Applications of Vectors MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Applications of Vectors - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संकल्पना:

यदि दो बिंदुओं A और B में स्थिति सदिश क्रमशः \(\rm \vec A\) और \(\rm \vec B\) हैं, तब सदिश \(\rm \vec {AB}=\vec B-\vec A\)।

दो सदिशों \(\rm \vec A\) और \(\rm \vec B\) के लिए और एक कोण θ पर एक दूसरे के लिए:

• बिंदु गुणनफल निम्न रूप में परिभाषित किया गया है: \(\rm \vec A.\vec B=|\vec A||\vec B|\cos \theta\)
• परिणामी सदिश समान है \(\rm \vec A + \vec B\)
• कार्य: एक सदिश के साथ एक वस्तु को स्थानांतरित करने (विस्थापित करने) में एक बल द्वारा किया गया कार्य (W) निम्न द्वारा दिया जाता है: W = \(\rm \vec F.\vec D=|\vec F||\vec D|\cos \theta\)

गणना:

मान लीजिए कि कण पर कार्य करने वाली बल \(\rm \vec P\) = 2î - 5ĵ + 6k̂ और \(\rm \vec Q\) = -î + 2ĵ - k̂ हैं।

∴ कण पर कार्यरत परिणामी बल होगा \(\rm \vec F=\vec P+\vec Q\)

⇒ \(\rm \vec F\) = (2î - 5ĵ + 6k̂) + (-î + 2ĵ - k̂)

⇒ \(\rm \vec F\) = î - 3ĵ + 5k̂

चूंकि कण को ​​बिंदु t 4î - 3ĵ - 2k̂ से बिंदु 6î + ĵ - 3k̂ तक ले जाया जाता है, विस्थापन सदिश \(\rm \vec D\) होगा:

\(\rm \vec D=\vec{AB}=\vec B-\vec A\)

= (6î + ĵ - 3k̂) - (4î - 3ĵ - 2k̂)

⇒ ​\(\rm \vec D\) = 2î + 4ĵ - k̂

और अंत में, W किया गया कार्य होगा:

W = \(\rm \vec F.\vec D\) = (î - 3ĵ + 5k̂).(2î + 4ĵ - k̂)

⇒ W = (1)(2) + (-3)(4) + (5)(-1)

⇒ W = 2 - 12 - 5 =

∴ -15 इकाई।

संप्रत्यय:

सदिशों के सदिश गुणनफल का उपयोग करके समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल:

a × b = i (a₂ b₃ - a₃ b₂) - j (a₁ b₃ - a₃ b₁) + k (a₁ b₂ - a₂ b₁)

|a × b| = √[(a₂ b₃ - a₃ b₂)² + (a₁ b₃ - a₃ b₁)² + (a₁ b₂ - a₂ b₁)²]

• सदिशों a और b द्वारा निरूपित दो आसन्न भुजाओं द्वारा निर्मित समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल, दो सदिशों के सदिश गुणनफल के परिमाण द्वारा दिया जाता है:
  • क्षेत्रफल = |a × b|
  • दो सदिशों a = a₁ i + a₂ j + a₃ k और b = b₁ i + b₂ j + b₃ k का सदिश गुणनफल इस प्रकार परिकलित किया जाता है:
• सदिश गुणनफल का परिमाण है:

गणना:

दिया गया है:

सदिश a = 2i - j + 5k

सदिश b = 2i + j + 2k

हम सदिश गुणनफल के सूत्र का उपयोग करके सदिश a और b का सदिश गुणनफल ज्ञात करेंगे:

a × b = i (a₂ b₃ - a₃ b₂) - j (a₁ b₃ - a₃ b₁) + k (a₁ b₂ - a₂ b₁)

a और b के मान प्रतिस्थापित कीजिए:

a × b = i [(-1)(2) - (5)(1)] - j [(2)(2) - (5)(2)] + k [(2)(1) - (-1)(2)]

a × b = i [-2 - 5] - j [4 - 10] + k [2 + 2]

a × b = -7i + 6j + 4k

अब, सदिश गुणनफल का परिमाण परिकलित कीजिए:

|a × b| = √[(-7)² + 6² + 4²]

|a × b| = √[49 + 36 + 16]

|a × b| = √101

∴ समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल √101 है।

सही उत्तर विकल्प (2) है।

अवधारणा:

I. यदि कोई कण बल \(\vec F\) के प्रभाव में बिंदु A से B तक विस्थापित होता है तो बिंदु A से B तक कण को विस्थापित करने में किया गया कार्य निम्न द्वारा दिया जाता है: \(W = \;\vec F \cdot \vec d\)

II. अगर \(\vec a = {a_1}\hat i + {a_2}\hat j + {a_3}\hat k\;and\;\vec b = {b_1}\hat i + {b_2}\hat j + {b_3}\hat k\) तो \(\vec a \cdot \;\vec b = {a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + {a_3}{b_3}\)

गणना :

दिया गया: कण बिंदु A = (1, 2, - 3) से बिंदु B = (2, 0, - 5) तक बल \(\vec F = \;2\hat i + 5\hat j\) के प्रभाव में विस्थापित होता है

तो, कण का विस्थापन इसके द्वारा दिया जाता है:

\(\vec d = \;\overrightarrow {AB} = \left( {2\hat i + 0\hat j - 5\hat k} \right) - \left( {\hat i + 2\hat j - 3\hat k} \right) = \;\hat i - 2\hat j - 2\hat k\)

जैसा कि हम जानते हैं कि यदि कोई कण बल \(\vec F\) के प्रभाव में बिंदु A से B तक विस्थापित होता है तो बिंदु A से B तक कण को विस्थापित करने में किया गया कार्य निम्न द्वारा दिया जाता है: \(W = \;\vec F \cdot \vec d\)

\(W = \;\vec F \cdot \vec d = \left( {\;2\hat i - 3\hat j + \hat k} \right) \cdot \left( {\;\hat i - 2\hat j - 2\hat k} \right) = 2 + 6 - 2 = 6\;units\)

इसलिए, विकल्प C सही उत्तर है।

प्रयुक्त अवधारणा:

समांतर चतुर्भुज के विकर्ण: \(\vec{a} + \vec{b}\) और \(\vec{a} - \vec{b}\)

एक सदिश का परिमाण: \(x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}\) के लिए \(\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\)

गणना:

दिया गया है:

समांतर चतुर्भुज की आसन्न भुजाएँ: \(\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}\) और \(\vec{b} = 2\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}\)

⇒ विकर्ण 1: \(\vec{a} + \vec{b} = (\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) + (2\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}) = 3\hat{i} - 2\hat{j} + 0\hat{k}\)

⇒ विकर्ण 1 का परिमाण: \(\sqrt{3^2 + (-2)^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}\)

⇒ विकर्ण 2: \(\vec{a} - \vec{b} = (\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) - (2\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}) = -\hat{i} + 4\hat{j} - 2\hat{k}\)

⇒ विकर्ण 2 का परिमाण: \(\sqrt{(-1)^2 + 4^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 16 + 4} = \sqrt{21}\)

∴ विकर्णों की लंबाईयाँ \(\sqrt{13}\) और \(\sqrt{21}\) हैं।

इसलिए, विकल्प 4 सही है। 

गणना

OD रेखा का समीकरण है

\(\vec{r}=\overrightarrow{0}+\lambda(\hat{i}+\hat{j})\)

विकर्ण BE का समीकरण है

\(\begin{array}{l} \vec{r}_{1}=\hat{j}+\alpha(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}) \\ \mathrm{S} . \mathrm{D}=\left|\frac{\hat{j} \cdot(\hat{i}-\hat{j}-2 \hat{k})}{\sqrt{6}}\right|=\frac{1}{\sqrt{6}} \end{array}\)

अन्य स्थिति में S.D शून्य है।

इसलिए, विकल्प 1 सही है। 

अवधारणा :

