Evaluate using Integration by Parts MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Evaluate using Integration by Parts - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

Last updated on Apr 11, 2025

पाईये Evaluate using Integration by Parts उत्तर और विस्तृत समाधान के साथ MCQ प्रश्न। इन्हें मुफ्त में डाउनलोड करें Evaluate using Integration by Parts MCQ क्विज़ Pdf और अपनी आगामी परीक्षाओं जैसे बैंकिंग, SSC, रेलवे, UPSC, State PSC की तैयारी करें।

Latest Evaluate using Integration by Parts MCQ Objective Questions

Evaluate using Integration by Parts Question 1:

Comprehension:

निर्देश : निम्नलिखित प्रश्नों के लिए नीचे दिए गए कथनों पर विचार करें:

माना f(x) = |x2 - x - 2|

\(\rm \int_1^3f(x)dx\) किसके बराबर है?

  1. 2
  2. 3
  3. 4
  4. 5

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : 3

Evaluate using Integration by Parts Question 1 Detailed Solution

व्याख्या:

दिया गया है:

f(x) =|x2 - x - 2|

= {x2- x - 2; x ∈ (-∞, -1) ∪ (2, ∞)

- (x2 -x -2 ; x ∈[ -1,2]

माना I = \(\int_1^3f(x)dx\)

= \(- \int_1^2(x^2 -x-2)dx+ \int_2^3(x^2-x-2)dx\)

= \(- [\frac{x^3}{3} -\frac{x^2}{2}-2x]^2_1 + [\frac{x^3}{3} -\frac{x^2}{2}-2x]^3_2\)

= \([\frac{8}{3}-\frac{4}{2}-4] - [[\frac{1}{3}-\frac{1}{2}-2] + [\frac{27}{3}-\frac{9}{2}-6] - [\frac{8}{3}-\frac{4}{2}-4] \)

= \(\frac{20}{6} - \frac{13}{6} -\frac{9}{6} +\frac{20}{6}\) = 3

इसलिए, विकल्प (b) सही है।

Evaluate using Integration by Parts Question 2:

Comprehension:

निर्देश : निम्नलिखित प्रश्नों के लिए नीचे दिए गए कथनों पर विचार करें:

माना f(x) = |x2 - x - 2|

\(\rm \int_0^2f(x)dx\) किसके बराबर है?

  1. 0
  2. 1
  3. 5/3
  4. 10/3

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : 10/3

Evaluate using Integration by Parts Question 2 Detailed Solution

व्याख्या:

दिया गया है:

f(x) =|x2 - x - 2|.

= {x2 - x - 2; x ∈ (-∞ -1) ∪ (2,∞ ) - (x2 - x - 2); x ∈ [-1, 2]

माना I = - \(\int_0^2(x^2 – x – 2)dx\)

= - \([\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2} -2x]_2^0\)

= \(- [\frac{8}{3}-\frac{4}{2}+4] +0 =\frac{10}{3}\)

∴ विकल्प (d) सही है

Evaluate using Integration by Parts Question 3:

\(\int_0^1 4x^3 \left \{ \frac{d^2}{dx^2} (1-x^2)^5 \right \} dx\) का मान कितना है?

Answer (Detailed Solution Below) 2

Evaluate using Integration by Parts Question 3 Detailed Solution

गणना

\(\int f(x)g(x)dx=f(x) \int g(x)dx=\int \left(\dfrac{d}{dx} [f(x)] \int g(x)dx \right)dx\)

\(\int_0^1 4\underset{I}{x^3} \frac{d^2}{dx^2} (1-\underset{II}{x^2})^5 dx\)

\(= \left [ 4x^3 \frac{d}{dx} (1-x^2)^5 \right ]_0^1 - \int_0^1 12x^2 \frac{d}{dx} (1 - x^2)^5 dx\)

\(=\left [ 4x^3 \times 5(1-x^2)^4 (-2x) \right ]_0^1 - 12 \left [ \left [ x^2 (1-x^2)^5 \right ]_0^1 - \int_0^1 2x (1-x^2)^5 dx \right ]\)

\(=0-0-12 [0-0] + 12 \int_0^1 2x (1-x^2)^5 dx\)

\(=12 \times \left [ - \frac{(1-x^2)^6}{6} \right ]_0^1\)

\(=12 \left [ 0 + \dfrac{1}{6} \right ] \) = 2

Evaluate using Integration by Parts Question 4:

Comprehension:

प्रश्नांशों के लिए निम्नलिखित पर विचार कीजिए :

मान लीजिए \(3 f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{x}+1\)

\(8 \int_1^2 f(x) d x\) किसके बराबर है ?

