Properties of Vectors MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Properties of Vectors - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

धारणा:

यदि \(\vec a = {a_1}\hat i + {a_2}\hat j + {a_3}\hat k\;and\;\vec b = {b_1}\hat i + {b_2}\hat j + {b_3}\hat k\) तो \(\vec a \cdot \;\vec b = \left| {\vec a} \right| \times \left| {\vec b} \right|\cos \theta\)

गणना:

दिया हुआ: \(\vec a = 2\hat i - 6\hat j - 3\hat k\) और \(\vec b = 4\hat i + 3\hat j - \hat k\)

\(\left| {\vec a} \right| = 7,\;\left| {\vec b} \right| = \sqrt {26} \;and\;\vec a \cdot \;\vec b = - 7\)

\(\Rightarrow \;\cos \theta = \frac{{\vec a \cdot \;\vec b}}{{\left| {\vec a} \right| \times \left| {\vec b} \right|}} = \frac{{ - \;7}}{{7 \times \sqrt {26} }} = - \frac{1}{{\sqrt {26} }}\)

\( \Rightarrow \;{\sin ^2}\theta = 1 - {\cos ^2}\theta = 1 - \frac{1}{{26}} = \frac{{25}}{{26}}\)

गणना:

सदिश योग के त्रिभुजाकार नियम से, हमें प्राप्त होता है \(OP+PS = OS\)

\(\therefore \vec P+b|\vec R|\dfrac{\vec R}{|\vec R|}=\vec{S}\)

⇒ \(\vec P+b{\vec R}=\vec{S}\)

लेकिन \(\vec{R} = \vec{Q} - \vec{P}\) (दिया गया है)

⇒ \(\vec P+b(\vec Q-\vec P)=\vec{S}\)

⇒ \(\vec{S} =(1-b) \vec P+b \vec Q\)

अतः विकल्प 3 सही है। 

गणना: 

हम जानते हैं कि यदि दो सदिश \(\rm\overrightarrow{a}\&\overrightarrow{b}\) लांबिक हैं तो, \(\rm\overrightarrow{a}⋅\overrightarrow{b}\) = 0 होगा। 

चूँकि, (î − xĵ − 2k̂) और (2î + ĵ + yk̂) लाम्बिक हैं तो, (î − xĵ − 2k̂)⋅(2î + ĵ + yk̂) = 0 हैं। 

⇒ 2 − x − 2y = 0

⇒ x + 2y = 2 एक सीधी रेखा को निरूपित करता है। 

अतः, बिंदु (x, y) का बिंदुपथ एक सीधी रेखा है।

गणना:

दिया गया है: \(​3\vec{a} - 2\vec{b} + 5\vec{c} - 6\vec{d} = \vec{0} \)

जहाँ \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d} \) बिंदुओं A, B, C, D के स्थिति सदिश हैं।

इस समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
⇒ \(6\vec{d} = 3\vec{a} - 2\vec{b} + 5\vec{c} \)
⇒ \(\vec{d} \) \( \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \) का एक रैखिक संयोजन है।

ज्यामितीय रूप से:

स्थिति सदिश \(\vec{d} \) अन्य तीन स्थिति सदिशों का एक रैखिक संयोजन है।

इसका अर्थ है कि चार बिंदु A, B, C, D एक ही समतल में स्थित हैं।

इसलिए बिंदु A, B, C, D समतलीय हैं।

⇒ कथन 1 सत्य है।

तीन सदिश \( \overrightarrow{PQ}, \overrightarrow{PR}, \overrightarrow{PS} \) दिए गए हैं:

1. शून्येतर: इनके परिमाण शून्य से अधिक हैं।

2. रैखिकतः आश्रित: एक सदिश को अन्य दो सदिशों के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

3. सह-आदि: ये एक ही बिंदु P से प्रारंभ होते हैं।

यदि सदिशों का अदिश त्रिक गुणनफल शून्य है, तो सदिश समतलीय होते हैं:

