Applications of Vectors MCQ Quiz in বাংলা - Objective Question with Answer for Applications of Vectors - বিনামূল্যে ডাউনলোড করুন [PDF]

গণনা

A বিন্দুটিকে মূলবিন্দু (0,0) ধরা যাক।

তাহলে \(\vec {AB}= 3\hat i + 4\hat k\) এবং \(AC = 5\hat i - 2\hat j + 4\hat k\) স্থান ভেক্টর হবে।

তাহলে B বিন্দুর স্থানাঙ্ক হবে \((3,0,4)\) এবং C বিন্দুর স্থানাঙ্ক হবে \((5,-2,4)\)।

দুটি বিন্দুর মধ্যবিন্দুর সূত্র ব্যবহার করে BC-এর মধ্যবিন্দু D-এর স্থানাঙ্ক পাওয়া যায় \(D(4,-1,4)\)।

তাহলে \(A\) বিন্দুগামী মধ্যমার দৈর্ঘ্য হবে

\(AD=\sqrt{(4-0)^2+(-1-0)^2+(4-0)^2}\) \(=\sqrt{33}\)

অতএব, বিকল্প 2 সঠিক।

ধারণা:

I. যদি একটি কণা A বিন্দু থেকে B বিন্দুতে \(\vec F\) বলের প্রভাবে স্থানান্তরিত হয়। তাহলে A থেকে B বিন্দুতে কণাটিকে স্থানান্তর করার কাজ হলো: \(W = \;\vec F \cdot \vec d\)

II. যদি \(\vec a = {a_1}\hat i + {a_2}\hat j + {a_3}\hat k\;এবং\;\vec b = {b_1}\hat i + {b_2}\hat j + {b_3}\hat k\) হয় তাহলে \(\vec a \cdot \;\vec b = {a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + {a_3}{b_3}\)

গণনা:

প্রদত্ত: কণাটি A = (1, 2, -3) বিন্দু থেকে B = (2, 0, -5) বিন্দুতে \(\vec F = \;2\hat i - 3\hat j + \hat k\) বলের প্রভাবে স্থানান্তরিত হয়।

সুতরাং, কণাটির সরণ হলো:

\(\vec d = \;\overrightarrow {AB} = \left( {2\hat i + 0\hat j - 5\hat k} \right) - \left( {\hat i + 2\hat j - 3\hat k} \right) = \;\hat i - 2\hat j - 2\hat k\)

আমরা জানি যে, যদি একটি কণা A বিন্দু থেকে B বিন্দুতে \(\vec F\) বলের প্রভাবে স্থানান্তরিত হয়। তাহলে A থেকে B বিন্দুতে কণাটিকে স্থানান্তর করার কাজ হলো: \(W = \;\vec F \cdot \vec d\)

\(W = \;\vec F \cdot \vec d = \left( {\;2\hat i - 3\hat j + \hat k} \right) \cdot \left( {\;\hat i - 2\hat j - 2\hat k} \right) = 2 + 6 - 2 = 6\;units\)

অতএব, C বিকল্প সঠিক উত্তর।

প্রশ্নানুসারে, ভেক্টর \({\rm{\vec a\;and\;\vec b}}\) পরস্পর সমরেখ নয়।

তাহলে, আমরা লিখতে পারি,

\(\Rightarrow {\rm{\vec a}} \neq \lambda {\rm{\vec b}}\)

কোনও অ-শূন্য স্কেলার λ এর জন্য।

প্রশ্নানুসারে,

\(\vec \alpha = \left( {\lambda - 2} \right){\rm{\vec a}} + {\rm{\vec b}}\)

\(\vec \beta = \left( {4\lambda - 2} \right)\vec a + 3\vec b\)

তাহলে, আমরা লিখতে পারি,

\(\vec \alpha = k\vec \beta \) যেখানে k ∈ R -{0}

মান বসিয়ে,

\(\Rightarrow \left( {\lambda - 2} \right){\rm{\vec a}} + {\rm{\vec b}} = k\left[ {\left( {4\lambda - 2} \right)\vec a + 3\vec b} \right]\)

\(\Rightarrow \left[ {\left( {\lambda - 2} \right) - k\left( {4\lambda - 2} \right)} \right]{\rm{a}} + \left( {1 - 3k} \right){\rm{b}} = 0\)

প্রশ্নানুসারে, যেহেতু \({\rm{\vec a\;and\;\vec b}}\) পরস্পর সমরেখ নয়, তাই এরা রৈখিকভাবে স্বাধীন।