  1. ln(8√e)
  2. ln(4√e)
  3. ln 2
  4. ln 2 - 1

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : ln(8√e)

Evaluate using Integration by Parts Question 4 Detailed Solution

स्पष्टीकरण -

दिया गया समीकरण:

\(3f(x) + f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{x} + 1\) ..... (i)

x के स्थान पर 1/x प्रतिस्थापित करते हैं:

\(3f\left(\frac{1}{x}\right) + f(x) = x + 1\) ...... (ii)

अब, हमारे पास दो समीकरण हैं:

\(3f(x) + f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{x} + 1\)

\(3f\left(\frac{1}{x}\right) + f(x) = x + 1\)

मान लीजिए: f(x) = a और f(1/x) = b

समीकरण प्रणाली इस प्रकार है:

3a + b = 1/x + 1
3b + a = x + 1

पहले समीकरण को 3 से गुणा करते हैं:

9a + 3b = 3/x + 3

संशोधित प्रथम समीकरण से दूसरे समीकरण को घटाएँ:

9a + 3b - (3b + a) = 3/x + 3 - (x + 1)

⇒ 8a = 3/x + 3 - x - 1

⇒ 8a = 3/x - x + 2

⇒ a = \( \frac{1}{8} \left(\frac{3}{x} - x + 2\right)\)

इसलिए: f(x) = \( \frac{1}{8} \left(\frac{3}{x} - x + 2\right)\)

इस प्रकार, फलन f(x) = \(\frac{3}{8x} - \frac{x}{8} + \frac{1}{4}\)

अब, \(8 \int_1^2 f(x) d x\)

= \(8 \int_1^2 [ \frac{3}{8x} - \frac{x}{8} + \frac{1}{4} ]d x\)

= \(8 [ \frac{3}{8}ln (x) - \frac{x^2}{16} + \frac{x}{4} ]_1^2 \)

= \( [ 3ln (x) - \frac{x^2}{2} + 2x ]_1^2 \)

= \( [ 3ln (2) - \frac{4}{2} + 4 ] - [ - \frac{1}{2} + 2]\)

= \( [ 3ln (2) + 2 ] - \frac{3}{2}\)

= \( 3ln (2) + \frac{1}{2}\)

= \( 3ln (2) + \frac{1}{2}ln e\)

= ln 8 + ln√e

= ln 8√e

अतः, विकल्प (1) सही है।

Evaluate using Integration by Parts Question 5:

Comprehension:

प्रश्नांशों के लिए निम्नलिखित पर विचार कीजिए :

मान लीजिए \(3 f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{x}+1\)

f(x) किसके बराबर है ?

  1. \(\frac{1}{8 x}-\frac{x}{8}+\frac{1}{4}\)
  2. \(\frac{3}{8 x}-\frac{x}{8}+\frac{3}{4}\)
  3. \(\frac{3}{8 x}+\frac{x}{8}+\frac{1}{4}\)
  4. \(\frac{3}{8 x}-\frac{x}{8}+\frac{1}{4}\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : \(\frac{3}{8 x}-\frac{x}{8}+\frac{1}{4}\)

Evaluate using Integration by Parts Question 5 Detailed Solution

स्पष्टीकरण -

दिया गया समीकरण:

\(3f(x) + f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{x} + 1\) ..... (i)

x के स्थान पर 1/x प्रतिस्थापित करते हैं:

\(3f\left(\frac{1}{x}\right) + f(x) = x + 1\) ...... (ii)

अब हमारे पास दो समीकरण हैं:

\(3f(x) + f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{x} + 1\)

\(3f\left(\frac{1}{x}\right) + f(x) = x + 1\)

मान लीजिए: f(x) = a और f(1/x) = b

समीकरण प्रणाली इस प्रकार है:

3a + b = 1/x + 1
3b + a = x + 11

पहले समीकरण को 3 से गुणा करते हैं:

9a + 3b = 3/x + 3

संशोधित प्रथम समीकरण से दूसरे समीकरण को घटाते हैं:

9a + 3b - (3b + a) = 3/x + 3 - (x + 1)

⇒ 8a = 3/x + 3 - x - 1

⇒ 8a = 3/x - x + 2

⇒ a = \( \frac{1}{8} \left(\frac{3}{x} - x + 2\right)\)

इसलिए: f(x) = \( \frac{1}{8} \left(\frac{3}{x} - x + 2\right)\)

इस प्रकार, फलन f(x) = \(\frac{3}{8x} - \frac{x}{8} + \frac{1}{4}\)

Top Evaluate using Integration by Parts MCQ Objective Questions

\(\displaystyle\int_0^1 \rm xe^x\ dx\) किसके बराबर है?

