निम्नलिखित कथनों पर विचार कीजिए:

1. अदिश गुणनफल, सदिश योगफल पर बंटनात्मक है

2. सदिश गुणनफल, सदिश योगफल पर बंटनात्मक है

3. सदिशों का सदिश गुणनफल सहचारी होता है

उपर्युक्त में से कौन-सा/कौन-से कथन सही है/हैं?

This question was previously asked in
NDA 01/2022: Maths Previous Year paper (Held On 10 April 2022)
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  1. केवल 1
  2. केवल 2
  3. केवल 1 और 2
  4. 1, 2 और 3

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : केवल 1 और 2
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संकल्पना:

वास्तविक संख्याओं का एक बीजीय गुण वितरण नियम है। वास्तविक संख्याओं के लिए वितरण नियम कहता है: "सभी वास्तविक संख्याओं  x, y, और z के लिए, \(x.( y+ z)=x. y+ x.z\)

सदिश अदिश गुणनफल योग पर वितरणात्मक है। सामान्य रूप में:

\(\vec a.( \vec b+ \vec c)=\vec a. \vec b+ \vec a.\vec c\)  

सदिश सदिश गुणनफल योग पर वितरणात्मक है। सामान्य रूप में:

\(\vec a × (\vec b + \vec c) = \vec a × \vec b + \vec a × \vec c\)

साहचर्य गुण: (p × q) × r = p × (q × r) (जहाँ p, q, और r कोई तीन प्राकृतिक/पूर्ण संख्याएँ हैं)

गणना:

मान लीजिये 

\(\displaystyle \vec a = a_x \overline i+a_y \overline j+a_z \overline k\\\vec b = b_x \overline i+b_y \overline j+b_z \overline k\\\vec c = c_x \overline i+c_y \overline j+c_z \overline k\)

कथन I: सदिश योग पर अदिश गुणनफल वितरणात्मक है

हमें सिद्ध करना है  \(\vec a.( \vec b+ \vec c)=\vec a. \vec b+ \vec a.\vec c\)

  • \(\displaystyle \vec a.( \vec b+ \vec c)=(a_x ̂ i+a_y ̂ j+a_z ̂ k).[(b_x ̂ i+b_y ̂ j+b_z ̂ k)+(c_x ̂ i+c_y ̂ j+c_z ̂ k)] \)
  • \(\displaystyle \vec a.( \vec b+ \vec c)=(a_x ̂ i+a_y ̂ j+a_z ̂ k).[(b_x+c_x)̂ i+(b_y+c_y)̂ j+(b_z +c_z )̂ k] \)
  • \(\vec a.( \vec b+ \vec c)=\) a(b+ cx) + a(by + cy) + a(b+ cz)
  • \(\vec a.( \vec b+ \vec c)=\) ab+ ax cx + aby + acy + ab+ acz................................... (1)
  • \(\displaystyle \vec a. \vec b+ \vec a.\vec c=(a_x ̂ i+a_y ̂ j+a_z ̂ k).(b_x ̂ i+b_y ̂ j+b_z ̂ k)+(a_x ̂ i+a_y ̂ j+a_z ̂ k).(c_x ̂ i+c_y ̂ j+c_z ̂ k)\)
  • \(\displaystyle \vec a. \vec b+ \vec a.\vec c=(a_x.b_x+a_y.b_y +a_z.b_z)+(a_x.c_x +a_y.c_y+a_z.c_z)\)

 

  • \(\vec a. \vec b+ \vec a.\vec c=\) ab+ ax cx + aby + acy + ab+ acz................................... (2)
  • समीकरण (1) और (2) से
  • ∴ \(\vec a.( \vec b+ \vec c)=\vec a. \vec b+ \vec a.\vec c\)  

कथन II: सदिश योग पर सदिश गुणनफल वितरणात्मक है

हमें सिद्ध करना है \(\vec a × (\vec b + \vec c) = \vec a × \vec b + \vec a × \vec c\)