⇒ (λ - 2) - k(4λ - 2) = 0 এবং (1 - 3k) = 0

এখন,

⇒ 1 = 3k

\(\therefore k = \frac{1}{3}\)

‘k’ এর মান অন্য সমীকরণে বসিয়ে,

\(\Rightarrow \left( {\lambda - 2} \right) - \frac{1}{3}\left( {4\lambda - 2} \right) = 0\)

⇒ 3λ - 6 = 4λ - 2

প্রশ্নানুসারে, ভেক্টর \({\rm{\vec a\;and\;\vec b}}\) পরস্পর সমরেখ নয়।

তাহলে, আমরা লিখতে পারি,

\(\Rightarrow {\rm{\vec a}} \neq \lambda {\rm{\vec b}}\)

কোনও অ-শূন্য স্কেলার λ এর জন্য।

প্রশ্নানুসারে,

\(\vec \alpha = \left( {\lambda - 2} \right){\rm{\vec a}} + {\rm{\vec b}}\)

\(\vec \beta = \left( {4\lambda - 2} \right)\vec a + 3\vec b\)

তাহলে, আমরা লিখতে পারি,

\(\vec \alpha = k\vec \beta \) যেখানে k ∈ R -{0}

মান বসিয়ে,

\(\Rightarrow \left( {\lambda - 2} \right){\rm{\vec a}} + {\rm{\vec b}} = k\left[ {\left( {4\lambda - 2} \right)\vec a + 3\vec b} \right]\)

\(\Rightarrow \left[ {\left( {\lambda - 2} \right) - k\left( {4\lambda - 2} \right)} \right]{\rm{a}} + \left( {1 - 3k} \right){\rm{b}} = 0\)

প্রশ্নানুসারে, যেহেতু \({\rm{\vec a\;and\;\vec b}}\) পরস্পর সমরেখ নয়, তাই এরা রৈখিকভাবে স্বাধীন।

⇒ (λ - 2) - k(4λ - 2) = 0 এবং (1 - 3k) = 0

এখন,

⇒ 1 = 3k

\(\therefore k = \frac{1}{3}\)

‘k’ এর মান অন্য সমীকরণে বসিয়ে,

\(\Rightarrow \left( {\lambda - 2} \right) - \frac{1}{3}\left( {4\lambda - 2} \right) = 0\)

⇒ 3λ - 6 = 4λ - 2

ধারণা:

I. যদি একটি কণা A বিন্দু থেকে B বিন্দুতে \(\vec F\) বলের প্রভাবে স্থানান্তরিত হয়। তাহলে A থেকে B বিন্দুতে কণাটিকে স্থানান্তর করার কাজ হলো: \(W = \;\vec F \cdot \vec d\)

II. যদি \(\vec a = {a_1}\hat i + {a_2}\hat j + {a_3}\hat k\;এবং\;\vec b = {b_1}\hat i + {b_2}\hat j + {b_3}\hat k\) হয় তাহলে \(\vec a \cdot \;\vec b = {a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + {a_3}{b_3}\)

গণনা:

প্রদত্ত: কণাটি A = (1, 2, -3) বিন্দু থেকে B = (2, 0, -5) বিন্দুতে \(\vec F = \;2\hat i - 3\hat j + \hat k\) বলের প্রভাবে স্থানান্তরিত হয়।

সুতরাং, কণাটির সরণ হলো:

\(\vec d = \;\overrightarrow {AB} = \left( {2\hat i + 0\hat j - 5\hat k} \right) - \left( {\hat i + 2\hat j - 3\hat k} \right) = \;\hat i - 2\hat j - 2\hat k\)

আমরা জানি যে, যদি একটি কণা A বিন্দু থেকে B বিন্দুতে \(\vec F\) বলের প্রভাবে স্থানান্তরিত হয়। তাহলে A থেকে B বিন্দুতে কণাটিকে স্থানান্তর করার কাজ হলো: \(W = \;\vec F \cdot \vec d\)

\(W = \;\vec F \cdot \vec d = \left( {\;2\hat i - 3\hat j + \hat k} \right) \cdot \left( {\;\hat i - 2\hat j - 2\hat k} \right) = 2 + 6 - 2 = 6\;units\)

অতএব, C বিকল্প সঠিক উত্তর।

প্রশ্নানুসারে, ভেক্টর \({\rm{\vec a\;and\;\vec b}}\) পরস্পর সমরেখ নয়।

তাহলে, আমরা লিখতে পারি,

\(\Rightarrow {\rm{\vec a}} \neq \lambda {\rm{\vec b}}\)

