Vector Algebra MCQ Quiz in বাংলা - Objective Question with Answer for Vector Algebra - বিনামূল্যে ডাউনলোড করুন [PDF]

গণনা

A বিন্দুটিকে মূলবিন্দু (0,0) ধরা যাক।

তাহলে \(\vec {AB}= 3\hat i + 4\hat k\) এবং \(AC = 5\hat i - 2\hat j + 4\hat k\) স্থান ভেক্টর হবে।

তাহলে B বিন্দুর স্থানাঙ্ক হবে \((3,0,4)\) এবং C বিন্দুর স্থানাঙ্ক হবে \((5,-2,4)\)।

দুটি বিন্দুর মধ্যবিন্দুর সূত্র ব্যবহার করে BC-এর মধ্যবিন্দু D-এর স্থানাঙ্ক পাওয়া যায় \(D(4,-1,4)\)।

তাহলে \(A\) বিন্দুগামী মধ্যমার দৈর্ঘ্য হবে

\(AD=\sqrt{(4-0)^2+(-1-0)^2+(4-0)^2}\) \(=\sqrt{33}\)

অতএব, বিকল্প 2 সঠিক।

ধারণা:

• ভেক্টর \(\vec q\) এর উপর \(\vec p\) এর প্রক্ষেপণ হল \(\rm\frac{\vec p\cdot \vec q}{|\vec q|}\)

গণনা:

প্রদত্ত \(\vec{\text{p}}=2\vec{\text{i}}−3\vec{\text{j}}+\vec{\text{k}},\vec{\text{q}}=\vec{\text{i}}+\vec{\text{j}}−\vec{\text{k}}\)

⇒ \(\rm \vec{p}\cdot\vec{q}=(2\vec{\text{i}}−3\vec{\text{j}}+\vec{\text{k}})\cdot(\vec{\text{i}}+\vec{\text{j}}−\vec{\text{k}})\)

⇒ \(\rm\vec{p}\cdot \vec{q}=2-3-1\)

⇒ \(\rm\vec{p}\cdot \vec{q}=-2\)

এখন \(\rm|p|=\sqrt{2^2+(-3)^2+1^2}=\sqrt{14}\)

এবং \(\rm|q|=\sqrt{1^2+1^2+(-1)^2}=\sqrt{3}\)

প্রদত্ত ভেক্টর \(\vec{\text{a}}\) এবং \(\vec{\text{b}}\) যথাক্রমে \(\vec{\text{q}}\) এর উপর \(\vec{\text{p}}\) এবং \(\vec{\text{p}}\) এর উপর \(\vec{\text{q}}\) এর লম্ব প্রক্ষেপণ

∴ \(\rm\vec{a}=\frac{\vec p\cdot \vec q}{|\vec q|^2}\vec q\)

⇒ \(\rm\vec{a}=\frac{-2}{3}(\vec{i}+\vec{j}-\vec{k})\)

এবং \(\rm\vec{b}=\frac{\vec{q}\cdot \vec{p}}{|p|^2}\vec{p}\)

⇒ \(\rm\vec{b}=\frac{-2}{14}(2\vec{i}-3\vec{j}+\vec{k})\)

এখন \(\rm \vec{a}\times\vec{b}=\frac{-2}{3}(\vec{i}+\vec{j}-\vec{k})\times \frac{-2}{14}(2\vec{i}-3\vec{j}+\vec{k})\)

⇒ \(\rm\vec{a}\times\vec{b}=\frac{2}{21}\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\1&1&-1\\2&-3&1\end{vmatrix}\)

⇒ \(\rm\vec{a}\times\vec{b}=\frac{2}{21}(-2\vec{i}-3\vec{j}-5\vec{k})\)

এখন \(\rm \vec{a}\cdot\vec{b}=\frac{-2}{3}(\vec{i}+\vec{j}-\vec{k})\cdot \frac{-2}{14}(2\vec{i}-3\vec{j}+\vec{k})\)

⇒ \(\rm\frac{2}{21}(2-3-1)\)

⇒ \(\rm\frac{-4}{21}\)

∴ \(\rm\frac{\vec{\text{a}} \times \vec{\text{b}}}{\vec{\text{a}} \cdot \vec{\text{b}}}=\frac{\frac{2}{21}(-2\vec{i}-3\vec{j}-5\vec{k})}{\frac{-4}{21}}\)

⇒ \(\rm\frac{\vec{\text{a}} \times \vec{\text{b}}}{\vec{\text{a}} \cdot \vec{\text{b}}}=\frac{2\vec{i}+3\vec{j}+5\vec{k}}{2}\)