अगर \(\rm \vec a = {a_1}\hat i + {a_2}\hat j + {a_3}\hat k\;and\;\vec b = {b_1}\hat i + {b_2}\hat j + {b_3}\hat k\) तो \(\rm \vec a \times \;\vec b = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\hat i}&{\hat j}&{\hat k}\\ {{ \rm a_1}}&{{\rm a_2}}&{{\rm a_3}}\\ {{\rm b_1}}&{{\rm b_2}}&{{\rm b_3}} \end{array}} \right|\)

यदि \(\rm \vec a\;and\;\vec b\) एक त्रिभुज की समीपवर्ती भुजाएँ हैं तो त्रिभुज का क्षेत्रफल इसके द्वारा दिया जाता है: \(\rm \frac{1}{2}\;\left| {\vec a \times \;\vec b} \right|\)

गणना :

दिया हुआ: त्रिभुज की दो भुजाएँ\(\left( {2\bar i - 7\bar j + \bar k} \right)\;\) और \(\left( {4\bar j - 3\bar k} \right)\) हैं

ज्ञात करना है: त्रिभुज का क्षेत्रफल

माना कि भुजाएँ \(\rm \vec a\;and\;\vec b\)= \(\left( {2\bar i - 7\bar j + \bar k} \right)\;\)और \(\left( {4\bar j - 3\bar k} \right)\)

\(\rm \vec{a}\times \vec{b}= \begin{vmatrix} {\hat i}&{\hat j}&{\hat k} \\ 2 & -7 & 1\\ 0 & 4 & -3 \end{vmatrix}\\=\hat i(21-4)-\hat j(-6-0)+\hat k(8-0)\\=17\hat i+6\hat j+8\hat k\)

\(\rm |\vec{a}\times \vec{b}|= \sqrt{17^2+6^2+8^2}= \sqrt{389}\)

अब

त्रिभुज का क्षेत्रफल = \(\rm \frac{1}{2}\;\left| {\vec a \times \;\vec b} \right|\)= \(\frac{{\sqrt {389} }}{2}\)

संकल्पना:

• यदि दो बिंदु A और B के क्रमशः स्थिति सदिश \(\rm \vec A\) और \(\rm \vec B\) हैं तो सदिश \(\rm \vec {AB}=\vec B-\vec A\)।

• एक दूसरे से कोण θ पर दो सदिश \(\rm \vec A\) और \(\rm \vec B\) लिए:
  • बिंदु गुणनफल को इस रूप में परिभाषित किया गया है: \(\rm \vec A.\vec B=|\vec A||\vec B|\cos \theta\) ।
  • परिणामी सदिश \(\rm \vec A + \vec B\) के समान है।

• कार्य: सदिश \(\rm \vec D\) के अनुदिश किसी वस्तु को ले जाने (विस्थापित करने) में बल (\(\rm \vec F\)) द्वारा किए गए कार्य (W) को इसके द्वारा दिया जाता है: W = \(\rm \vec F.\vec D=|\vec F||\vec D|\cos \theta\) ।

गणना:

मान लीजिए कि कण पर कार्य करने वाले बल \(\rm \vec F_1\) = 3î + 2ĵ + 5k̂ और \(\rm \vec F_2\) = 2î + ĵ - 3k̂ हैं।

∴ कण पर कार्य करने वाला परिणामी बल \(\rm \vec F=\vec F_1+\vec F_2\) होगा।

⇒ \(\rm \vec F\) = (3î + 2ĵ + 5k̂) + (2î + ĵ - 3k̂)

⇒ \(\rm \vec F\) = 5î + 3ĵ + 2k̂

चूंकि कण बिंदु 2î - ĵ - 3k̂ से बिंदु 4î - 3ĵ + 7k̂ तक स्थानांतरित किया जाता है विस्थापन सदिश \(\rm \vec D\) होगा:

\(\rm \vec D\) = (4î - 3ĵ + 7k̂) - (2î - ĵ - 3k̂)

⇒ \(\rm \vec D\) = 2î - 2ĵ + 10k̂।

और अंत में, किया गया कार्य W होगा:

W = \(\rm \vec F.\vec D\) = (5î + 3ĵ + 2k̂).(2î - 2ĵ + 10k̂)

⇒ W = (5)(2) + (3)(-2) + (2)(10)

⇒ W = 10 - 6 + 20 = 24 इकाइयाँ ।

संकल्पना:

किसी समांनातर चतुर्भुज के भुजाओं के रूप में सदिश \(\rm \vec {d_{1}}\) और \(\rm \vec {d_{1}}\) के साथ इसके क्षेत्रफल को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है: \(\rm Area=\dfrac{1}{2}\left|\vec{d_1}\times\vec{d_2}\right|\).

