Scalar and Vector Product MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Scalar and Vector Product - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

दिया गया है:

\(\rm \vec a=̂ i+̂ j\ और \ \vec b=̂ j+̂ k,\)

इसके अलावा, \(\vec a, \vec b, \vec c\) की लंबाई समान है

⇒ \(|\vec a| = |\vec b| = |\vec c|\) = √2

मान लीजिये सदिशों के बीच का कोण θ है।

⇒ Cosθ = \(\frac{\vec a. \vec b}{|\vec a||\vec b|} = \frac{0+1+0}{\sqrt2} =\frac{1}{\sqrt2}\)

(I) मान लीजिये \(\vec c =\hat i +\hat k\)

\(|\vec c| = \sqrt2\)

Cosθ = \(\frac{\vec a. \vec c}{|\vec a||\vec c|} = \frac{0+1+0}{\sqrt2} =\frac{1}{\sqrt2}\)

सभी शर्तें पूरी होती हैं, इसलिए यह सदिश \(\vec c\) हो सकता है

(II) मान लीजिये \(\vec c =\rm \frac{-\hat i+4\hat j-\hat k}{3}\)

⇒ \(|\vec c| = \frac{1}{3}\sqrt18 = \sqrt2\)

Cosθ = \(\frac{\vec a. \vec c}{|\vec a||\vec c|} \)

= \(\frac{\frac{-1}{3}\frac{4}{3}}{\sqrt2 \sqrt2} = \frac{1}{2}\)

सभी शर्तें पूरी होती हैं, इसलिए यह सदिश \(\vec c\) हो सकता है

∴ विकल्प (c) सही है।

व्याख्या:

दिया गया है:

\(⃗ a+2⃗ b\) और \(\rm 5⃗ a-4⃗ b\) लंबवत सदिश हैं।

⇒ \((⃗ a+2⃗ b).\)\((\rm 5⃗ a-4⃗ b)\) = 0

⇒ \(5|⃗ a|^2 -4⃗ a.⃗ b + 10⃗ a . ⃗ b - 8(⃗ b)^2=0\)

⇒ \(5× 1 + 6⃗ a.⃗ b-8 =0\)

अब \(\vec a, \vec b\) इकाई सदिश हैं

⇒ \(6 |\vec a||\vec b| Cosθ = 3\)

⇒ 6 cosθ = 3

⇒Cosθ = 1/2

अब

cos2 θ = 2Cos²θ -1

= 2x (1/2)² -1

= \(-\frac{1}{2}\)

अब,

cosθ + cos2θ = 1/2 -1/2 =0

∴ सही उत्तर विकल्प a है

व्याख्या:

माना P = \(\rm |\vec a\times \vec b|+√3|\vec a.\vec b|\)

= \(\rm |\vec a|.|\vec b||sinθ |+ √3|\vec a||\vec b||cosθ|\)

= \(\rm |\vec a||\vec b|[|sinθ |+ √3|cosθ|]\)

⇒ p अधिकतम होगा यदि (sin θ + √3cos θ) अधिकतम है।

अब, इसके अधिकतम मान के लिए,

\(\frac{d}{dθ } (sinθ +√3cosθ) =0\)

⇒ Cosθ -√3 sinθ =0

⇒ \(tanθ =\frac{1}{\sqrt3}\)

⇒ θ =30°

∴ विकल्प (b) सही है

व्याख्या:

दिया गया है:

⇒ (2î + 6ĵ + 27k̂) x (î + αĵ + βk̂) = 0

⇒ \(\begin{bmatrix} \hat{i} &\hat{j}&\hat{k}\\\ 2&6&27\\\ 1&α&β\end{bmatrix}\ \) = 0

⇒ \(\hat{i} (6β -27α) - \hat{j}(2β-27)+\hat{k}(2α-6) =0\)