প্রয়োজনীয় মান হল \(\rm\frac{\vec{\text{a}} \times \vec{\text{b}}}{\vec{\text{a}} \cdot \vec{\text{b}}}=\frac{2\vec{i}+3\vec{j}+5\vec{k}}{2}\)

ধারণা:

দুটি ভেক্টর \(\overrightarrow{A}\) এবং \(\overrightarrow{B}\) পরস্পর লম্ব হবে যদি এবং কেবলমাত্র যদি তাদের ডট গুণফল শূন্য হয়।

\(\overrightarrow{A}.\overrightarrow{B}=0\)

সমাধান:

প্রদত্ত: \(\overrightarrow{a}= 2\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}\) , \(\overrightarrow{b}= -\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(\overrightarrow{c}= 3\hat{i}+\hat{j}\)

তাহলে, \(\overrightarrow{a}+λ \overrightarrow{b} \) \(= (2\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k})+λ (-\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k})\)

\(= (2-λ )\hat{i}+(2+2λ )\hat{j}+(3+λ )\hat{k}\)

প্রদত্ত যে, \(\overrightarrow{a}+λ \overrightarrow{b}\) , \(\overrightarrow{c}\) এর উপর লম্ব।

তাহলে, \((\overrightarrow{a}+λ \overrightarrow{b}).\overrightarrow{c}=0\)

⇒ \([(2-λ )\hat{i}+(2+2λ )\hat{j}+(3+λ )\hat{k}].(3\hat{i}+\hat{j}) =0 \)

⇒ 3(2 - λ ) + (2 + 2λ ) = 0

⇒ 6 - 3λ + 2 + 2λ = 0

⇒ 8 - λ = 0

⇒ λ = 8

∴ সঠিক উত্তরটি হল বিকল্প (2)

ধারণা:

\(\rm \vec{b}\) এর দিকে \(\rm \vec{a}\) এর অভিক্ষেপ = \(\rm\dfrac {1}{|\vec b|}(\vec a.\vec b)\) 

গণনা:

প্রদত্ত, \(\rm \vec{a} \ and \ \vec{b} \ is \ \dfrac{2\pi}{3}\) এবং \(\vec{a}\) এর অভিক্ষেপের দিক থেকে \(\vec{b}\) হল -2

আমরা জানি যে,

⇒ - 2 = \(\rm\dfrac {1}{|\vec b|}(|\vec a||\vec b|\;cos\;\dfrac {2\pi}{3})\)

⇒ - 2 = \(\rm |\vec a|\;cos\;\dfrac {2\pi}{3}\)

⇒ - 2 = \(\rm |\vec a|\;(\dfrac {-1}{2})\)

⇒ \(\rm |\vec a| = 4\)

তাই, যদি \(\rm \vec{a} \ and \ \vec{b} \ is \ \dfrac{2\pi}{3}\) এবং \(\vec{b}\) এর দিকে \(\vec{a}\) এর অভিক্ষেপ -2 হয়, তাহলে \(|\vec{a}|=\) 4

অনুসৃত ধারণা:

একক ভেক্টর সমান্তরাল \(\vec{a}=\hat{a}=\frac{\vec{a}}{\left |\vec{a} \right |}\)

গণনা:

ধরুন \(\vec{a}\) = -2î + 3ĵ

\(\Rightarrow \left | \vec{a} \right |=\sqrt{(-2)^2+3^2}=\sqrt{13}\)

∴ একক ভেক্টর সমান্তরাল \(\vec{a}=\hat{a}=\frac{\vec{a}}{\left |\vec{a} \right |}\)

\(\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{13}}(-2\hat{i}+3\hat{j})\)

\(\Rightarrow \frac{-2\hat{i}}{\sqrt{13}}+\frac{3\hat{j}}{\sqrt{13}}\)

প্রশ্নানুসারে, ভেক্টর \({\rm{\vec a\;and\;\vec b}}\) পরস্পর সমরেখ নয়।

তাহলে, আমরা লিখতে পারি,

\(\Rightarrow {\rm{\vec a}} \neq \lambda {\rm{\vec b}}\)

কোনও অ-শূন্য স্কেলার λ এর জন্য।

প্রশ্নানুসারে,

\(\vec \alpha = \left( {\lambda - 2} \right){\rm{\vec a}} + {\rm{\vec b}}\)

\(\vec \beta = \left( {4\lambda - 2} \right)\vec a + 3\vec b\)

