ত্রিভুজ MCQ Quiz in বাংলা - Objective Question with Answer for Triangle - বিনামূল্যে ডাউনলোড করুন [PDF]

প্রদত্ত:

একটি সমকোণী ত্রিভুজে:

ছোট বাহুর সাথে দীর্ঘ বাহুর অনুপাত = 5:12

অতিভুজের দৈর্ঘ্য = 65 সেমি

অনুসৃত সূত্র:

পিথাগোরাসের উপপাদ্য: অতিভুজ² = ছোট বাহু² + দীর্ঘ বাহু²

পরিসীমা = ছোট বাহু + দীর্ঘ বাহু + অতিভুজ

গণনা:

ধরি, ছোট বাহু = 5x এবং দীর্ঘ বাহু = 12x

অতিভুজ = 65 সেমি

⇒ অতিভুজ² = ছোট বাহু² + দীর্ঘ বাহু²

⇒ 65² = (5x)² + (12x)²

⇒ 4225 = 25x² + 144x²

⇒ 4225 = 169x²

⇒ x² = 25

⇒ x = 5

ছোট বাহু = 5x = 5 × 5 = 25 সেমি

দীর্ঘ বাহু = 12x = 12 × 5 = 60 সেমি

পরিসীমা = ছোট বাহু + দীর্ঘ বাহু + অতিভুজ

⇒ পরিসীমা = 25 + 60 + 65 = 150 সেমি

∴ সঠিক উত্তর হল বিকল্প 1

প্রদত্ত:

একটি সমবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু থেকে উচ্চতা 12 সেমি।

ব্যবহৃত সূত্র:

একটি সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা (h) নিম্নরূপে প্রদত্ত হয়:

h = \(\dfrac{\sqrt{3}}{2} \times a\)

যেখানে a হল ত্রিভুজের বাহু।

একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল (A) নিম্নরূপে প্রদত্ত হয়:

A = \(\dfrac{\sqrt{3}}{4} \times a^2\)

গণনা:

প্রদত্ত h = 12 সেমি

⇒ 12 = \(\dfrac{\sqrt{3}}{2} \times a\)

⇒ a = \(\dfrac{12 \times 2}{\sqrt{3}}\)

⇒ a = \(\dfrac{24}{\sqrt{3}}\)

⇒ a = 8√3 সেমি

এখন, ক্ষেত্রফলের সূত্র ব্যবহার করে:

A = \(\dfrac{\sqrt{3}}{4} \times (8\sqrt{3})^2\)

⇒ A = \(\dfrac{\sqrt{3}}{4} \times 192\)

⇒ A = 48√3 বর্গ সেমি

∴ সঠিক উত্তরটি হল বিকল্প 2.

প্রদত্ত:

সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 16√3 বর্গ সেমি

ব্যবহৃত সূত্র:

সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4) × a²

যেখানে, a = বাহুর দৈর্ঘ্য

গণনা:

(√3/4) × a2 = 16√3

⇒ a2 = (16√3 × 4)/√3

⇒ a2 = 16 × 4

⇒ a2 = 64

⇒ a = √64

⇒ a = 8 সেমি

∴ সঠিক উত্তরটি হলো বিকল্প 2.

প্রদত্ত:

অতিভুজ (c) = 10 একক

একটি বাহু (a) = 8 একক

ব্যবহৃত সূত্র:

পিথাগোরাসের উপপাদ্য: c² = a² + b²

সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2) × ভূমি ×  উচ্চতা

গণনা:

পিথাগোরাসের উপপাদ্য ব্যবহার করে অন্য বাহু (b) নির্ণয় করো:

10² = 8² + b²

⇒ 100 = 64 + b²

⇒ b² = 100 - 64

⇒ b = √36 = 6 একক

ক্ষেত্রফল = (1/2) × ভূমি × উচ্চতা

ক্ষেত্রফল = (1/2) × 8 × 6

ক্ষেত্রফল = (1/2) × 48

ক্ষেত্রফল = 24 বর্গ একক

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 24 বর্গ একক।

প্রদত্ত:

ত্রিভুজ PQR-এ, ∠Q = ∠R

QR = 12 সেমি

PR = 10 সেমি

PS উচ্চতা

ব্যবহৃত সূত্র:

সমদ্বিবাহু ত্রিভুজে, শীর্ষবিন্দু থেকে ভূমিতে অঙ্কিত উচ্চতা ভূমিকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