\(\overrightarrow{PQ} \cdot (\overrightarrow{PR} \times \overrightarrow{PS}) = 0 \)

रैखिकतः आश्रित सदिश:

यदि \(\overrightarrow{PQ}, \overrightarrow{PR}, \overrightarrow{PS} \) रैखिकतः आश्रित हैं, तो उनका अदिश त्रिक गुणनफल स्वतः ही शून्य होगा:

\(\overrightarrow{PQ} \cdot (\overrightarrow{PR} \times \overrightarrow{PS}) = 0 \)

इसका अर्थ है कि तीनों सदिश एक ही समतल में स्थित हैं, जिससे वे समतलीय हो जाते हैं।

ज्यामितीय व्याख्या:

चूँकि सदिश रैखिकतः आश्रित हैं और एक ही बिंदु P से प्रारंभ होते हैं, इसलिए वे एक ही समतल में स्थित हैं।

इसलिए तीन सदिश \(\overrightarrow{PQ}, \overrightarrow{PR}, \overrightarrow{PS} \) समतलीय हैं।

⇒ कथन 2 सत्य है। 

दोनों कथन सत्य हैं और वे स्वतंत्र रूप से समतलीयता की व्याख्या करते हैं। 

अतः विकल्प (1) सही उत्तर है।

गणना

\(\overrightarrow{\mathrm{a}}+5 \overrightarrow{\mathrm{b}}=\lambda \overrightarrow{\mathrm{c}}\)

\(\overrightarrow{\mathrm{b}}+6 \overrightarrow{\mathrm{c}}=\mu \overrightarrow{\mathrm{a}} \)

\(\overrightarrow{a}\) को विलुप्त करते हुए

⇒.\(\lambda \overrightarrow{\mathrm{c}}-5 \overrightarrow{\mathrm{b}}=\frac{6}{\mu} \overrightarrow{\mathrm{c}}+\frac{1}{\mu} \overrightarrow{\mathrm{b}} \)

\(\therefore \mu=\frac{-1}{5}, \lambda=-30\)

\(\overrightarrow{a}\) + α\(\overrightarrow{b}\) + β\(\overrightarrow{c}\) = \(\overrightarrow{0}\)

⇒.α = 5, β = 30

α + β = 35

इसलिए विकल्प 1 सही है

धारणा:

यदि \(\vec a = {a_1}\hat i + {a_2}\hat j + {a_3}\hat k\;and\;\vec b = {b_1}\hat i + {b_2}\hat j + {b_3}\hat k\) तो \(\vec a \cdot \;\vec b = \left| {\vec a} \right| \times \left| {\vec b} \right|\cos \theta\)

गणना:

दिया हुआ: \(\vec a = 2\hat i - 6\hat j - 3\hat k\) और \(\vec b = 4\hat i + 3\hat j - \hat k\)

\(\left| {\vec a} \right| = 7,\;\left| {\vec b} \right| = \sqrt {26} \;and\;\vec a \cdot \;\vec b = - 7\)

\(\Rightarrow \;\cos \theta = \frac{{\vec a \cdot \;\vec b}}{{\left| {\vec a} \right| \times \left| {\vec b} \right|}} = \frac{{ - \;7}}{{7 \times \sqrt {26} }} = - \frac{1}{{\sqrt {26} }}\)

\( \Rightarrow \;{\sin ^2}\theta = 1 - {\cos ^2}\theta = 1 - \frac{1}{{26}} = \frac{{25}}{{26}}\)

संकल्पना:

माना कि \(\vec a\) और \(\vec b\) के बीच का कोण \(\rm \theta\) है। 

\(\rm \vec a.\vec b = 2ab cos\;\theta\)

गणना:

माना कि, \(\vec a\) और \(\vec b\)के बीच का कोण \(\rm \theta\) है। 

दिया गया है, \(\vec a + \vec b + \vec c = \vec 0 \)

⇒\(\vec a + \vec b = - \vec c \)

⇒\(\rm |\vec a + \vec b| = |- \vec c |\)

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

⇒\(\rm |\vec a + \vec b|^2 = |- \vec c |^2\)