তাহলে, আমরা লিখতে পারি,

\(\vec \alpha = k\vec \beta \) যেখানে k ∈ R -{0}

মান বসিয়ে,

\(\Rightarrow \left( {\lambda - 2} \right){\rm{\vec a}} + {\rm{\vec b}} = k\left[ {\left( {4\lambda - 2} \right)\vec a + 3\vec b} \right]\)

\(\Rightarrow \left[ {\left( {\lambda - 2} \right) - k\left( {4\lambda - 2} \right)} \right]{\rm{a}} + \left( {1 - 3k} \right){\rm{b}} = 0\)

প্রশ্নানুসারে, যেহেতু \({\rm{\vec a\;and\;\vec b}}\) পরস্পর সমরেখ নয়, তাই এরা রৈখিকভাবে স্বাধীন।

⇒ (λ - 2) - k(4λ - 2) = 0 এবং (1 - 3k) = 0

এখন,

⇒ 1 = 3k

\(\therefore k = \frac{1}{3}\)

‘k’ এর মান অন্য সমীকরণে বসিয়ে,

\(\Rightarrow \left( {\lambda - 2} \right) - \frac{1}{3}\left( {4\lambda - 2} \right) = 0\)

⇒ 3λ - 6 = 4λ - 2

ধারণা:

তিনটি ভেক্টর  \(\rm \vec A\), \(\rm \vec B\) এবং \(\rm \vec C\) কে একতলীয় হতে হলে, তাদের দ্বারা গঠিত সমান্তরাল নলের আয়তন অবশ্যই 0 হতে হবে। অর্থাৎ \(\rm [\vec A\ \vec B\ \vec C]\) = 0

গণনা:

ধরি, তিনটি ভেক্টর হল  \(\rm \vec A=2\hat i - \hat j + \hat k\), \(\rm \vec B=\hat i +2 \hat j -3 \hat k\) এবং \(\rm \vec C=3\hat i +a \hat j + 5\hat k\). , এবং . তিনটি ভেক্টরকে একতলীয় হতে হলে, তাদের বক্স গুণফল 0 হতে হবে।

⇒ \(\rm [\vec A\ \vec B\ \vec C]=0\)

⇒ \(\rm \begin{vmatrix} 2& -1 &\ \ \ 1 \\ \rm 1 &\ \ \ 2 & -3 \\ \rm 3 &\ \ \ a & \ \ \ 5 \end{vmatrix}=0\)

⇒ 2[(2)(5) - (-3)(a)] + (-1)[(-3)(3) - (1)(5)] + 1[(1)(a) - (2)(3)] = 0

⇒ 2(10 + 3a) + (9 + 5) + (a - 6) = 0

⇒ 20 + 6a + 8 + a = 0

⇒ 7a = -28

⇒ a = -4

Additional Information

ধারণা:

I. যদি একটি কণা A বিন্দু থেকে B বিন্দুতে \(\vec F\) বলের প্রভাবে স্থানান্তরিত হয়। তাহলে A থেকে B বিন্দুতে কণাটিকে স্থানান্তর করার কাজ হলো: \(W = \;\vec F \cdot \vec d\)

II. যদি \(\vec a = {a_1}\hat i + {a_2}\hat j + {a_3}\hat k\;এবং\;\vec b = {b_1}\hat i + {b_2}\hat j + {b_3}\hat k\) হয় তাহলে \(\vec a \cdot \;\vec b = {a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + {a_3}{b_3}\)

গণনা:

প্রদত্ত: কণাটি A = (1, 2, -3) বিন্দু থেকে B = (2, 0, -5) বিন্দুতে \(\vec F = \;2\hat i - 3\hat j + \hat k\) বলের প্রভাবে স্থানান্তরিত হয়।

সুতরাং, কণাটির সরণ হলো:

\(\vec d = \;\overrightarrow {AB} = \left( {2\hat i + 0\hat j - 5\hat k} \right) - \left( {\hat i + 2\hat j - 3\hat k} \right) = \;\hat i - 2\hat j - 2\hat k\)

আমরা জানি যে, যদি একটি কণা A বিন্দু থেকে B বিন্দুতে \(\vec F\) বলের প্রভাবে স্থানান্তরিত হয়। তাহলে A থেকে B বিন্দুতে কণাটিকে স্থানান্তর করার কাজ হলো: \(W = \;\vec F \cdot \vec d\)

\(W = \;\vec F \cdot \vec d = \left( {\;2\hat i - 3\hat j + \hat k} \right) \cdot \left( {\;\hat i - 2\hat j - 2\hat k} \right) = 2 + 6 - 2 = 6\;units\)

অতএব, C বিকল্প সঠিক উত্তর।

ধারণা:

\(\rm \vec{b}\) এর দিকে \(\rm \vec{a}\) এর অভিক্ষেপ = \(\rm\dfrac {1}{|\vec b|}(\vec a.\vec b)\) 

গণনা:

প্রদত্ত, \(\rm \vec{a} \ and \ \vec{b} \ is \ \dfrac{2\pi}{3}\) এবং \(\vec{a}\) এর অভিক্ষেপের দিক থেকে \(\vec{b}\) হল -2

আমরা জানি যে,

⇒ - 2 = \(\rm\dfrac {1}{|\vec b|}(|\vec a||\vec b|\;cos\;\dfrac {2\pi}{3})\)

⇒ - 2 = \(\rm |\vec a|\;cos\;\dfrac {2\pi}{3}\)

⇒ - 2 = \(\rm |\vec a|\;(\dfrac {-1}{2})\)

⇒ \(\rm |\vec a| = 4\)

তাই, যদি \(\rm \vec{a} \ and \ \vec{b} \ is \ \dfrac{2\pi}{3}\) এবং \(\vec{b}\) এর দিকে \(\vec{a}\) এর অভিক্ষেপ -2 হয়, তাহলে \(|\vec{a}|=\) 4

ধারণা:

দুটি ভেক্টর \(\overrightarrow{A}\) এবং \(\overrightarrow{B}\) পরস্পর লম্ব হবে যদি এবং কেবলমাত্র যদি তাদের ডট গুণফল শূন্য হয়।

\(\overrightarrow{A}.\overrightarrow{B}=0\)

সমাধান:

প্রদত্ত: \(\overrightarrow{a}= 2\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}\) , \(\overrightarrow{b}= -\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(\overrightarrow{c}= 3\hat{i}+\hat{j}\)

তাহলে, \(\overrightarrow{a}+λ \overrightarrow{b} \) \(= (2\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k})+λ (-\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k})\)

\(= (2-λ )\hat{i}+(2+2λ )\hat{j}+(3+λ )\hat{k}\)

প্রদত্ত যে, \(\overrightarrow{a}+λ \overrightarrow{b}\) , \(\overrightarrow{c}\) এর উপর লম্ব।

তাহলে, \((\overrightarrow{a}+λ \overrightarrow{b}).\overrightarrow{c}=0\)

⇒ \([(2-λ )\hat{i}+(2+2λ )\hat{j}+(3+λ )\hat{k}].(3\hat{i}+\hat{j}) =0 \)

⇒ 3(2 - λ ) + (2 + 2λ ) = 0

⇒ 6 - 3λ + 2 + 2λ = 0

⇒ 8 - λ = 0

⇒ λ = 8

∴ সঠিক উত্তরটি হল বিকল্প (2)

অনুসৃত ধারণা:

একক ভেক্টর সমান্তরাল \(\vec{a}=\hat{a}=\frac{\vec{a}}{\left |\vec{a} \right |}\)

গণনা:

ধরুন \(\vec{a}\) = -2î + 3ĵ

\(\Rightarrow \left | \vec{a} \right |=\sqrt{(-2)^2+3^2}=\sqrt{13}\)

∴ একক ভেক্টর সমান্তরাল \(\vec{a}=\hat{a}=\frac{\vec{a}}{\left |\vec{a} \right |}\)

\(\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{13}}(-2\hat{i}+3\hat{j})\)

\(\Rightarrow \frac{-2\hat{i}}{\sqrt{13}}+\frac{3\hat{j}}{\sqrt{13}}\)

প্রশ্নানুসারে, ভেক্টর \({\rm{\vec a\;and\;\vec b}}\) পরস্পর সমরেখ নয়।

তাহলে, আমরা লিখতে পারি,

\(\Rightarrow {\rm{\vec a}} \neq \lambda {\rm{\vec b}}\)

কোনও অ-শূন্য স্কেলার λ এর জন্য।

প্রশ্নানুসারে,

\(\vec \alpha = \left( {\lambda - 2} \right){\rm{\vec a}} + {\rm{\vec b}}\)

\(\vec \beta = \left( {4\lambda - 2} \right)\vec a + 3\vec b\)

তাহলে, আমরা লিখতে পারি,

\(\vec \alpha = k\vec \beta \) যেখানে k ∈ R -{0}

মান বসিয়ে,

\(\Rightarrow \left( {\lambda - 2} \right){\rm{\vec a}} + {\rm{\vec b}} = k\left[ {\left( {4\lambda - 2} \right)\vec a + 3\vec b} \right]\)