अन्योन्य गुणनफल: दो सदिश \(\rm \vec {A}=a_1\hat i+a_2\hat j+a_3\hat k\) और \(\rm \vec {B}=b_1\hat i+b_2\hat j+b_3\hat k\), के लिए उनके अन्योन्य गुणनफल को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

\(\rm \vec A \times \vec B=\begin{vmatrix} \rm \hat i & \rm \hat j & \rm \hat k\\ \rm a_1& \rm a_2 & \rm a_3\\ \rm b_1 & \rm b_2 & \rm b_3\end{vmatrix}=(a_2b_3-a_3b_2)\hat i+(a_3b_1-a_1b_3)\hat j+(a_1b_2-a_2b_1)\hat k\).

सदिश \(\rm \vec {A}=a_1\hat i+a_2\hat j+a_3\hat k\) के परिमाण \(\rm |\vec A|\) को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है: \(\rm |\vec A|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\).

गणना:

समानांतर चतुर्भुज के दिए गए विकर्ण \(\rm \vec{a}= 3\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}\) और \(\rm \vec{b}=\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k}\) हैं। 

विकर्ण \(\rm \vec {a}\) और \(\rm \vec {b}\) वाले समानांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के लिए सूत्र का प्रयोग करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है:

\(\rm Area=\dfrac{1}{2}\left|\vec a\times\vec b\right|=\dfrac{1}{2}\left|(a_2b_3-a_3b_2)\hat i+(a_3b_1-a_1b_3)\hat j+(a_1b_2-a_2b_1)\hat k\right|\)

= \(\rm \dfrac{1}{2}\sqrt{(a_2b_3-a_3b_2)^2+(a_3b_1-a_1b_3)^2+(a_1b_2-a_2b_1)^2}\)

= \(\rm \dfrac{1}{2}\sqrt{[(1)(4)-(-2)(-3)]^2+[(-2)(1)-(3)(4)]^2+[(3)(-3)-(1)(1)]^2}\)

= \(\rm \dfrac{1}{2}\sqrt{(4-6)^2+(-2-12)^2+(-9-1)^2}\)

= \(\rm \dfrac{1}{2}\sqrt{4+196+100}\)

= \(\rm \dfrac{1}{2}\sqrt{300}\)

= \(5\sqrt{3}\).

Additional Information

किसी समांनातर चतुर्भुज के भुजाओं के रूप में सदिश \(\rm \vec {a}\) और \(\rm \vec {b}\) के साथ इसके क्षेत्रफल को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है: \(\rm Area=|\vec{a}\times\vec{b}|\).

दो सदिश \(\rm \vec A\) और \(\rm \vec B\) एक-दूसरे से कोण θ पर है:

• बिंदु गुणनफल को निम्न रूप में परिभाषित किया गया है:\(\rm \vec A.\vec B=|\vec A||\vec B|\cos \theta\).
• अन्योन्य गुणनफल को: \(\rm \vec A\times \vec B=\hat n|\vec A||\vec B|\sin \theta\) के रूप में परिभाषित किया गया है जहाँ \(\rm \hat n\), \(\rm \vec A\) और \(\rm \vec B\) वाले तल के लंबवत इकाई सदिश है। 

अवधारणा:

• अगर \(\vec a = {a_1}\hat i + {a_2}\hat j + {a_3}\hat k\;and\;\vec b = {b_1}\hat i + {b_2}\hat j + {b_3}\hat k\) तो \(\vec a \times \;\vec b = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\hat i}&{\hat j}&{\hat k}\\ {{a_1}}&{{a_2}}&{{a_3}}\\ {{b_1}}&{{b_2}}&{{b_3}} \end{array}} \right|\)

