\(\mathop \smallint \limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} x\sin x\;dx\) किसके बराबर है?

संकल्पना:

विषम और सम फलन:

यदि एक फलन f(x) इस प्रकार है जिससे f(-x) = f(x) है, तो f(x) एक सम फलन और यदि f(-x) = -f(x) है, तो f(x) एक विषम फलन है। 

विषम और सम फलन का समाकलन:

निम्नलिखित दो स्थितियां एक अवकलनीय फलन f(x) के लिए सत्य है। 

यदि f(x) एक सम फलन है, तो \( \rm \displaystyle\int_{-a}^{a}f(x)dx = 2\int_{0}^{a}f(x)dx\) है। 

यदि f(x) एक विषम फलन है, तो \(\rm \displaystyle\int_{-a}^{a}f(x)dx = 0\) है। 

गणना:

माना कि \(\rm f(x) = x\sin x\) है, x के बजाय -x रखते हैं, तो हमें निम्न प्राप्त होता है। 

\(\rm f(-x) = (-x)\sin(-x) = x\sin x\).

इसलिए, f(-x) = f(x) का अर्थ है कि (x) एक सम फलन है। 

इसलिए, समाकल निम्न दिया गया है,

\(\rm \begin{align*} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}x\sin x dx &= 2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x\sin x dx\\ &= 2\left[x(-\cos x) - \int(-\cos xdx)\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}\\ &= 2\left[-x\cos x + \sin x\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}\\ &= 2\left[\left(-\dfrac{\pi}{2}\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right) + \sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\right)-\left(-0\cos 0+\sin 0\right)\right]\\ &= 2 \end{align*}\)

अतः दिए गए समाकल का मान 2 है।