मान लीजिए f : R → R, \(\rm f(x)=\left\{\begin{matrix} \rm x+2 &\rm if\ x<0 \\ \rm |x-2| &\rm if \ x\geq0 \end{matrix}\right.\) द्वारा परिभाषित है। तो \(\rm \int_{-2}^{\ \ 3} f(x)\ dx\) ज्ञात कीजिए।

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NIMCET 2018 Official Paper

Answer 1

संकल्पना:

निश्चित समाकल: यदि ∫ f(x)dx = g(x) + C है, तो \(\rm \int_a^b f(x)\ dx = [g(x)]_a^b\) = g(b) - g(a) है।
यदि a ≤ c ≤ b है, तो \(\rm \int_a^b f(x)\ dx = \int_a^c f(x)\ dx+\int_c^b f(x)\ dx\) है।
\(\rm \int x^n\ dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C\).

गणना:

दिए गए फलन को निम्न रूप में संक्षेपित किया जा सकता है:

x	x < 0	0 ≤ x < 2	2 ≤ x
f(x)	x + 2	2 - x	x - 2

चूँकि दिया गया फलन बहु-मान वाले फलन हैं, इसलिए, दिए गए निश्चित समाकल को भागों में अलग करते हैं, जहाँ फलन के समीकरण अलग हैं:

\(\rm \int_{-2}^{\ \ 3} f(x)\ dx=\int_{-2}^{\ \ 0} f(x)\ dx+\int_{0}^{2} f(x)\ dx+\int_{2}^{3} f(x)\ dx\)

= \(\rm \int_{-2}^{\ \ 0} (x+2)\ dx+\int_{0}^{2}(2-x)\ dx+\int_{2}^{3}(x-2)\ dx\)

= \(\rm \left[\frac{x^2}{2}+2x\right]_{-2}^{\ \ \ 0}+\left[2x-\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{2}+\left[\frac{x^2}{2}-2x\right]_{2}^{3}\)

= \(\rm [0-(2-4)]+[4-2-0)]+\left[\frac{9}{2}-6-(2-4)\right]\)

= \(\rm 2+2+\frac{9}{2}-4\)

= 4.5