రేఖా గణితం MCQ Quiz in తెలుగు - Objective Question with Answer for Geometry - ముఫ్త్ [PDF] డౌన్‌లోడ్ కరెన్

ఇచ్చినవి:

147x - 231y = 525

77x - 49y = 203

ఉపయోగించిన సూత్రం:

ఖండన బిందువును కనుగొనడానికి, సమీకరణాల వ్యవస్థను సాధించండి.

గణన:

రెండవ సమీకరణాన్ని 3తో గుణించండి:

⇒ 231x - 147y = 609

ఇప్పుడు మార్పు చేసిన రెండవ సమీకరణం నుండి మొదటి సమీకరణాన్ని తీసివేయండి:

⇒ (231x - 147y) - (147x - 231y) = 609 - 525

⇒ 84x + 84y = 84

⇒ x + y = 1

మొదటి సమీకరణంలో x + y = 1ని ఉపయోగించి:

⇒ 147x - 231(1 - x) = 525

⇒ 147x - 231 + 231x = 525

⇒ 378x = 756

⇒ x = 2

x + y = 1 లో x = 2ని ఉపయోగించి:

⇒ 2 + y = 1

⇒ y = -1

కాబట్టి, ఖండన బిందువు (2, -1).

ఇప్పుడు (2, -1) బిందువు ఏ సమీకరణాన్ని తృప్తిపరుస్తుందో తనిఖీ చేయండి:

9x - 5y = 23 కొరకు:

⇒ 9(2) - 5(-1) = 18 + 5 = 23

∴ సరైన సమాధానం 1వ ఎంపిక.

P(5, -12) బిందువు గుండా వెళ్ళి, అక్షాలపై సమాన అంతరఖండాలను ఏర్పరిచే రేఖ సమీకరణాన్ని కనుగొనడానికి, ఈ దశలను అనుసరించండి:

1. సమాన అంతరఖండాల నియమాన్ని అర్థం చేసుకోవడం:
   ఒక రేఖ అక్షాలపై సమాన అంతరఖండాలను ఏర్పరిస్తే, అంటే ఆ రేఖ x-అక్షం మరియు y-అక్షాన్ని మూలబిందువు నుండి సమాన దూరంలో ఖండించడం. అంతరఖండాలను a అనుకుందాం. అప్పుడు:
   • x-అంతరఖండం (a, 0).
   • y-అంతరఖండం (0, a).
2. రేఖ సమీకరణాన్ని రాయడం:
   అంతరఖండ రూపంలో రేఖ సమీకరణం:
   \[ \frac{x}{a} + \frac{y}{a} = 1 \]
   సమీకరణాన్ని సరళీకరించడం:
   \[ x + y = a \]
3. P(5, -12) బిందువును ప్రతిక్షేపించడం:
   రేఖ P(5, -12) గుండా వెళుతుంది కాబట్టి, x = 5 మరియు y = -12 ను సమీకరణంలో ప్రతిక్షేపించండి:
   \[ 5 + (-12) = a \]
   \[ -7 = a \]
4. రేఖ యొక్క చివరి సమీకరణాన్ని రాయడం:
   a = -7 ను x + y = a సమీకరణంలో ప్రతిక్షేపించండి:
   \[ x + y = -7 \]
   సమీకరణాన్ని పునర్వ్యవస్థీకరించడం:
   \[ x + y + 7 = 0 \]

చివరి సమాధానం:

రేఖ సమీకరణం:

\[ \boxed{x + y + 7 = 0} \]

3x + 4y - 12 = 0 రేఖ యొక్క x-అంతరఖండం మరియు y-అంతరఖండాలు వరుసగా a మరియు b అయితే, a² + b² విలువను కనుగొనడానికి ఈ దశలను అనుసరించండి:

1. x-అంతరఖండం (a) ను కనుగొనండి:
   y = 0 అయినప్పుడు x-అంతరఖండం ఏర్పడుతుంది. రేఖ సమీకరణంలో y = 0 ని ప్రతిక్షేపించండి:
   \[ 3x + 4(0) - 12 = 0 \]
   సరళీకరించండి:
   \[ 3x - 12 = 0 \]
   x కోసం సాధించండి:
   \[ 3x = 12 \]
   \[ x = 4 \]
   కాబట్టి, x-అంతరఖండం a = 4.
2. y-అంతరఖండం (b) ను కనుగొనండి:
   x = 0 అయినప్పుడు y-అంతరఖండం ఏర్పడుతుంది. రేఖ సమీకరణంలో x = 0 ని ప్రతిక్షేపించండి:
   \[ 3(0) + 4y - 12 = 0 \]
   సరళీకరించండి:
   \[ 4y - 12 = 0 \]
   y కోసం సాధించండి:
   \[ 4y = 12 \]
   \[ y = 3 \]
   కాబట్టి, y-అంతరఖండం b = 3.
3. a² + b² ను లెక్కించండి:
   ఇప్పుడు, a = 4 మరియు b = 3 ని a² + b² లో ప్రతిక్షేపించండి:
   \[ a^2 + b^2 = 4^2 + 3^2 \]
   \[ a^2 + b^2 = 16 + 9 \]
   \[ a^2 + b^2 = 25 \]

చివరి సమాధానం:

a² + b² విలువ:

\[ \boxed{25} \]

రేఖ యొక్క y-అంతరఖండం -6 అని ఇవ్వబడింది. y-అంతరఖండం అంటే x = 0 అయినప్పుడు రేఖ y-అక్షాన్ని ఖండించే బిందువు.

1. y-అంతరఖండాన్ని సమీకరణంలో ప్రతిక్షేపించండి:
   x = 0 మరియు y = -6 ను రేఖా సమీకరణంలో ప్రతిక్షేపిస్తే:
   \[ 5(0) + 3(-6) - k = 0 \]
   సమీకరణాన్ని సరళీకరిస్తే:
   \[ 0 - 18 - k = 0 \]
   \[ -18 - k = 0 \]
2. k విలువను కనుగొనండి:
   k కోసం సమీకరణాన్ని పునర్వ్యవస్థీకరిస్తే:
   \[ -k = 18 \]
   రెండు వైపులా -1తో గుణిస్తే:
   \[ k = -18 \]

చివరి సమాధానం:

k విలువ:

\[ \boxed{-18} \]

ఇచ్చిన దత్తాంశం:

త్రిభుజంలో, ABC, AB = 12 సెం.మీ మరియు AC = 10 సెం.మీ మరియు ∠BAC = 60°.

ఉపయోగించిన కాన్సెప్ట్:

కొసైన్ నియమం ప్రకారం, a, b మరియు c త్రిభుజం యొక్క మూడు భుజాలు ఉంటే ΔABC మరియు ∠C అనేది AC మరియు AB మధ్య కోణం అయితే,  a2 = b2 + c2 - 2bc × cos∠A

సాధన:

కాన్సెప్ట్ ప్రకారం,

BC2 = AB2 + AC2 - 2 × AB × AC × cos60°

⇒ BC2 = 122 + 102 - 2 × 12 × 10 × 1/2

⇒ BC2 = 124

⇒ BC ≈ 11.13

∴ BC యొక్క కొలత 11.13 సెం.మీ.

ఇవ్వబడినది:

ఒక వృత్తం అనేది చతుర్భుజం PQRS యొక్క నాలుగు వైపులా తాకుతుంది. PQ = 11 సెం.మీ. QR = 12 సెం.మీ మరియు PS = 8 సెం.మీ

లెక్కింపు:

ఒక వృత్తం అనేది చతుర్భుజం PQRS యొక్క నాలుగు వైపులా తాకినట్లయితే, 

PQ + RS = SP + RQ

కావునా,

⇒ 11 + RS = 8 + 12

⇒ RS = 20 - 11

⇒ RS = 9

∴ సరైన ఎంపిక 3.

భావన:

అష్టభుజికి ఎనిమిది వైపులా ఉన్నాయి.

డోడెకాగాన్ పన్నెండు వైపులా ఉంది.

ఫార్ములా:

బహుభుజి యొక్క అంతర్గత కోణం = {(n - 2) × 180 °} / n

లెక్కింపు:

అష్టభుజి యొక్క అంతర్గత కోణం = (8 - 2) / 8 × 180 ° = 1080 ° / 8 = 135 °

డోడెకాగాన్ యొక్క అంతర్గత కోణం = (12 - 2) / 12 × 180 ° = 1800 ° / 12 = 150 °

 అష్టభుజి నిష్పత్తి: డోడెకాగాన్ = 9: 10

భావన:

వ్యాసార్థం స్పర్శ బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖకు లంబంగా ఉంటుంది

చతుర్భుజం యొక్క అన్ని కోణాల మొత్తం = 360°

గణన:

PA మరియు PB అనేది బాహ్య బిందువు P నుండి వృత్తానికి గీసిన స్పర్శరేఖలు.