  1. 1
  2. -1
  3. 0
  4. e

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : 1

Evaluate using Integration by Parts Question 6 Detailed Solution

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संकल्पना:

1. खंडश:समाकलन: खंडश:समाकलन गुणनफलों का समाकल ज्ञात करने की एक विधि है। 

खंडश:समाकलन के लिए सूत्र निम्न द्वारा दिया गया है;

⇒ ∫ uv dx = u(x) ∫ v(x) dx - ∫ [u'(x) ∫ v(x) dx] dx

जहाँ u, u(x) का फलन है और v, v(x) का फलन है। 

2. ILATE नियम: सामान्यतौर पर इस नियम का वरीयता क्रम व्युत्क्रम, लघुगुणक, बीजगणितीय, त्रिकोणमितीय और घातांक जैसे कुछ फलनों पर आधारित होता है। 

 

गणना:

माना कि I = \(\displaystyle\int_0^1 \rm xe^x\ dx\) है। 

खंडश:समाकलन नियम लागू करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

\(\rm = x\int _0^1 e^{x}\;dx - \int _0^1(\frac{dx}{dx}\int e^{x}\;dx)\;dx \)

\(\rm = [xe^{x}]_{0}^{1} - \int _0^11\times e^{x}\;dx\)

\(\rm = [xe^{x}]_{0}^{1} - [e^{x}]_{0}^{1} \)

= (e - 0) - (e - 1)

= 1

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : 1

Evaluate using Integration by Parts Question 7 Detailed Solution

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अवधारणा:

मापांक फलन:

एक मापांक फलन एक ऐसा फलन होता है, जो किसी संख्या या चर का निरपेक्ष मान देता है।

\(f(x)= |x| = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \ if \ x \ge 0}\\ { - x} \ if x < 0 \end{array}} \right.\)

प्रयुक्त सूत्र:

\(\int x^n dx = \frac{x^{n + 1}}{n+ 1} \)

गणना:

हमारे पास है,

⇒ I = \(\int\limits_0^2 {|1-x|}dx\)

1 < x ≤ 2 के लिए 1 - x < 0 और 0 < x ≤ 1 के लिए  1 - x ≥ 0 है।

⇒ I = \(\int\limits_0^1(1 - x)dx \ - \ \int\limits_1^2 (1 - x)dx\)

⇒ I = \(\left[ x - \frac{x^2}{2} \right]_0^1 - \left[ x - \frac{x^2}{2} \right]_1^2 \)

⇒ I = \(\left[ 1- \frac{1}{2} - 0\right]\) - \(\left[ 2 - \frac{2^2}{2} - 1 + \frac{1}{2} \right] \)

⇒ I = \(\left( \frac{1}{2} \right) - \left( 0 - \frac{1}{2} \right) \)

⇒ I = \(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \)

⇒ I = 1

∴  \(\int\limits_0^2 {|1-x|}dx\) का अभीष्ट मान 1 है। 

\(\int^\pi_0 x^3 \sin xdx\) का मान क्या है?

  1. π3 - 6π
  2. 3 - 6π
  3. 3 + 6π
  4. π3 + 6π

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : π3 - 6π

Evaluate using Integration by Parts Question 8 Detailed Solution

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संकल्पना:

खंडश:समाकलन: खंडश:समाकलन गुणनफलों का समाकल ज्ञात करने की एक विधि है।

  • खंडश:समाकलन के लिए सूत्र निम्न है,
  • ∫u v dx = u∫v dx −∫u' (∫v dx) dx

जहाँ u फलन u(x) है और v फलन v(x) है। 

ILATE नियम: विशेष रूप से इस नियम का वरीयता क्रम व्युत्क्रम, लघुगुणक, बीजगणित, त्रिकोणमितीय और घातांक जैसे कुछ फलन पर आधारित है। 

गणना:

माना कि  I = \(\int^\pi_0 x^3 \sin xdx\) है। 

खंडश: नियम को लागू करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

\(\rm =x^3 \int^\pi_0sinxdx- \int^\pi_03x^2(-cosx)dx\)

\(\rm =[x^3(-cosx)]_0^\pi+3[x^2\int^\pi_0cosxdx- \int^\pi_02x(sinx)dx]_0^\pi\)

\(\rm =\pi^3+0-6\int^\pi_0x(sinx)dx\)

\(\rm=\pi^3-6[x\int^\pi_0sinxdx- \int^\pi_0(-cosx)dx]\)

\(\rm =\pi^3-6[\pi- 0]\)

= π3 - 6π

अतः विकल्प (1) सही है। 

\(\rm \displaystyle\int_0^1 x \tan^{-1} xdx =\) का मान क्या है?

  1. \(\rm \dfrac{\pi}{4}+\dfrac{1}{2}\)
  2. \(\rm \dfrac{\pi}{4}-\dfrac{1}{2}\)
  3. \(\rm \dfrac{1}{2}+\dfrac{\pi}{4}\)
  4. \(-\rm \dfrac{\pi}{4}-\dfrac{1}{2}\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : \(\rm \dfrac{\pi}{4}-\dfrac{1}{2}\)

Evaluate using Integration by Parts Question 9 Detailed Solution

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संकल्पना:

1. खंडश:समाकलन: खंडश:समाकलन गुणनफलों का समाकलन ज्ञात करने की एक विधि है। 

खंडश:समाकलन के लिए सूत्र निम्न दिया गया है;

 \(\Rightarrow \smallint {\rm{u\;vdx}} = {\rm{u\;}}\smallint {\rm{vdx}} - {\rm{\;}}\smallint \left( {\frac{{{\rm{du}}}}{{{\rm{dx}}}}{\rm{\;}}\smallint {\rm{vdx}}} \right){\rm{dx}}\), जहाँ u फलन u(x) है और v फलन v(x) है। 

 

2. ILATE नियम: सामान्यतौर पर इस नियम का वरीयता क्रम प्रतिलोम, लघुगणक, बीजगणितीय, त्रिकोणमितीय और घातांक जैसे कुछ फलनों पर आधारित होता है। 

 

गणना:

माना कि I = \(\rm \displaystyle\int_0^1 x \tan^{-1} xdx \) है। 

खंडश: नियम लागू करने पर,\(\rm= [{\tan ^{ - 1}}x \cdot \;\displaystyle\int x\;dx]_0^1 - \;\displaystyle\int_0^1 \left\{ {\frac{{d\left( {{{\tan }^{ - 1}}x} \right)}}{{dx}} \cdot \;\displaystyle\int x\;dx} \right\}dx\)

\( = \rm [{\tan ^{ - 1}}x \cdot \frac{{{x^2}}}{2}]_0^1 - \;\displaystyle\int_0^1 \frac{1}{{1 + {x^2}}} \cdot \frac{{{x^2}}}{2}\;dx\)

\( = \rm [{\tan ^{ - 1}}x \cdot \frac{{{x^2}}}{2}]_0^1 - \;\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_0^1 \frac{1+x^2-1}{{1 + {x^2}}}\;dx\)

\( = \rm [{\tan ^{ - 1}}x \cdot \frac{{{x^2}}}{2}]_0^1 - \;\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_0^1 [1 -\frac{1}{{1 + {x^2}}}]\;dx\)

\( = \rm [{\tan ^{ - 1}}x \cdot \frac{{{x^2}}}{2}]_0^1 - \frac{1}{2} [x - {\tan ^{ - 1}}x ]_0^1\)

\( = \rm [{\tan ^{ - 1}}1 \cdot \frac{{{1^2}}}{2}] - \frac{1}{2} [1 - {\tan ^{ - 1}}1 ]\\= \dfrac{\pi}{4}\times \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2} \times \dfrac{\pi}{4}\)

\(\rm \dfrac{\pi}{4}-\dfrac{1}{2}\)

\(\rm \displaystyle\int_{-3}^3 \cot^{-1} \ x \ dx =\)  का मान क्या है?