⇒\(\rm |\vec a|^2 +2\;\vec a.\vec b+ |\vec b|^2 = |- \vec c |^2\)

⇒\(\rm |\vec a|^2 +|\vec b|^2+2\;ab\cos\;\theta = |- \vec c |^2\)

⇒\(\rm (3)|^2 +(5)^2+2\;(3)(5)\cos\;\theta = (7)^2\)

⇒\(\rm 30\cos\;\theta = 15\)

⇒\(\rm \cos\;\theta = \dfrac 12\)

⇒ \(\rm \theta\) = π / 3

अतः यदि \(\vec a + \vec b + \vec c = \vec 0,\;|\vec a| = 3,\;|\vec b| = 5\) और \(|\vec c| = 7\) तो \(\vec a\) और \(\vec b\)के बीच का कोण π / 3 है। 

धारणा:

• \({\left| {\vec a - \vec b} \right|^2} + \;{\left| {\vec a + \vec b} \right|^2} = \;2\; \times \;\left( {{{\left| {\vec a} \right|}^2} + \;{{\left| {\vec b} \right|}^2}} \right)\)

गणना:

दिया हुआ: \(|\vec a|\) = 3, \(\left| {\vec b} \right| = 4\) और \(\left| {\vec a - \vec b} \right| = 5,\)

हम जानते हैं कि,

\({\left| {\vec a - \vec b} \right|^2} + \;{\left| {\vec a + \vec b} \right|^2} = \;2\; \times \;\left( {{{\left| {\vec a} \right|}^2} + \;{{\left| {\vec b} \right|}^2}} \right)\)

\(\Rightarrow {5^2} + \;{\left| {\vec a + \vec b} \right|^2} = \;2\; \times \;\left( {{3^2} + \;{4^2}} \right)\)

\(\Rightarrow {\left| {\vec a + \vec b} \right|^2} = \;50 - 25 = 25\)

∴ \(\left| {\vec a + \vec b} \right| = 5\)

धारणा:

• \(\vec a\) और \(\vec b\) दो सदिश एक दूसरे के समानांतर हैं ⇔ \(\vec a \times \vec b = 0\)
• समानांतर सदिशों का क्रॉस गुणनफल शून्य हैं ⇔\(\vec a \times \vec a = 0,{\rm{\;}}\vec b \times \vec b = 0{\rm{\;and\;}}\vec c \times \vec c = 0\)
• एक क्रॉस या सदिश गुणनफल क्रमविनिमेयशील नहीं है ⇔ \(\vec a \times \vec b = - {\rm{\;}}\vec b \times \vec a\)

गणना:

हमें \(\left( {{\rm{\vec a}} - {\rm{\vec b}}} \right) \times \left( {{\rm{\vec a}} + {\rm{\vec b}}} \right)\) का मूल्य खोजना होगा

\(\Rightarrow \left( {{\rm{\vec a}} - {\rm{\vec b}}} \right) \times \left( {{\rm{\vec a}} + {\rm{\vec b}}} \right) = {\rm{\;\vec a\;}} \times {\rm{\;\vec a}} + {\rm{\;\vec a\;}} \times {\rm{\;\vec b}} - {\rm{\;\vec b\;}} \times {\rm{\;\vec a}} - {\rm{\;\vec b\;}} \times {\rm{\;\vec b}}\)

हम जानते हैं कि \({\rm{\vec a\;}} \times {\rm{\;\vec b}} = - {\rm{\;\vec b\;}} \times {\rm{\;\vec a}}\)

\(\Rightarrow \left( {{\rm{\vec a}} - {\rm{\vec b}}} \right) \times \left( {{\rm{\vec a}} + {\rm{\vec b}}} \right) = {\rm{\;}}0 + {\rm{\;\vec a\;}} \times {\rm{\;\vec b}} + {\rm{\;\vec a\;}} \times {\rm{\;\vec b}} - {\rm{\;}}0\)\(\because \left( {{\rm{\vec a\;}} \times {\rm{\;\vec a}} = \;{\rm{\vec b\;}} \times {\rm{\;\vec b}} = 0} \right)\) 