दोनों पक्षों की तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है

6β - 27α = 0

⇒ 2β = 9α

2β - 27 = 0

⇒ β = 27/2

इसके अलावा

⇒ 2α - 6 = 0

α =3

अब,

3α + 2β = \(3\times 3 + 2 \times \frac{27}{2}\) =36

∴ विकल्प (1) सही है

संकल्पना:

दो सदिशों के बिंदु गुणनफल को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

\({\rm{\vec A}}{\rm{.\vec B = }}\left| {\rm{A}} \right|{\rm{ \times }}\left| {\rm{B}} \right|{\rm{ \times cos}}\;{\rm{\theta }}\)

दो सदिशों के अन्योन्य/सदिश गुणनफल को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

\({\rm{\vec A \times \vec B = }}\left| {\rm{A}} \right|{\rm{ \times }}\left| {\rm{B}} \right|{\rm{ \times sin}}\;{\rm{\theta }} \times \rm \hat{n}\)

जहां θ, \({\rm{\vec A}}\;{\rm{and}}\;{\rm{\vec B}}\) बीच का कोण है

गणना:

ज्ञात करना है: \(\rm \vec{a} \times \vec{a}\) का मान

यहाँ उनके बीच का कोण 0° है

\({\rm{\vec a \times \vec a = }}\left| {\rm{a}} \right|{\rm{ \times }}\left| {\rm{a}} \right|{\rm{ \times sin}}\;{\rm{0 }} \times \rm \hat{n}=0\)

धारणा:

यदि \(\vec a = {a_1}\hat i + {a_2}\hat j + {a_3}\hat k\;and\;\vec b = {b_1}\hat i + {b_2}\hat j + {b_3}\hat k\) तो \(\vec a \cdot \;\vec b = \left| {\vec a} \right| \times \left| {\vec b} \right|\cos \theta\)

गणना:

दिया हुआ: \(\vec a = 2\hat i - 6\hat j - 3\hat k\) और \(\vec b = 4\hat i + 3\hat j - \hat k\)

\(\left| {\vec a} \right| = 7,\;\left| {\vec b} \right| = \sqrt {26} \;and\;\vec a \cdot \;\vec b = - 7\)

\(\Rightarrow \;\cos \theta = \frac{{\vec a \cdot \;\vec b}}{{\left| {\vec a} \right| \times \left| {\vec b} \right|}} = \frac{{ - \;7}}{{7 \times \sqrt {26} }} = - \frac{1}{{\sqrt {26} }}\)

\( \Rightarrow \;{\sin ^2}\theta = 1 - {\cos ^2}\theta = 1 - \frac{1}{{26}} = \frac{{25}}{{26}}\)

दिए गए दो सदिश समानांतर है, इसलिए इन दो सदिश का सदिश गुणनखंड शून्य होगा।

\(\vec a\parallel \vec b \Leftrightarrow \vec a \times \vec b = \vec 0\)

\(\Rightarrow \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\hat i}&{\hat j}&{\hat k}\\ 1&\lambda &3\\ 3&2&9 \end{array}} \right| = 0\)

\(= \left( {9\lambda - 6} \right)\hat i - \left( {9 - 9} \right)\hat j + \left({2 - 3\lambda} \right)\hat k = \vec 0\)

⇒ 9λ – 6 = 0 और 2 - 3λ = 0

दिया गया:

\(\rm\vec u = \hat i \times ( \vec a \times \hat i) + \hat j \times ( \vec a \times \hat j) + \hat k \times ( \vec a \times \hat k)\)

संकल्पना:

î × î  = ĵ × ĵ = k̂ × k̂  = 0 

î × ĵ = k̂ , ĵ × k̂ = î , k̂ × î = ĵ 

गणना

माना a = mî + nĵ +lk̂ 

ज्ञात करने के लिए:

\(\rm\vec u = \hat i \times ( \vec a \times \hat i) + \hat j \times ( \vec a \times \hat j) + \hat k \times ( \vec a \times \hat k)\)

\(\vec u \) = î  × (mî + nĵ +lk̂  × î) + ĵ ×  (mî + nĵ +lk̂  × ĵ) + k̂ × (mî + nĵ +lk̂)