  1. 3π 
  2. 0
  3. 6π 
  4. 3

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : 3π 

Evaluate using Integration by Parts Question 10 Detailed Solution

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संकल्पना:

खंडश:समाकलन: खंडश:समाकलन गुणनफलो का समकाल ज्ञात करने की एक विधि है। 

खंडश:समाकलन के सूत्र को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है;

 \(\Rightarrow \smallint {\rm{u\;vdx}} = {\rm{u\;}}\smallint {\rm{vdx}} - \smallint \left( {\frac{{{\rm{du}}}}{{{\rm{dx}}}}{\rm{\;}}\smallint {\rm{vdx}}} \right){\rm{dx}}\) 

जहाँ u फलन u(x) और v फलन v(x) है। 

ILATE नियम: सामान्यतौर पर इस नियम का वरीयता क्रम व्युत्क्रम, लघुगुणक, बीजगणितीय, त्रिकोणमितीय और घातांक जैसे कुछ फलनों पर आधारित होता है। 

गणना:

सर्वप्रथम हम सीमा के बिना समाकलन की गणना करेंगे। 

माना कि हम \(\rm \cot^{-1}x=u\) लेते हैं। 

दोनों पक्षों पर u का अवकलन करने पर हमें निम्न प्राप्त होता है \(\rm -\dfrac{1}{1+x^2}dx=du\) .

इसलिए, हम दिए गए फलन का समाकलन निम्न रूप में करते हैं:

\(\rm \int cot^{-1}x\,dx = x\cot^{-1}x + \int \dfrac{x}{1+x^2}\, dx\\ = x\cot^{-1}x + \dfrac{1}{2}\ln(1+x^2) +C \)

अब चूँकि दिया गया समाकलन निश्चित है, इसलिए हम समाकलन के स्थिरांक को हटाएंगे और सीमा को रखेंगे। \(\begin{align*} \int_{-3}^{3}\cot^{-1}x &= \left[x\cot^{-1}x+\dfrac{1}{2}\ln(1+x^2)\right]_{-3}^{3}\\ &= \left[3\cot^{-1}3+\dfrac{1}{2}\ln(10)\right]-\left[-3\cot^{-1}(-3)+\dfrac{1}{2}\ln(10)\right]\\ &= 3\left(\cot^{-1}(3)+\cot^{-1}(-3)\right)\\ &= 3\left(\cot^{-1}(3)+\pi -\cot^{-1}(3)\right)\\ &= 3\pi \end{align*}\)

अतः \(\displaystyle\int_{-3}^{3}\cot^{-1}x\, dx = 3\pi\).

\(\mathop \smallint \limits_2^5 \frac{{{x^2}}}{{\left( {{x^2} - 9} \right)}}dx = ?\)

  1. \(3 +(3/2) \ln \frac{5}{{4}}\)
  2. \(3 +(3/2) \ln \frac{5}{{ - 4}}\)
  3. \(3 + \log 15 - \log 7\)
  4. \(3 + \log 3 - \log \left({ - 5} \right)\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : \(3 +(3/2) \ln \frac{5}{{ - 4}}\)

Evaluate using Integration by Parts Question 11 Detailed Solution

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\(\begin{array}{l} I = \mathop \smallint \limits_2^5 \frac{{{x^2}}}{{\left( {{x^2} - 9} \right)}}dx = \mathop \smallint \limits_2^5 \left({1 + \frac{9}{{{x^2} - 9}}} \right)dx\\ = \mathop \smallint \limits_2^5 dx + 9\mathop \smallint \limits_2^5 \frac{1}{{\left( {{x^2} - 9} \right)}}dx\\ = \left[ x \right]_2^5 + \left[ {9 \times \frac{1}{6} \times \ln \left| {\frac{{x - 3}}{{x + 3}}} \right|} \right]_2^5\\ = 3 +(3/2) \ln \frac{5}{{ - 4}}\end{array}\)

Comprehension:

निर्देश : निम्नलिखित प्रश्नों के लिए नीचे दिए गए कथनों पर विचार करें:

माना f(x) = |x2 - x - 2|

\(\rm \int_0^2f(x)dx\) किसके बराबर है?

  1. 0
  2. 1
  3. 5/3
  4. 10/3

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : 10/3

Evaluate using Integration by Parts Question 12 Detailed Solution

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व्याख्या:

दिया गया है:

f(x) =|x2 - x - 2|.