পিথাগোরাসের উপপাদ্য: a² + b² = c²

গণনা:

যেহেতু ∠Q = ∠R, তাই ত্রিভুজ PQR একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ যার QR ভূমি।

ধরা যাক PQ = PR = 10 সেমি এবং S হল QR-এর মধ্যবিন্দু। সুতরাং, QS = SR = 12/2 = 6 সেমি।

ত্রিভুজ PQS-এ, আমরা পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রয়োগ করি:

PS² + QS² = PQ²

⇒ PS² + 6² = 10²

⇒ PS² + 36 = 100

⇒ PS² = 100 - 36

⇒ PS² = 64

⇒ PS = √64

⇒ PS = 8 সেমি

PS-এর দৈর্ঘ্য 8 সেমি।

প্রদত্ত:

একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহু 34% বৃদ্ধি পেয়েছে।

অনুসৃত সূত্র:

কার্যকরী বৃদ্ধি % = বৃদ্ধি% + বৃদ্ধি% + (বৃদ্ধি² /100)

গণনা:

কার্যকরী বৃদ্ধি = 34 + 34 + {(34 × 34)/100}

⇒ 68 + 11.56 = 79.56%

∴ সঠিক উত্তর হল 79.56% 

প্রদত্ত:

একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ ABC-তে,

AB = AC = 26 সেমি এবং BC = 20 সেমি।

গণনা:

এই ত্রিভুজ ABC তে,

∆ADC = 90° ( সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের বিপরীত শীর্ষ থেকে অসম বাহুর মধ্যবিন্দুতে অঙ্কিত রেখা দ্বারা গঠিত কোণ হল 90°)

তাই,

AD² + BD² = AB² (পিথাগোরাসের উপপাদ্য দ্বারা)

⇒ AD² = 576

⇒ AD = 24

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = ½(ভূমি × উচ্চতা)

⇒ ½(20 × 24) (ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2) ভূমি × উচ্চতা)

⇒ 240 সেমি²

∴ সঠিক বিকল্প হল বিকল্প 2

ত্রিভুজের অর্ধ-পরিসীমা = 28/2 = 14

আমরা জানি,

Shortcut Trick

∠BAC = 75º

∠ABC + ∠ACB + ∠BAC = 180°

∠ABC + ∠ACB + 75° = 180°

∠ABC + ∠ACB = 180° - 75° = 105°

ধরা যাক, ∠ABC = ∠PBQ = 70° এবং ∠ACB = ∠RCQ = 35°

সুতরাং, ∠PQR = 180° - (∠PQB + ∠RQC)

= 180° - [(180° - 2∠PBQ) + (180° - 2∠RCQ) [∵ BQ = PQ; QC = QR]

= 180° - [(180° - 2 × 70°) + (180° - 2 × 35°)]

= 180° - (40° + 110°)

= 180° - 150°

= 30°

Alternate Method

প্রদত্ত:

একটি ΔABC, ∠BAC = 75º

BQ = PQ এবং QC = QR

অনুসৃত ধারণা:

একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি = 180°

একটি সরলরেখার সমস্ত কোণের সমষ্টি = 180°

গণনা:

ধরা যাক, ∠ABC = x এবং ∠ACB = y

সুতরাং, ∠ABC = ∠PBQ = ∠QPB = x [∵ BQ = PQ]

∠ACB = ∠RCQ = ∠QRC = y [QC = QR]

ΔABC-তে, ∠ABC + ∠ACB + ∠BAC = 180°

⇒ x + y + 75° = 180°

⇒ x + y = 180° - 75° = 105° .....(1)

ΔBPQ এবং ΔCRQ এর জন্য,

(∠PBQ + ∠QPB + ∠PQB) + (∠RCQ + ∠QRC + ∠RQC) = 180° + 180° = 360°

⇒ ( x + x + ∠PQB) + (y + y + ∠RQC) = 360°

⇒ 2x + 2y + ∠PQB + ∠RQC = 360°

⇒ 2 (x + y) + ∠PQB + ∠RQC = 360°

⇒ (2 × 105°) + ∠PQB + ∠RQC = 360° [∵ x + y = 105°]

⇒ ∠PQB + ∠RQC = 360° - 210° = 150° .....(2)

এছাড়াও, ∠PQB + ∠RQC + ∠PQR = 180°

⇒ 150° + ∠PQR = 180° [∵ ∠PQB + ∠RQC = 150°]