• यदि \(\vec a\;and\;\vec b\) एक त्रिभुज की समीपवर्ती भुजाएँ हैं तो त्रिभुज का क्षेत्रफल इस प्रकार दिया जाता है: \(\frac{1}{2}\;\left| {\vec a \times \;\vec b} \right|\)

गणना:

दिया हुआ: \(\overrightarrow {AB} = \hat i + 2\hat j + 3\hat k\;and\;\overrightarrow {BC} = 3\hat i + 7\hat j + \hat k\) एक त्रिभुज ABC की समीपवर्ती भुजाएँ हैं।

जैसा कि हम जानते हैं कि, यदि \(\vec a = {a_1}\hat i + {a_2}\hat j + {a_3}\hat k\;and\;\vec b = {b_1}\hat i + {b_2}\hat j + {b_3}\hat k\) तो \(\vec a \times \;\vec b = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\hat i}&{\hat j}&{\hat k}\\ {{a_1}}&{{a_2}}&{{a_3}}\\ {{b_1}}&{{b_2}}&{{b_3}} \end{array}} \right|\)

⇒ \(\vec {AB} \times \;\vec {BC} = \hat i(2 - 21) - \hat j(1 - 9) + \hat k(7 - 6)\)

⇒ \(\vec {AB} \times \;\vec {BC} = -19\hat i + 8\hat j+ \hat k\)

⇒ \(|\vec{AB} \times \vec{BC}| = \sqrt{426}\)

तो, आवश्यक त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल \(\frac{1}{2}|\vec{AB} \times \vec{BC}| = \frac{\sqrt{426}}{2}\) है

इसलिए, सही विकल्प 1 है।

संकल्पना:

एक त्रिभुज ABC को समद्विबाहु त्रिभुज तब कहा जाता है यदि त्रिभुज ABC में बराबर लम्बाई वाले दो भुजाएं होते हैं। 

गणना:

दिया गया है, केंद्र O के संबंध में बिंदु P का स्थान सदिश î + 3ĵ - 2k̂ और बिंदु Q का स्थान सदिश 3î + ĵ - 2k̂ है। 

⇒\(\rm \bar {OP} \) = î + 3ĵ - 2k̂ और \(\rm \bar {OQ}\) = 3î + ĵ - 2k̂.

⇒ |OP| = \(\rm \sqrt {1+9 + 4} = \sqrt {14}\)

⇒ |OQ| = \(\rm \sqrt {9 + 1+ 4} = \sqrt {14}\)

यहाँ, |OP| = |OQ|

\(\rm \triangle POQ\) समद्विबाहु त्रिभुज है। 

कोण POQ के द्विभाजक का स्थान सदिश = \(\rm \dfrac 1 2 (OP + OQ)\)

⇒कोण POQ के द्विभाजक का स्थान सदिश = \(\rm \dfrac 1 2 [(î + 3ĵ - 2k̂) + (3î + ĵ - 2k̂)]\)

⇒ कोण POQ के द्विभाजक का स्थान सदिश = \(\rm \dfrac 1 2 (4î + 4ĵ - 4k̂) \)

⇒ कोण POQ के द्विभाजक का स्थान सदिश = \(\rm 2î + 2ĵ - 2k̂\)

धारणा:

• एक समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को प्रतिच्छेदित करते हैं।

गणना:

चूंकि, एक समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को प्रतिच्छेदित करते हैं इसलिए P, AC और BD दोनों का मध्य बिंदु है।

\(\Rightarrow \frac{{\overrightarrow {{\rm{OA}}} + \overrightarrow {{\rm{OC}}} }}{2} = \overrightarrow {{\rm{OP}}} \) 

\(\therefore \overrightarrow {{\rm{OA}}} + \overrightarrow {{\rm{OC}}} = 2 \times \overrightarrow {{\rm{OP}}} \)         …. (1)