= {x2 - x - 2; x ∈ (-∞ -1) ∪ (2,∞ ) - (x2 - x - 2); x ∈ [-1, 2]

माना I = - \(\int_0^2(x^2 – x – 2)dx\)

= - \([\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2} -2x]_2^0\)

= \(- [\frac{8}{3}-\frac{4}{2}+4] +0 =\frac{10}{3}\)

∴ विकल्प (d) सही है

Comprehension:

निर्देश : निम्नलिखित प्रश्नों के लिए नीचे दिए गए कथनों पर विचार करें:

माना f(x) = |x2 - x - 2|

\(\rm \int_1^3f(x)dx\) किसके बराबर है?

  1. 2
  2. 3
  3. 4
  4. 5

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : 3

Evaluate using Integration by Parts Question 13 Detailed Solution

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व्याख्या:

दिया गया है:

f(x) =|x2 - x - 2|

= {x2- x - 2; x ∈ (-∞, -1) ∪ (2, ∞)

- (x2 -x -2 ; x ∈[ -1,2]

माना I = \(\int_1^3f(x)dx\)

= \(- \int_1^2(x^2 -x-2)dx+ \int_2^3(x^2-x-2)dx\)

= \(- [\frac{x^3}{3} -\frac{x^2}{2}-2x]^2_1 + [\frac{x^3}{3} -\frac{x^2}{2}-2x]^3_2\)

= \([\frac{8}{3}-\frac{4}{2}-4] - [[\frac{1}{3}-\frac{1}{2}-2] + [\frac{27}{3}-\frac{9}{2}-6] - [\frac{8}{3}-\frac{4}{2}-4] \)

= \(\frac{20}{6} - \frac{13}{6} -\frac{9}{6} +\frac{20}{6}\) = 3

इसलिए, विकल्प (b) सही है।

Evaluate using Integration by Parts Question 14:

\(\displaystyle\int_0^1 \rm xe^x\ dx\) किसके बराबर है?

  1. 1
  2. -1
  3. 0
  4. e

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : 1

Evaluate using Integration by Parts Question 14 Detailed Solution

संकल्पना:

1. खंडश:समाकलन: खंडश:समाकलन गुणनफलों का समाकल ज्ञात करने की एक विधि है। 

खंडश:समाकलन के लिए सूत्र निम्न द्वारा दिया गया है;

⇒ ∫ uv dx = u(x) ∫ v(x) dx - ∫ [u'(x) ∫ v(x) dx] dx

जहाँ u, u(x) का फलन है और v, v(x) का फलन है। 

2. ILATE नियम: सामान्यतौर पर इस नियम का वरीयता क्रम व्युत्क्रम, लघुगुणक, बीजगणितीय, त्रिकोणमितीय और घातांक जैसे कुछ फलनों पर आधारित होता है। 

 

गणना:

माना कि I = \(\displaystyle\int_0^1 \rm xe^x\ dx\) है। 

खंडश:समाकलन नियम लागू करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

\(\rm = x\int _0^1 e^{x}\;dx - \int _0^1(\frac{dx}{dx}\int e^{x}\;dx)\;dx \)

\(\rm = [xe^{x}]_{0}^{1} - \int _0^11\times e^{x}\;dx\)

\(\rm = [xe^{x}]_{0}^{1} - [e^{x}]_{0}^{1} \)

= (e - 0) - (e - 1)

= 1

Evaluate using Integration by Parts Question 15:

\(\displaystyle \int_1^2 \log x\:dx\) किसके बराबर है?

  1. loge 2
  2. 1
  3. \(\log_e \left(\frac{4}{e}\right)\)
  4. \(\log_e \left(\frac{e}{4}\right)\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : \(\log_e \left(\frac{4}{e}\right)\)

Evaluate using Integration by Parts Question 15 Detailed Solution

संकल्पना:

भागों द्वारा समाकलन:

∫ u v dx = u ∫ v dx − ∫ u' (∫ v dx) dx

u फलन u(x) है 

v फलन v(x) है 

u' फलन  u(x) का अवकलज है

हल:

\(\displaystyle \int_{1}^{2}\) loge x .1 dx = loge x . \(\displaystyle \int\) 1 dx − \(\displaystyle \int\) (\(\frac{1}{x}\)​. \(\displaystyle \int\) 1dx) dx
⇒ [(loge x) x]21\(\displaystyle \int_{1}^{2}\)(\(\frac{1}{x}\)​) x dx

[x . loge x − x]21

(2loge 2 - 2) - (loge 1 - 1)

log4 - 1 

loge 4 - loge e

loge(4/e)

दिए गए समाकलन का मान loge(4/e) है

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