\(\Rightarrow \left[ {\left( {\lambda - 2} \right) - k\left( {4\lambda - 2} \right)} \right]{\rm{a}} + \left( {1 - 3k} \right){\rm{b}} = 0\)

প্রশ্নানুসারে, যেহেতু \({\rm{\vec a\;and\;\vec b}}\) পরস্পর সমরেখ নয়, তাই এরা রৈখিকভাবে স্বাধীন।

⇒ (λ - 2) - k(4λ - 2) = 0 এবং (1 - 3k) = 0

এখন,

⇒ 1 = 3k

\(\therefore k = \frac{1}{3}\)

‘k’ এর মান অন্য সমীকরণে বসিয়ে,

\(\Rightarrow \left( {\lambda - 2} \right) - \frac{1}{3}\left( {4\lambda - 2} \right) = 0\)

⇒ 3λ - 6 = 4λ - 2

ধারণা:

• ভেক্টর \(\vec q\) এর উপর \(\vec p\) এর প্রক্ষেপণ হল \(\rm\frac{\vec p\cdot \vec q}{|\vec q|}\)

গণনা:

প্রদত্ত \(\vec{\text{p}}=2\vec{\text{i}}−3\vec{\text{j}}+\vec{\text{k}},\vec{\text{q}}=\vec{\text{i}}+\vec{\text{j}}−\vec{\text{k}}\)

⇒ \(\rm \vec{p}\cdot\vec{q}=(2\vec{\text{i}}−3\vec{\text{j}}+\vec{\text{k}})\cdot(\vec{\text{i}}+\vec{\text{j}}−\vec{\text{k}})\)

⇒ \(\rm\vec{p}\cdot \vec{q}=2-3-1\)

⇒ \(\rm\vec{p}\cdot \vec{q}=-2\)

এখন \(\rm|p|=\sqrt{2^2+(-3)^2+1^2}=\sqrt{14}\)

এবং \(\rm|q|=\sqrt{1^2+1^2+(-1)^2}=\sqrt{3}\)

প্রদত্ত ভেক্টর \(\vec{\text{a}}\) এবং \(\vec{\text{b}}\) যথাক্রমে \(\vec{\text{q}}\) এর উপর \(\vec{\text{p}}\) এবং \(\vec{\text{p}}\) এর উপর \(\vec{\text{q}}\) এর লম্ব প্রক্ষেপণ

∴ \(\rm\vec{a}=\frac{\vec p\cdot \vec q}{|\vec q|^2}\vec q\)

⇒ \(\rm\vec{a}=\frac{-2}{3}(\vec{i}+\vec{j}-\vec{k})\)

এবং \(\rm\vec{b}=\frac{\vec{q}\cdot \vec{p}}{|p|^2}\vec{p}\)

⇒ \(\rm\vec{b}=\frac{-2}{14}(2\vec{i}-3\vec{j}+\vec{k})\)

এখন \(\rm \vec{a}\times\vec{b}=\frac{-2}{3}(\vec{i}+\vec{j}-\vec{k})\times \frac{-2}{14}(2\vec{i}-3\vec{j}+\vec{k})\)

⇒ \(\rm\vec{a}\times\vec{b}=\frac{2}{21}\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\1&1&-1\\2&-3&1\end{vmatrix}\)

⇒ \(\rm\vec{a}\times\vec{b}=\frac{2}{21}(-2\vec{i}-3\vec{j}-5\vec{k})\)

এখন \(\rm \vec{a}\cdot\vec{b}=\frac{-2}{3}(\vec{i}+\vec{j}-\vec{k})\cdot \frac{-2}{14}(2\vec{i}-3\vec{j}+\vec{k})\)

⇒ \(\rm\frac{2}{21}(2-3-1)\)

⇒ \(\rm\frac{-4}{21}\)

∴ \(\rm\frac{\vec{\text{a}} \times \vec{\text{b}}}{\vec{\text{a}} \cdot \vec{\text{b}}}=\frac{\frac{2}{21}(-2\vec{i}-3\vec{j}-5\vec{k})}{\frac{-4}{21}}\)

⇒ \(\rm\frac{\vec{\text{a}} \times \vec{\text{b}}}{\vec{\text{a}} \cdot \vec{\text{b}}}=\frac{2\vec{i}+3\vec{j}+5\vec{k}}{2}\)

প্রয়োজনীয় মান হল \(\rm\frac{\vec{\text{a}} \times \vec{\text{b}}}{\vec{\text{a}} \cdot \vec{\text{b}}}=\frac{2\vec{i}+3\vec{j}+5\vec{k}}{2}\)