∠OAP = ∠OBP = 90° (వ్యాసార్థం స్పర్శ బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖకు లంబంగా ఉంటుంది)

ఇప్పుడు, చతుర్భుజ OAPBలో,

∠APB + ∠OAP + ∠AOB + ∠OBP = 360°

75° + 90 ° + ∠AOB + 90° = 360°

∠AOB = 105°

ఈ విధంగా, OA మరియు OB అనే రెండు వ్యసార్దాల మధ్య కోణం 105°

ఇచ్చిన దత్తాంశం:

పూరక కోణాలలో ఒకటి 130°.

ఉపయోగించిన కాన్సెప్ట్:

పూరక కోణం కోసం: రెండు కోణాల మొత్తం 180°.

సంపూరక కోణం కోసం: రెండు కోణాల మొత్తం 90°.

సాధన:

130° యొక్క పూరక కోణం  = 180° - 130° = 50° 

50°యొక్క సంపూరక కోణం= 90° - 50° = 40° 

∴ 130° పూరక కోణం యొక్క సంపూరక కోణం 40°

ఇచ్చిన:

ABC అనేది లంబకోణ త్రిభుజం. దానిలో ఒక వృత్తం చెక్కబడింది.

లంబ కోణాన్ని కలిగి ఉన్న రెండు భుజాల పొడవు 10 సెం.మీ మరియు 24 సెం.మీ

లెక్కలు:

కర్ణం² = 10² + 24² (పైథాగరస్ సిద్ధాంతం)

కర్ణం= √676 = 26

త్రిభుజం లోపల ఉన్న వృత్తం (అంతర్వృత్తం) యొక్క వ్యాసార్థం = (లంబ కోణాన్ని కలిగి ఉన్న భుజాల మొత్తం - కర్ణం)/2

⇒ (10 + 24 - 26)/2

⇒ 8/2

⇒ 4

∴ సరైన ఎంపిక ఎంపిక 4.

ఇచ్చిన దత్తాంశం:

సమాంతర చతుర్భుజం ABCDలో, AL మరియు CM వరుసగా CD మరియు ADలకు లంబంగా ఉంటాయి.

AL = 20 సెం.మీ, CD = 18 సెం.మీ మరియు CM = 15 సెం.మీ

ఉపయోగించిన సూత్రం:

సమాంతర చతుర్భుజ వైశాల్యం = భూమి × ఎత్తు

సమాంతర చతుర్భుజం చుట్టుకొలత = 2 × (సమాంతర భుజాల మొత్తం)

సాధన:

భూమి DCతో ABCD యొక్క వైశాల్యం = AL × DC = 20 × 18

⇒ 360 సెం.మీ²

మళ్లీ,భూమి AD తో ABCD యొక్క వైశాల్యం= CM × AD = 15 × AD

⇒ 360 సెం.మీ² = 15 × AD

⇒ AD = 24 సెం.మీ

∴ AD = BC = 24 సెం.మీ, DC = AB = 18 సెం.మీ

ABCD యొక్క చుట్టుకొలత = 2 × (24 + 18)

⇒ 2 × 42

⇒ 84 సెం.మీ

∴ అవసరమైన ఫలితం = 84 సెం.మీ

మనకు తెలుసు, 

ప్రత్యక్ష సాధారణ స్పర్శ రేఖ యొక్క పొడవు = √[d2 - (R - r)2]

ఇక్కడ d అనేది కేంద్రాల మధ్య దూరం మరియు R మరియు r అనేవి వృత్తాల వ్యాసార్థాలు.

PQ = √[(R + r)2 - (R - r)2]

⇒ PQ = √[R2 + r2 + 2Rr - (R2 + r2 - 2Rr)]

⇒ PQ = √4Rr

⇒ PQ2 = 4Rr

ఇచ్చిన దత్తాంశం:

బహుభుజి యొక్క అంతర్గత కోణాల కొలత మొత్తం 1620°.

ఉపయోగించన సూత్రం:
బహుభుజి యొక్క అంతర్గత కోణాల మొత్తం = (n - 2) × 180 °

ఇక్కడ n అనేది భుజాల సంఖ్య.

లెక్కింపు :

సూత్రాన్ని వర్తింపజేయగా

1620° = (n – 2) × 180°

⇒ (n – 2) = 1620°/180°

⇒ (n – 2) = 9

⇒ n = 11

అందువల్ల,

భుజాల సంఖ్య = 11