\(\Rightarrow \left( {{\rm{\vec a}} - {\rm{\vec b}}} \right) \times \left( {{\rm{\vec a}} + {\rm{\vec b}}} \right) = {\rm{\;}}2\;\left( {{\rm{\;\vec a\;}} \times {\rm{\;\vec b}}} \right)\)

∴ विकल्प 3 सही है।

अवधारणा:

यदि सदिश \(\rm \vec a\;and\;\vec b\) लंबवत हैं तो \(\rm \vec a \cdot \;\vec b = 0\)

गणना:

दिया हुआ: \(\rm 2\hat i - 5\hat j - \hat k\) and \(\rm -\hat i + 4 \hat j + λ\hat k\) लंबवत हैं

माना कि \(\rm \vec a = 2\hat i - 5\hat j - \hat k\) और \(\rm \vec b = -\hat i + 4 \hat j + λ\hat k\)

हम जानते हैं कि यदि सदिश \(\rm \vec a\;and\;\vec b\) लंबवत हैं तो \(\rm \vec a \cdot \;\vec b = 0\)

\(\rm \vec a \cdot \vec b = ( 2\hat i - 5\hat j - \hat k) \cdot (-\hat i + 4 \hat j + λ\hat k) = 0\)

⇒ -2 - 20 - λ = 0 

⇒ -22 - λ = 0 

∴ λ = -22

धारणा:

वैक्टर का अदिश त्रिक गुणनफल:

निम्न वैक्टर का अदिश त्रिक गुणनफल \({\rm{\bar A}} = {{\rm{x}}_1}\hat i + \;{y_1}\hat j + {\rm{\;}}{{\rm{z}}_1}\hat k,\;\bar B = \;{x_2}\hat i + \;{y_2}\hat j + {z_2}\hat k\) और \({\rm{\bar C}} = {\rm{\;}}{{\rm{x}}_3}\hat i + \;{y_3}\hat j + {\rm{\;}}{{\rm{z}}_3}\hat k\) इसके द्वारा दिया जाता है:

समतलीय वेक्टर:

तीन वेक्टर \({\rm{\bar A}} = {{\rm{x}}_1}\hat i + \;{y_1}\hat j + {\rm{\;}}{{\rm{z}}_1}\hat k,\;\bar B = \;{x_2}\hat i + \;{y_2}\hat j + {z_2}\hat k\) और \({\rm{\bar C}} = {\rm{\;}}{{\rm{x}}_3}\hat i + \;{y_3}\hat j + {\rm{\;}}{{\rm{z}}_3}\hat k\) समतलीय कहे जाते हैं अगर अदिश त्रिक गुणनफल \({\bf{\bar A}} \cdot \left[ {{\bf{\bar B}} \times {\bf{\bar C}}} \right] = 0.\) है

समाधान:

माना कि दिए गए वैक्टर \({\rm{\bar A}} = {\rm{a}}\hat i + \;\hat j + {\rm{\;}}\hat k,\;\bar B = \;\hat i + \;b\hat j + \hat k\) और \({\rm{\bar C}} = {\rm{\;}}\hat i + \;\hat j + {\rm{c}}\hat k\) है।

यह दिया गया है कि वैक्टर समतलीय हैं इसलिए अदिश त्रिक गुणनफल \({\rm{\bar A}} \cdot \left[ {{\rm{\bar B}} \times {\rm{\bar C}}} \right] = 0.\) है

अतः,

\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\rm{a}}&1&1\\ 1&{\rm{b}}&1\\ 1&1&{\rm{c}} \end{array}} \right| = 0\)

स्तंभ सञ्चालन C1 – C2 निम्नानुसार करें:

\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{a}} - 1}&1&1\\ {1 - {\rm{b}}}&{\rm{b}}&1\\ 0&1&{\rm{c}} \end{array}} \right| = 0\)