अब

\( \Rightarrow \frac{{\overrightarrow {{\rm{OB}}} + \overrightarrow {{\rm{OD}}} }}{2} = \overrightarrow {{\rm{OP}}} \)

\(\therefore \overrightarrow {{\rm{OB}}} + \overrightarrow {{\rm{OD}}} = 2 \times \overrightarrow {{\rm{OP}}} \)         …. (2)

समीकरण 1 और 2 को जोड़ने पर हमें प्राप्त होता है

\(\overrightarrow {{\rm{OA}}} + \overrightarrow {{\rm{OB}}} + \overrightarrow {{\rm{OC}}} + \overrightarrow {{\rm{OD}}} = 4{\rm{\;}}\overrightarrow {{\rm{OP}}} {\rm{\;}}\) 

धारणा:

एक समांतर चतुर्भुज ABCD पर विचार करते हुए, AC और BD वे विकर्ण हैं जो O पर एक दूसरे को द्विभाजित करते हैं।

हम जानते हैं कि, समांतर चतुर्भुज के विकर्ण समान भाग के दो त्रिभुजों में समांतर चतुर्भुज को द्विभाजित करते हैं।

समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = 2 × ∆BCD का क्षेत्रफल

∆BCD में

आधार = BD और ऊंचाई = CE = OC × sin θ = ½ × AC × sin θ

त्रिभुज BCD का क्षेत्रफल = ½ × आधार × ऊंचाई = 1/2 × |\(\overrightarrow {BD} \)| × |\(\frac{{\overrightarrow {AC} }}{2}\) sin θ|

तो, समानांतर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = |\(\overrightarrow {BD} \)| × |\(\frac{{\overrightarrow {AC} }}{2}\) sin θ | = 1/2 × |\(\overrightarrow {BD} \times \overrightarrow {AC} \)|

गणना:

दिया हुआ:

हम विकर्णों को AC और BD निम्न रूप में मान लेते हैं,

\(\overrightarrow {AC} \) = 3î + ĵ - 2k̂

\(\overrightarrow {BD}\) = î - 3ĵ + 4k̂

निम्न खोजने के लिए: समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल?

समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = ½ × |\(\overrightarrow {BD} \times \overrightarrow {AC} \)|

= ½ × \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} i&j&k\\ 3&1&-2\\ 1&-3&4 \end{array}} \right|\)

= ½ × |î {4 – 6} ĵ – {12 – (-2)} + k̂ {-9 – 1}|

= ½ × |-2î - 14ĵ – 10 k̂|

= ½ × \(\sqrt {{2^2} + {{14}^2} + {{10}^2}} \)

= ½ × √(4 + 196 + 100)

= ½ × √(300)

= ½ × 10√3

= 5√3

धारणा:

1. आघूर्ण: यह एक स्थिति वेक्टर r के क्रॉस उत्पाद के बराबर होगा जो बिंदु से कहीं भी बल की कार्रवाई की रेखा पर और बल वेक्टर के बराबर होगा।⇔ \(\vec M = \vec r\; \times \vec F\)
2. दो वैक्टर का क्रॉस उत्पाद: क्रॉस उत्पाद को सारणिक के रूप में लिखा जा सकता है।
   माना कि \(\vec a\) और \(\vec b\) दो vector हैं। ⇒ \(\vec a = \;{a_1}\vec i + {b_1}\vec j + \;{c_1}\vec k\;\)और \(\vec b = \;{a_2}\vec i + {b_2}\vec j + \;{c_2}\vec k\)
   \(\therefore \;\vec a\; \times \;\vec b = \;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\vec i}&{\vec j}&{\vec k\;}\\ {{a_1}}&{{b_1}}&{{c_1}}\\ {{a_2}}&{{b_2}}&{{c_2}} \end{array}} \right|\)
3. यदि \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{a_{13}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{{a_{23}}}\\ {{a_{31}}}&{{a_{32}}}&{{a_{33}}} \end{array}} \right]\) तब A का सारणिक निम्न द्वारा दिया जाता है:
   |A| = a₁₁ × {(a₂₂ × a₃₃) – (a₂₃ × a₃₂)} - a₁₂ × {(a₂₁ × a₃₃) – (a₂₃ × a₃₁)} + a₁₃ × {(a₂₁ × a₃₂) – (a₂₂ × a₃₁)}
4. वेक्टर का परिमाण: माना कि \(\vec a = x\;\vec i + y\;\vec j + z\;\vec k\) 
   a के वेक्टर का परिमाण = \(\left| {\vec a} \right| = \;\sqrt {{x^2} + \;{y^2} + {z^2}} \)