\(\vec u \) = î  × (-nk̂ + lĵ) + ĵ × (mk̂ -lî  ) + k̂ × (-mĵ + nî) 

 \(\vec u \)  = nĵ  + lk̂ + mî +  lk̂ + mî + nĵ 

 \(\vec u \) = 2(mî + nĵ +lk̂ ) = 2\(\vec a \)

संकल्पना:

\(\text { Let } \overrightarrow{\mathrm{a}}=\mathrm{a}_{1} \overrightarrow{\mathrm{i}}+\mathrm{b}_{1} \overrightarrow{\mathrm{j}}+\mathrm{c}_{1} \overrightarrow{\mathrm{k}}, \overrightarrow{\mathrm{b}}=\mathrm{a}_{2} \overrightarrow{\mathrm{i}}+\mathrm{b}_{2} \overrightarrow{\mathrm{j}}+\mathrm{c}_{2} \overrightarrow{\mathrm{k}} \text { and } \overrightarrow{\mathrm{c}}=\mathrm{a}_{3} \overrightarrow{\mathrm{i}}+\mathrm{b}_{3} \overrightarrow{\mathrm{j}}+\mathrm{c}_{3} \overrightarrow{\mathrm{k}} \text { be the three vectors }\)

समतलता के लिए स्थिति: 

​\( \overrightarrow{\mathbf{a}} \cdot(\overrightarrow{\mathrm{b}} \times \overrightarrow{\mathrm{c}}) = 0\)​

\(\Rightarrow \left|\begin{array}{lll} \rm a_{1} & \mathrm{b}_{1} & \mathrm{c}_{1} \\ \mathrm{a}_{2} & \mathrm{b}_{2} & \mathrm{c}_{2} \\ \mathrm{a}_{3} & \mathrm{b}_{3} & \mathrm{c}_{3} \end{array}\right|=0 \)

गणना:

यहाँ, \(\rm \hat i-\hat j+\hat k, 2\hat i+\hat j-\hat k, \hat i\lambda-\hat j+\hat k \lambda \) समतलीय हैं। 

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left|\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \\ λ & -1 & λ \end{array}\right|=0\end{array}\)

1(λ - 1) + 1(2λ + λ) + 1(-2 - λ) = 0

λ - 1 + 2λ + λ + -2 - λ = 0

3λ - 3 = 0

λ = 1

अतः विकल्प (4) सही है। 

अवधारणा:

माना कि दो सदिश \({\rm{\vec a}}\) और \({\rm{\vec b}}\) हैं

\(\rm \vec a \cdot \;\vec b = \left| {\vec a} \right| × \left| {\vec b} \right| × \cos θ \)

 \(\rm \vec a × \;\vec b = \;\;\left| {\vec a} \right| × \left| {\vec b} \right| × \sin θ × \;\hat n,\;where\;\hat n\), \(\rm \vec a\;and\;\vec b\)दोनों के लिए लंबवत इकाई सदिश है 

गणना:

दिया हुआ: \(\rm \left| {\vec a} \right| = 3,\;\left| {\vec b} \right| = 4\;and \;\rm \vec a \cdot \;\vec b = 6\)

जैसा कि हम जानते हैं, \(\rm \vec a \cdot \;\vec b = \left| {\vec a} \right| × \left| {\vec b} \right| × \cos θ \)

⇒ 6 = 3 × 4 × cos θ 

⇒ cos θ = \(\frac {6} {12} = \frac 1 2\)

∴ θ = 60° 

जैसा कि हम जानते हैं कि, यदि \(\rm \vec a\;and\;\vec b\) दो सदिश हैं तो

\(\rm \vec a × \;\vec b = \;\;\left| {\vec a} \right| × \left| {\vec b} \right| × \sin θ × \;\hat n\)