⇒ ∠PQR = 180° - 150° = 30°

∴ ∠PQR এর পরিমাপ (ডিগ্রীতে) হল 30°

প্রদত্ত,

সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের দুটি সমান বাহুর একটি, a = 20 সেমি

ত্রিভুজের পরিধি = 72 সেমি

সূত্র:

সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের পরিধি = 2a + b

একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (b/4) × √(4a2 – b2)

গণনা:

ধরা যাক, a = 20 সেমি

2a + b = 72

⇒ 2 × 20 + b = 72

⇒ 40 + b = 72

⇒ b = 72 – 40

⇒ b = 32

সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (32/4) × √(4 × 202 – 322)

⇒ 8 × √(4 × 400 – 1024)

⇒ 8 × √(1600 – 1024)

⇒ 8 × √576

⇒ 8 × 24

⇒ 192 বর্গসেমি

∴ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 192 বর্গসেমি।

বিকল্প সমাধান

তৃতীয় বাহু = 72 - 2 × 20 = 72 - 40 = 32

অর্ধ পরিধি, s = 72/2 = 36

এখন,

ক্ষেত্রফল = √[s (s – a) (s – b) (s – c)] = √[36(36 – 32)(36 - 20)(36 - 20)] = √(36 × 4 × 16 × 16) = 16 × 4 × 3 = 192 বর্গসেমি।

প্রদত্ত

চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল = 12√3 সেমি²

অনুসৃত ধারণা

আমরা জানি যে, ত্রিভুজের মধ্যমা ত্রিভুজটিকে সমান অংশে ভাগ করে

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4) (বাহু)²

গণনা

⇒ ΔABC এর ক্ষেত্রফল = BDGF চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল × 3

⇒ ΔABC এর ক্ষেত্রফল = 12√3 × 3

⇒ ΔABC এর ক্ষেত্রফল = 36√3 সেমি²

⇒ 36√3 = (√3/4) × (বাহু)²

⇒ বাহু = 12 সেমি

∴ ΔABC এর বাহু 12 সেমি।

প্রদত্ত:

একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহু 12 সেমি।

ব্যবহৃত ধারণা:

একটি সমবাহু ত্রিভুজকে পরিবৃত্ত করে একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ = পার্শ্ব/√3

গণনা:

ধারণা অনুযায়ী,

বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 12/√3

⇒ (4 x 3)/√3

∵ 3 = √3 x √3 = ( √3) 2

⇒ 4 x( √3) ² / √3

⇒ 4√3

∴ এই সমবাহু ত্রিভুজটিকে পরিবৃত্ত করা বৃত্তের ব্যাসার্ধ 4√3 সেমি।

প্রদত্ত তথ্য:

পরিকেন্দ্র = 3.2 সেমি

গণনা:

সমবাহু ত্রিভুজের বৈশিষ্ট্য অনুযায়ী, O পরিকেন্দ্রের পাশাপাশি কেন্দ্রবিন্দুও।

∴ OD = \(1\over 3\) × AD

⇒ AD = 3 × OD

⇒ AD = 3 × 3.2 = 9.6 সেমি

∴ সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতার দৈর্ঘ্য 9.6 সেমি।

অনুসৃত ধারণা:

পিথাগোরাসের উপপাদ্য:

(AB)² = (BD)² + (AD)²

সমবাহু ত্রিভুজে:

AB = BC = AC

∠A = ∠B = ∠C = 60°

গণনা:

(6√3)² = (BD)² + 9²

⇒ BD = 3√3 সেমি 

∵ DC = BD = 3√3 সেমি

∴ BC = AC = AB =  6√3 সেমি ও

∠A = ∠B = ∠C = 60°

∴ ABC সমবাহু ত্রিভুজ।

প্রদত্ত:

একটি বৃত্তস্থ সমবাহু ত্রিভুজ

সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 4√3 সেমি²

অনুসৃত ধারণা:

সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = \(\frac{{√ 3 }}{4}{a^2}\)

গণনা:

\(\frac{{√ 3 }}{4}{a^2}\) = 4√3

a ² = 16

a = 4

সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা = \(\frac{a}{{\sqrt 3 }}\)

r = \(\frac{4}{{\sqrt 3 }}\)

বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²

πr² = \(\pi \times \frac{4}{{\sqrt 3 }} \times \frac{4}{{\sqrt 3 }}\)

ক্ষেত্রফল = \(\dfrac{16}{3}\pi\) সেমি²