गणना:

दिया हुआ: \({\rm{\vec r}} = {\rm{\;\;\hat i}} + {\rm{\;}}2{\rm{\hat j}} + {\rm{\;}}3{\rm{\hat k\;and\;\vec F}} = {\rm{\;\lambda \;\hat k}}\)

हमें आघूर्ण का परिमाण खोजना होगा,

हम जानते हैं कि, \({\rm{\vec M}} = {\rm{\vec r\;}} \times {\rm{\vec F}}\)

\(\therefore \;{\rm{\vec M}} = \;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\vec i}&{\vec j}&{\vec k\;}\\ 1&2&3\\ 0&0&{\rm{\lambda }} \end{array}} \right|\) 
\( \Rightarrow \;{\rm{\vec M}} = \;\vec i\left( {2{\rm{\lambda }} - 0} \right) - \;\vec j\;\left( {{\rm{\lambda }} - 0} \right) + \;\vec k\;\left( {0 - 0} \right) = \;2{\rm{\lambda }}\vec i - \;{\rm{\lambda }}\vec j\;\)

अब

संकल्पना:

सदिश जोड़ का त्रिभुज नियम: सदिश जोड़ का त्रिभुज नियम बताता है कि जब दो सदिशों को परिमाण और दिशा के क्रम में त्रिभुज के दो भुजाओं के रूप में दर्शाया जाता है, तो त्रिभुज की तीसरी भुजा परिणामी सदिश के परिमाण और दिशा को दर्शाती है। 

.

\(⇒ {\rm{\vec R}} = {\rm{\vec A}} + {\rm{\vec B}}\)

गणना:

दिया गया है सदिश \(\rm 3\hat{i} - 8\hat{j} + 5\hat{k}, \hat{i} - λ\hat{j} + 2\hat{k} \;and\; 2\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}\) है। 

सदिश जोड़ के त्रिभुज नियम का प्रयोग करने पर,\(\rm ⇒ 3\hat{i} - 8\hat{j} + 5\hat{k} = (\hat{i} - λ\hat{j} + 2\hat{k}) + (2\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k})\)

\(\rm ⇒ 3\hat{i} - 8\hat{j} + 5\hat{k} = 3\hat{i} + (- λ+3)\hat{j} + 5\hat{k} \)

 \(\rm \vec {j}\) के गुणांक की तुलना करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

⇒ -8 = -λ + 3

⇒ λ = 3 + 8

∴ λ = 11

अवधारणा:

आसन्न भुजाओं \(\vec{a} \) और \(\vec{b}\) वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल \(|\vec{a}\times \vec{b}|\) है। 

गणना:

दिया गया है: समांतर चतुर्भुज की आसन्न भुजाएँ î + k̂ और 2î + ĵ + k̂ है। 

माना a = î + k̂ और b = 2î + ĵ + k̂

समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल है, \(|\vec{a}\times \vec{b}|\)

⇒ \(\vec{a}\times\vec{b}\) = \(\begin{vmatrix} \hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\ 1&0&1\\ 2&1&1\\ \end{vmatrix}\)

⇒  \(\vec{a}\times\vec{b}\) = (0 - 1)î - (1 - 2)ĵ + (1 - 0)k̂  = - î + ĵ + k̂

⇒  \(|\vec{a}\times \vec{b}|=\)  \(\sqrt{(-1)^2+1^2+1^2}=\sqrt{3}\)

अतः समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल \(\sqrt{3}\) है। 

सही उत्तर विकल्प 2 है।