\(\rm \left| {\vec a × \;\vec b} \right| = \left| {\vec a} \right| × \left| {\vec b} \right| × \left| {\sin θ } \right| × \left| {\hat n} \right| = \;\left| {\vec a} \right| × \left| {\vec b} \right| × \sin θ \)      (∵ एक इकाई सदिश का परिमाण एक है)

\(\rm \left| {\vec a × \;\vec b} \right|\) = 3 × 4 × sin 60° 

\(\rm ∴ \rm \left| {\vec a × \;\vec b} \right| = 3 × 4 × \frac{\sqrt 3}{2} = 6\sqrt 3\)

संकल्पना:

\(\rm \left(\vec a + \vec b\right) \cdot \left(\vec a - \vec b\right) = \left|\vec a\right|^2-\left|\vec b\right|^2\)

यदि \(\rm \vec u\) एक इकाई सदिश है तो \(\rm \left|\vec u\right|=1\) है। 

गणना:

यह दिया गया है कि

\((\rm \vec x + \rm 2\vec a) \cdot (\rm \vec x - \rm 2\vec a) = 12\).

⇒ \(\rm \left|\vec x\right|^2 - 4\left|\vec a\right|^2 = 12\)

चूँकि \(\rm \vec a\) एक इकाई सदिश है, इसलिए हमें निम्न प्राप्त होता है

⇒ \(\rm \left|\vec x\right|^2 - 4= 12\)

⇒ \(\rm \left|\vec x\right|^2 =16\)

⇒ \(|\rm \vec x |\) = 4

धारणा:

• इकाई वेक्टर: एक वेक्टर जिसका परिमाण एक है।

माना कि \(\vec a = x\;\vec i + y\;\vec j + z\;\vec k\)

a के वेक्टर का परिमाण = \(\left| {\vec a} \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \)

इकाई वेक्टर = \(\hat a = \frac{{\vec a}}{{\left| {\vec a} \right|}}\)

• माना कि \(\vec a\) और \(\vec b\) दो वेक्टर हैं तो वेक्टर \(\vec c\) दोनों के लिए लम्बवत 

\(\vec a = {a_1}\vec i + {b_1}\vec j + {c_1}\vec k\) and \(\vec b = {a_2}\vec i + {b_2}\vec j + {c_2}\vec k\)

\(\therefore \vec c = \vec a \times \vec b = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\vec i}&{\vec j}&{\vec k\;}\\ {{a_1}}&{{b_1}}&{{c_1}}\\ {{a_2}}&{{b_2}}&{{c_2}} \end{array}} \right|\)

• यदि \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{a_{13}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{{a_{23}}}\\ {{a_{31}}}&{{a_{32}}}&{{a_{33}}} \end{array}} \right]\) तब A का सारणिक निम्न द्वारा दिया जाता है:

|A| = a₁₁ × {(a₂₂ × a₃₃) - (a₂₃ × a₃₂)} - a₁₂ × {(a₂₁ × a₃₃) - (a₂₃ × a₃₁)} + a₁₃ × {(a₂₁ × a₃₂) - (a₂₂ × a₃₁)}

गणना:

माना कि वेक्टर \(\vec a = 2{\rm{\hat i}} - {\rm{\hat j}} + {\rm{\hat k}}\) और \([\vec b = 3{\rm{\hat i}} - 4{\rm{\hat j}} - {\rm{\hat k}}\) और वेक्टर \(\vec c\), \(\vec a\) और \(\vec b\) दोनों के लिए लंबवत हैं

\(\therefore \vec c = \vec a \times \vec b = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\vec i}&{\vec j}&{\vec k\;}\\ 2&{ - 1}&1\\ 3&{ - 4}&{ - 1} \end{array}} \right|\)

\(= \vec i\;\left( {1 + 4} \right) - \vec j\;\left( { - 2 - 3} \right) + \vec k\left( { - 8 + 3} \right)\)

\(= 5\vec i + 5\vec j - 5\vec k\)