अब एक और स्तंभ सञ्चालन C2 – C3 इस प्रकार करें:

\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{a}} - 1}&0&1\\ {1 - {\rm{b}}}&{{\rm{b}} - 1}&1\\ 0&{1 - {\rm{c}}}&{\rm{c}} \end{array}} \right| = 0\)

(1 - a)(1 - b)(1 - c) उभयनिष्ठ लें। ध्यान दें कि यह दिया गया है कि a,b,c ≠ 0 इसलिए यह कार्रवाई उचित है।

\(\left( {1 - {\rm{a}}} \right)\left( {1 - {\rm{b}}} \right)\left( {1 - {\rm{c}}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&0&{\frac{1}{{1 - {\rm{a}}}}}\\ 1&{ - 1}&{\frac{1}{{1 - {\rm{b}}}}}\\ 0&1&{\frac{{\rm{c}}}{{1 - {\rm{c}}}}} \end{array}} \right| = 0\)

चूँकि a, b, c ≠ 0 इसलिए (1 - a)(1 - b)(1 - c) ≠ 0। इसलिए सारणिक को शून्य होना होगा।

\( - 1\left( {\frac{{\rm-{c}}}{{1 - {\rm{c}}}} - {\rm{}}\frac{1}{{1 - {\rm{b}}}}} \right) + {\rm{\;}}\frac{1}{{1 - {\rm{a}}}} = 0\)

\(\frac{1}{{1 - {\rm{b}}}} + {\rm{\;}}\frac{{\rm{c}}}{{1 - {\rm{c}}}} + {\rm{\;}}\frac{1}{{1 - {\rm{a}}}} = 0\)

उपरोक्त अभिव्यक्ति को निम्नानुसार सरल करें:

\(\frac{1}{{1 - {\rm{b}}}} + {\rm{\;}}\frac{1}{{1 - {\rm{c}}}} - {\rm{\;}}1 + {\rm{\;}}\frac{1}{{1 - {\rm{a}}}} = 0\)

\(\frac{1}{{1 - {\rm{b}}}} + {\rm{\;}}\frac{1}{{1 - {\rm{c}}}} + {\rm{\;}}\frac{1}{{1 - {\rm{a}}}} = 1\)

संकल्पना:

• यदि a, b, c समतलीय हैं तो [a b c] = 0
• तीन वैक्टर को एक ही चक्रीय क्रम में क्रमसंचयित किया जाता है, अदिश त्रिक गुणनफल का मूल्य समान रहता है। ⇒ [a b c] = [b c a] = [c a b]

गणना:

यहाँ, a, b, c गैर  समतलीय हैं

खोजना है: 2 [a b c] + [b a c] =?

⇒ 2[a b c] + [b a c] 

= 2 [a, b, c] - [a, b, c]                (∵ [b a c] = -[a b c])

= [a, b, c] 

इसलिए, विकल्प (2) सही है।

संकल्पना:

यदि सदिश a और b आयतीय है, तो \(\rm \vec a.\vec b=0\) है। 

गणना:

यहाँ, \(\rm |\vec a+\vec b|=|\vec a-\vec b|\)

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर हमें निम्न प्राप्त होता है,

\(\rm |\vec a|^2 + |\vec b|^2 + 2 \vec a.\vec b=|\vec a|^2 + |\vec b|^2 - 2 \vec a.\vec b\)

⇒4\(\rm \vec a.\vec b\)= 0

⇒\(\rm \vec a.\vec b\)= 0

इसलिए, सदिश a और b आयतीय हैं। 

चूँकि हम जानते हैं कि, यदि \(\rm \vec a.\vec b = 0\) है, तो \(\rm \vec a \times \vec b \ne 0\) है। 

इसलिए, केवल (1) सही है। 

अतः विकल्प (1) सही है। 

धारणा:

सदिश जोड़ के त्रिभुज नियम में कहा गया है कि जब दो सदिशों को परिमाण और दिशा के क्रम के साथ त्रिभुज के दो पक्षों के रूप में दर्शाया जाता है तो त्रिभुज का तीसरा पक्ष परिणामी सदिश के परिमाण और दिशा का प्रतिनिधित्व करता है।