কোনও অ-শূন্য স্কেলার λ এর জন্য।

প্রশ্নানুসারে,

\(\vec \alpha = \left( {\lambda - 2} \right){\rm{\vec a}} + {\rm{\vec b}}\)

\(\vec \beta = \left( {4\lambda - 2} \right)\vec a + 3\vec b\)

তাহলে, আমরা লিখতে পারি,

\(\vec \alpha = k\vec \beta \) যেখানে k ∈ R -{0}

মান বসিয়ে,

\(\Rightarrow \left( {\lambda - 2} \right){\rm{\vec a}} + {\rm{\vec b}} = k\left[ {\left( {4\lambda - 2} \right)\vec a + 3\vec b} \right]\)

\(\Rightarrow \left[ {\left( {\lambda - 2} \right) - k\left( {4\lambda - 2} \right)} \right]{\rm{a}} + \left( {1 - 3k} \right){\rm{b}} = 0\)

প্রশ্নানুসারে, যেহেতু \({\rm{\vec a\;and\;\vec b}}\) পরস্পর সমরেখ নয়, তাই এরা রৈখিকভাবে স্বাধীন।

⇒ (λ - 2) - k(4λ - 2) = 0 এবং (1 - 3k) = 0

এখন,

⇒ 1 = 3k

\(\therefore k = \frac{1}{3}\)

‘k’ এর মান অন্য সমীকরণে বসিয়ে,

\(\Rightarrow \left( {\lambda - 2} \right) - \frac{1}{3}\left( {4\lambda - 2} \right) = 0\)

⇒ 3λ - 6 = 4λ - 2

ধারণা:

I. যদি একটি কণা A বিন্দু থেকে B বিন্দুতে \(\vec F\) বলের প্রভাবে স্থানান্তরিত হয়। তাহলে A থেকে B বিন্দুতে কণাটিকে স্থানান্তর করার কাজ হলো: \(W = \;\vec F \cdot \vec d\)

II. যদি \(\vec a = {a_1}\hat i + {a_2}\hat j + {a_3}\hat k\;এবং\;\vec b = {b_1}\hat i + {b_2}\hat j + {b_3}\hat k\) হয় তাহলে \(\vec a \cdot \;\vec b = {a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + {a_3}{b_3}\)

গণনা:

প্রদত্ত: কণাটি A = (1, 2, -3) বিন্দু থেকে B = (2, 0, -5) বিন্দুতে \(\vec F = \;2\hat i - 3\hat j + \hat k\) বলের প্রভাবে স্থানান্তরিত হয়।

সুতরাং, কণাটির সরণ হলো:

\(\vec d = \;\overrightarrow {AB} = \left( {2\hat i + 0\hat j - 5\hat k} \right) - \left( {\hat i + 2\hat j - 3\hat k} \right) = \;\hat i - 2\hat j - 2\hat k\)

আমরা জানি যে, যদি একটি কণা A বিন্দু থেকে B বিন্দুতে \(\vec F\) বলের প্রভাবে স্থানান্তরিত হয়। তাহলে A থেকে B বিন্দুতে কণাটিকে স্থানান্তর করার কাজ হলো: \(W = \;\vec F \cdot \vec d\)

\(W = \;\vec F \cdot \vec d = \left( {\;2\hat i - 3\hat j + \hat k} \right) \cdot \left( {\;\hat i - 2\hat j - 2\hat k} \right) = 2 + 6 - 2 = 6\;units\)

অতএব, C বিকল্প সঠিক উত্তর।

গণনা

A বিন্দুটিকে মূলবিন্দু (0,0) ধরা যাক।

তাহলে \(\vec {AB}= 3\hat i + 4\hat k\) এবং \(AC = 5\hat i - 2\hat j + 4\hat k\) স্থান ভেক্টর হবে।

তাহলে B বিন্দুর স্থানাঙ্ক হবে \((3,0,4)\) এবং C বিন্দুর স্থানাঙ্ক হবে \((5,-2,4)\)।

দুটি বিন্দুর মধ্যবিন্দুর সূত্র ব্যবহার করে BC-এর মধ্যবিন্দু D-এর স্থানাঙ্ক পাওয়া যায় \(D(4,-1,4)\)।

তাহলে \(A\) বিন্দুগামী মধ্যমার দৈর্ঘ্য হবে

\(AD=\sqrt{(4-0)^2+(-1-0)^2+(4-0)^2}\) \(=\sqrt{33}\)

অতএব, বিকল্প 2 সঠিক।