} - [e^{x}]_{0}^{1} \)
= (e - 0) - (e - 1)
= 1
Evaluate using Integration by Parts Question 15:
\(\displaystyle \int_1^2 \log x\:dx\) किसके बराबर है?
Answer (Detailed Solution Below)
Evaluate using Integration by Parts Question 15 Detailed Solution
संकल्पना:
भागों द्वारा समाकलन:
∫ u v dx = u ∫ v dx − ∫ u' (∫ v dx) dx
u फलन u(x) है
v फलन v(x) है
u' फलन u(x) का अवकलज है
हल:
\(\displaystyle \int_{1}^{2}\) loge x .1 dx = loge x . \(\displaystyle \int\) 1 dx − \(\displaystyle \int\) (\(\frac{1}{x}\). \(\displaystyle \int\) 1dx) dx
⇒ [(loge x) x]21 − \(\displaystyle \int_{1}^{2}\)(\(\frac{1}{x}\)) x dx
⇒ [x . loge x − x]21
⇒ (2loge 2 - 2) - (loge 1 - 1)
⇒ loge 4 - 1
⇒ loge 4 - loge e
⇒ loge(4/e)
∴ दिए गए समाकलन का मान loge(4/e) है