∆LMN में, माध्यिकाएँ MX और NY एक-दूसरे पर लंबवत हैं और Z पर प्रतिच्छेद करती हैं। यदि MX = 20 cm और NY = 30 cm है, तो ∆LMN का क्षेत्रफल (cm² में) क्या है?

दिया गया:

∆LMN, मध्यिका MX और NY के साथ

MX ⊥ NY

MX, NY को Z पर प्रतिच्छेद करता है

MX = 20 cm

NY = 30 cm

प्रयुक्त सूत्र:

एक त्रिभुज का केन्द्रक प्रत्येक माध्यिका को 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है।

त्रिभुज का क्षेत्रफल = 1/2 × आधार × ऊँचाई

∆LMN का क्षेत्रफल = 3 × ∆MNZ का क्षेत्रफल (चूँकि Z केन्द्रक है)

गणना:

चूँकि Z केन्द्रक है, यह माध्यिकाओं को 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है।

MZ : ZX = 2 : 1

⇒ MZ = (2/3) × MX = (2/3) × 20 = 40/3 cm

⇒ ZX = (1/3) × MX = (1/3) × 20 = 20/3 cm

NZ : ZY = 2 : 1

⇒ NZ = (2/3) × NY = (2/3) × 30 = 20 cm

⇒ ZY = (1/3) × NY = (1/3) × 30 = 10 cm

चूँकि MX ⊥ NY, ∆MNZ एक समकोण त्रिभुज है जिसके पाद NZ और MZ हैं।

∆MNZ का क्षेत्रफल = 1/2 × आधार × ऊँचाई = 1/2 × NZ × MZ

⇒ ∆MNZ का क्षेत्रफल = 1/2 × 20 × (40/3)

⇒ ∆MNZ का क्षेत्रफल = 10 × (40/3) = 400/3 cm ²

∆LMN का क्षेत्रफल = 3 × ∆MNZ का क्षेत्रफल

⇒ ∆LMN का क्षेत्रफल = 3 × (400/3)

⇒ ∆LMN का क्षेत्रफल = 400 cm ²

∴ ∆LMN का क्षेत्रफल 400 cm ² है।