  • \(\displaystyle \vec a\times(\vec b+ \vec c)=(a_x ̂ i+a_y ̂ j+a_z ̂ k)\times[(b_x ̂ i+b_y ̂ j+b_z ̂ k)+(c_x ̂ i+c_y ̂ j+c_z ̂ k)] \)
  • \(\displaystyle \vec a\times( \vec b+ \vec c)=(a_x ̂ i+a_y ̂ j+a_z ̂ k)\times[(b_x+c_x)̂ i+(b_y+c_y)̂ j+(b_z +c_z )̂ k] \)
  • \(\vec a\times( \vec b+ \vec c)=\begin{bmatrix} \overline i & \overline j & \overline k \\[0.3em] a_x & a_y & a_z \\[0.3em] b_x+c_x &b_y+c_y & b_z+c_z \end{bmatrix}\)
  • \(\vec a\times( \vec b+ \vec c)=\) ̂̂î [a(b+ cz) - a(b+ cy)] - ĵ [a(bz + cz) - a(bx + cx)] + k̂ [a(b+ cy) - a(bx + cx)] ............(3) 
  • \(\displaystyle \vec a\times \vec b+ \vec a\times\vec c=(a_x ̂ i+a_y ̂ j+a_z ̂ k)\times(b_x ̂ i+b_y ̂ j+b_z ̂ k)+(a_x ̂ i+a_y ̂ j+a_z ̂ k)\times(c_x ̂ i+c_y ̂ j+c_z ̂ k)\)
  • \(\displaystyle \vec a\times \vec b+ \vec a\times\vec c=\begin{bmatrix} ̂ i & ̂ j & ̂ k \\[0.3em] a_x & a_y & a_z \\[0.3em] b_x &b_y& b_z \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} ̂ i & ̂ j & ̂ k \\[0.3em] a_x & a_y & a_z \\[0.3em] c_x &c_y& c_z \end{bmatrix}\)
  • \((\vec a\times \vec b+\vec a\times \vec c)=\) ̂̂î [aybz - azby)] - ĵ (axbz - azbx)] + k̂ [aby - aybx] + î [ayc- azcy)] - ĵ (axcz - azcx)] + k̂ [acy - aycx]
  • \((\vec a\times \vec b+\vec a\times \vec c)=\) î [a(b+ cz) - a(b+ cy)] - ĵ [a(bz + cz) - a(bx + cx)] + k̂ [a(b+ cy) - a(bx + cx)] ..............(4) 
  • ∴ \(\vec a × (\vec b + \vec c) = \vec a × \vec b + \vec a × \vec c\)

कथन III: सदिशों का दिश गुणनफल साहचर्य है

  • दो गैर-शून्य लंबवत सदिशों a और b पर विचार करें।
  • हमारे पास (a × a) × b = 0 × b = 0 है
  • हालांकि, a × b, a के लंबवत है और शून्य सदिश नहीं है, इसलिए
  • a × (a × b) ≠ 0
  • (a × a) × b ≠ a × (a × b)
  • सदिशों का दिश गुणनफल साहचर्य नहीं है

केवल कथन I और II सही हैं।

Latest NDA Updates

Last updated on May 30, 2025

->UPSC has released UPSC NDA 2 Notification on 28th May 2025 announcing the NDA 2 vacancies.

-> A total of 406 vacancies have been announced for NDA 2 Exam 2025.

->The NDA exam date 2025 has been announced for cycle 2. The written examination will be held on 14th September 2025.

-> Earlier, the UPSC NDA 1 Exam Result has been released on the official website.

-> The selection process for the NDA exam includes a Written Exam and SSB Interview.

-> Candidates who get successful selection under UPSC NDA will get a salary range between Rs. 15,600 to Rs. 39,100. 

-> Candidates must go through the NDA previous year question paper. Attempting the NDA mock test is also essential. 

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