इकाई वेक्टर = \(\hat c = \frac{{\vec c}}{{\left| c \right|}} = \frac{{5\overrightarrow {i} + 5\overrightarrow {j\;} - \;5\vec k}}{{\sqrt {{5^2} + {5^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2}} }} = \frac{{5\overrightarrow {i} + 5\overrightarrow {j} - 5\vec k}}{{5\sqrt 3 }} = \frac{{\overrightarrow {i} + \overrightarrow {j} - \vec k}}{{\sqrt 3 }}\)

अवधारणा: 

\(\rm \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{a} = 0\)

\(\rm \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = - \overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a} \)

गणना:

दिया गया है

\(\rm = \left( {2\vec a - 3\vec b} \right) \times \left( {2\vec a + 3\vec b} \right)\)

\(\rm = 2\overrightarrow{a} \times 2\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{a} \times 3\overrightarrow{b} - 3\overrightarrow{b} \times 2\overrightarrow{a} - 3\overrightarrow{b} \times 3\overrightarrow{b}\)

\(\rm = 0 + 2\overrightarrow{a} \times 3\overrightarrow{b} - 3\overrightarrow{b} \times 2\overrightarrow{a} - 0\)

\(\rm = 6 \: (\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}) + 6\: (\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} )\)

\(\rm = 12\: (\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}) \)

Additional Information

अदिश गुणनफल के गुण

\(\rm \overrightarrow{a}.\overrightarrow{a} = \left |\overrightarrow{a} \right |^{2}\)

\(\rm \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \overrightarrow{b}.\overrightarrow{a}\) (अदिश गुणनफल विनिमेय है)

\(\rm \overrightarrow{a}.\overrightarrow{0} = 0\)

\(\rm \overrightarrow{a}.(\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}) = \overrightarrow{a} . \overrightarrow{b} + \overrightarrow{a} . \overrightarrow{c}\) (जोड़ के ऊपर अदिश गुणनफल का वितरण)

पारस्परिक रूप से लंबवत सदिश के लिए ऑर्थोगोनल निर्देशांक के संदर्भ में, यह देखा जाता है कि \(\rm \overrightarrow{i}. \overrightarrow{i} = \overrightarrow{j}. \overrightarrow{j} = \overrightarrow{k} . \overrightarrow{k} =1\)

सदिश गुणनफल के गुण

धारणा:

डॉट गुणनफल: इसे आंतरिक गुणनफल या स्केलर गुणनफल भी कहा जाता है

• माना कि \(\vec a\;{\rm{and\;}}\vec b\) दो वेक्टर हैं तो दो वेक्टर का डॉट गुणनफल: \(\vec a.\;\vec b = \;\left| {\bf{a}} \right|\left| {\bf{b}} \right|\;{\bf{cos}}\;{\bf{\theta }}\) जहाँ, |\(\vec a\)| = a और |\(\vec b\)| वेक्टर का परिमाण = वेक्टर b और θ का परिमाण a और b के बीच का कोण है
• \(\vec i.\vec i = \vec j.\vec j = \vec k.\vec k = 1{\rm{\;and\;}}\overrightarrow {\;i} .\vec j = \vec j.\vec i = \vec i.\vec k = \vec k.\vec i = \vec j.\vec k = \vec k.\vec j = 0\)

गणना:

माना कि \(\vec a = \vec i,\vec b = \vec j,\vec c = \vec k\)

\(\therefore \left( {{\rm{\vec a}} + {\rm{\vec b}} + {\rm{\vec c}}} \right).{\rm{\vec a}} = \left| {{\rm{\vec a}} + {\rm{\vec b}} + {\rm{\vec c}}} \right|\left| {{\rm{\vec a}}} \right|\cos \theta \)

\(\Rightarrow \left( {{\rm{\vec i}} + \vec j + {\rm{\vec k}}} \right).{\rm{\vec i}} = \left| {{\rm{\vec i}} + \vec j + {\rm{\vec k}}} \right|\left| {{\rm{\vec i}}} \right|\cos \theta \)

⇒ 1 + 0 + 0 = √3 × 1 × cos θ

⇒ cos θ = 1/√3