उपरोक्त कथन से

\(\overrightarrow {{\rm{AB}}} + \overrightarrow {{\rm{BC}}} = \overrightarrow {{\rm{AC}}} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {{\rm{AB}}} + \overrightarrow {{\rm{BC}}} = - \overrightarrow {{\rm{CA}}} \)

\(\therefore \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} = \vec 0\)

केवल कथन (1) सही है

अवधारणा:

दो सदिश \(\vec a \ और \ \vec b \) का अन्योन्य गुणनफल निम्न द्वारा दिया जाता है \(\vec a \times \vec b = \left| {\vec a} \right| \cdot \left| {\vec b} \right|\sin θ \;\hat n\) और \(|\vec a \times \vec b| = \left| {\vec a} \right| \cdot \left| {\vec b} \right|\sin θ \;\)

दो सदिश \(\vec a \ और \ \vec b \) का अदिश गुणनफल निम्न द्वारा दिया जाता है  \(\vec a \cdot \;\vec b = \left| {\vec a} \right| \times \left| {\vec b} \right|\cos θ \)

यदि \(\vec a\) एक इकाई सदिश है तो \(|\vec a| = 1\)

गणना:

कथन 1: दो इकाई सदिश का अन्योन्य गुणनफल हमेशा एक इकाई सदिश होता है।

मान लीजिए \(\vec a\) और \(\vec b\) दो इकाई सदिश हैं।

यानी \(|\vec a| = 1 \ और \ |\vec b| = 1\)

जैसा कि हम जानते हैं कि, दो सदिश \(\vec a \ और \ \vec b \)का अन्योन्य गुणनफल  \(\vec a \times \vec b = \left| {\vec a} \right| \cdot \left| {\vec b} \right|\sin θ \;\hat n\) और \(|\vec a \times \vec b| = \left| {\vec a} \right| \cdot \left| {\vec b} \right|\sin θ \;\) द्वारा दिया जाता है

⇒ \(|\vec a \times \vec b| = \left| {\vec a} \right| \cdot \left| {\vec b} \right|\sin θ \; = sin θ \)

sin θ की सीमा [-1, 1] है 

इसलिए, यह जरूरी नहीं है कि दो इकाई सदिश का अन्योन्य गुणनफल  हमेशा एक इकाई सदिश होता है।

अत: कथन 1 असत्य है।

कथन 2: दो इकाई सदिशों का डॉट गुणनफल सदैव एकल होता है।

माना \(\vec a\) और \(\vec b\) दो इकाई सदिश हैं।

यानी \(|\vec a| = 1 \ और \ |\vec b| = 1\)

जैसा कि हम जानते हैं कि, दो सदिश \(\vec a \ और \ \vec b \) का अदिश गुणनफल \(\vec a \cdot \;\vec b = \left| {\vec a} \right| \times \left| {\vec b} \right|\cos θ \) द्वारा दिया जाता है

⇒ \(|\vec a \cdot \;\vec b |= cos \ θ \)

cos θ की सीमा [-1, 1] है।

इसलिए, यह आवश्यक नहीं है कि दो इकाई सदिशों का डॉट गुणनफल हमेशा एक इकाई सदिश होता है।

अत: कथन 2 असत्य है।

कथन 3: दो इकाई सदिशों के योग का परिमाण हमेशा उनके अंतर के परिमाण से अधिक होता है।

माना \(\vec a \ = \hat i \ और \ \ \vec b = \hat j\)

जैसा कि हम देख सकते हैं कि सदिश \(\vec a\) और \(\vec b\) दो इकाई सदिश हैं

⇒ \(|\hat i + \hat j| = \sqrt 2\) और \(|\hat i - \hat j| = \sqrt 2\)

⇒ \(|\vec a + \vec b| = |\vec a - \vec b|\)

अत: कथन 3 भी असत्य है।

अत: सही विकल्प 4 है।