ধরা যাক \(\vec \alpha = \left( {\lambda - 2} \right){\rm{\vec a}} + {\rm{\vec b\;and\;}}\vec \beta = \left( {4\lambda - 2} \right)\vec a + 3\vec b\) দুটি ভেক্টর যেখানে ভেক্টর \({\rm{\vec a\;and\;\vec b}}\) পরস্পর সমরেখ নয়। \(\vec \alpha {\rm{\;and\;}}\vec \beta \) ভেক্টর দুটি সমরেখ হওয়ার জন্য λ এর মান হবে:

Question

Question

This question was previously asked in

JEE Mains Previous Paper 1 (Held On: 10 Jan 2019 Shift 2)

Answer 1

প্রশ্নানুসারে, ভেক্টর \({\rm{\vec a\;and\;\vec b}}\) পরস্পর সমরেখ নয়।

তাহলে, আমরা লিখতে পারি,

\(\Rightarrow {\rm{\vec a}} \neq \lambda {\rm{\vec b}}\)

কোনও অ-শূন্য স্কেলার λ এর জন্য।

প্রশ্নানুসারে,

\(\vec \alpha = \left( {\lambda - 2} \right){\rm{\vec a}} + {\rm{\vec b}}\)

\(\vec \beta = \left( {4\lambda - 2} \right)\vec a + 3\vec b\)

তাহলে, আমরা লিখতে পারি,

\(\vec \alpha = k\vec \beta \) যেখানে k ∈ R -{0}

মান বসিয়ে,

\(\Rightarrow \left( {\lambda - 2} \right){\rm{\vec a}} + {\rm{\vec b}} = k\left[ {\left( {4\lambda - 2} \right)\vec a + 3\vec b} \right]\)

\(\Rightarrow \left[ {\left( {\lambda - 2} \right) - k\left( {4\lambda - 2} \right)} \right]{\rm{a}} + \left( {1 - 3k} \right){\rm{b}} = 0\)

প্রশ্নানুসারে, যেহেতু \({\rm{\vec a\;and\;\vec b}}\) পরস্পর সমরেখ নয়, তাই এরা রৈখিকভাবে স্বাধীন।

⇒ (λ - 2) - k(4λ - 2) = 0 এবং (1 - 3k) = 0

এখন,

⇒ 1 = 3k

\(\therefore k = \frac{1}{3}\)

‘k’ এর মান অন্য সমীকরণে বসিয়ে,

\(\Rightarrow \left( {\lambda - 2} \right) - \frac{1}{3}\left( {4\lambda - 2} \right) = 0\)

⇒ 3λ - 6 = 4λ - 2

∴ λ = -4