दोन चलांतील रेषीय समीकरण MCQ Quiz in मराठी - Objective Question with Answer for Linear Equation in 2 Variable - मोफत PDF डाउनलोड करा

दिलेले आहे:

एक स्कॅनरची किंमत एका प्रिंटरपेक्षा 7,000 रुपयांनी कमी आहे.

प्रिंटरची किंमत स्कॅनरच्या किमतीच्या दुप्पट आहे.

गणना:

समजा, स्कॅनरची किंमत x रुपये आहे.

प्रिंटरची किंमत = 2x

प्रश्नानुसार:

2x - x = 7000

⇒ x = 7000

∴ पर्याय (3) योग्य आहे.

दिलेले आहे:

2 टेबल आणि 3 खुर्च्यांची किंमत ₹540 आहे.

2 टेबल आणि 1 खुर्चीची किंमत ₹470 आहे.

वापरलेले सूत्र:

समजा, एका टेबलची किंमत T आणि एका खुर्चीची किंमत C आहे,

2T + 3C = 540

2T + 1C = 470

गणना:

दुसरे समीकरण पहिल्या समीकरणातून वजा करू:

⇒ (2T + 3C) - (2T + 1C) = 540 - 470

⇒ 2C = 70

⇒ C = 35

आता, 35 खुर्च्यांची किंमत:

⇒ 35 × 35

⇒ ₹1225

∴ पर्याय (3) योग्य आहे.

दिलेले आहे:

2 टेबल आणि 3 खुर्च्यांची किंमत 540 रुपये आहे.

2 टेबल आणि 1 खुर्चीची किंमत 470 रुपये आहे.

वापरलेले सूत्र:

समजा, एका टेबलची किंमत T आणि एका खुर्चीची किंमत C आहे.

गणना:

2T + 3C = 540       ......(1)

2T + 1C = 470       ......(2)

समीकरण (2) ला समीकरण (1) मधून वजा करू:

⇒ (2T + 3C) - (2T + 1C) = 540 - 470

⇒ 2C = 70 ⇒ C = 35

C चे मूल्य, समीकरण (2) मध्ये ठेवू:

⇒ 2T + 35 = 470

⇒ 2T = 470 - 35

⇒ T = 217.5

आता, 2 टेबल आणि 2 खुर्च्यांची किंमत काढू:

⇒ 2T + 2C = 2 × 217.5 + 2 × 35

⇒ 2T + 2C = 435 + 70

⇒ 2T + 2C = 505

∴ पर्याय 1 योग्य आहे.

दिलेले आहे:

दोन धन संख्यांची बेरीज 45 आहे आणि त्यांचा फरक 19 आहे.

वापरलेले सूत्र:

समजा, त्या संख्या x आणि y आहेत.

x + y = 45

x - y = 19

गणना:

x + y = 45

x - y = 19

⇒ दोन्ही समीकरणांची बेरीज केल्यास:

(x + y) + (x - y) = 45 + 19

⇒ 2x = 64 ⇒ x = 32

⇒ x + y = 45 मध्ये, x चे मूल्य ठेवल्यास:

32 + y = 45

⇒ y = 45 - 32 = 13

∴ पर्याय (1): 32, 13 हे योग्य उत्तर आहे.

दिलेले आहे:

समीकरण जोडी:

3x - 5y = 7

-6x + 10y = 7

वापरलेले सूत्र:

रेषीय समीकरणांच्या जोडीच्या उकलींचे स्वरूप निश्चित करण्यासाठी, आपण पुढील अटी वापरू शकतो:

जर \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}\) असेल, तर प्रणालीसाठी अनंत उकली असतात.

जर \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}\) असेल, तर प्रणालीसाठी कोणतीही उकल नसते.

जर \(\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}\) असेल, तर प्रणालीसाठी एकमेव उकल असते.

येथे, \(a_1x + b_1y = c_1\) आणि \(a_2x + b_2y = c_2\) या समीकरणांसाठी

गणना:

दिलेली समीकरणे:

3x - 5y = 7

-6x + 10y = 7

येथे, \(a_1 = 3 , b_1 = -5 ,c_1 = 7\)

आणि, \(a_2 = -6 , b_2 = 10 , c_2 = 7\)

आता, आपण गुणोत्तरांची तपासणी करू:

\(\frac{a_1}{a_2} = \frac{3}{-6} = -\frac{1}{2}\)

\(\frac{b_1}{b_2} = \frac{-5}{10} = -\frac{1}{2}\)

\(\frac{c_1}{c_2} = \frac{7}{7} = 1\)

आपण पाहू शकतो की:

\(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}\)

⇒ समीकरण प्रणालीला कोणतीही उकल नाही.

∴ पर्याय (2) योग्य आहे.

दिलेले आहे:

8k6 + 15k3 – 2 = 0

गणना:

समजा, k3 = x

अशाप्रकारे, 8x² + 15x - 2 = 0

⇒ 8x2 + 16x - x - 2 = 0

⇒ 8x (x + 2) - 1 (x + 2) = 0

⇒ (8x - 1) (x + 2) = 0

⇒ 8x - 1 = 0 ⇒ x = 1/8

⇒ x + 2 = 0 ⇒ x = - 2 [ऋण मूल्य असल्यामुळे शक्य नाही]

आता, k3 = 1/8

⇒ k = 1/2 ⇒ 1/k = 2

मग, (k + 1/k) = (1/2 + 2) = 5/2 = \(2\frac{1}{2}\)

∴ (k + 1/k) चे मूल्य = \(\rm \bf 2\frac{1}{2}\)

गणना:

A सह टॉफीची संख्या x आणि B सह y मानूया.

जर A ने B ला एक टॉफी दिली तर:

⇒ x - 1 = y + 1

⇒ x = y + 2  .........(1)

आता जेव्हा B ने A ला एक टॉफी दिली, तेव्हा A ची टॉफी B बरोबर दुप्पट होते:

⇒ x + 1 = 2 (y - 1)  ......(2)

समीकरण (1) चे मूल्य समीकरण (2) मध्ये टाकून⇒ y + 3 = 2y - 2

⇒ y = 5

जर y = 5 तर x = 7.

⇒ x + y = 12

A आणि B सह एकूण 12 टॉफी आहेत.

दिलेल्याप्रमाणे:

दोन संख्यांमधील फरक = 5

लहान संख्येतून 25 वजा केल्यास आणि मोठ्या संख्येत 20 मिळवल्यास गुणोत्तर = 1 : 2

गणना:

समजा मोठी संख्या आणि लहान संख्या अनुक्रमे x आणि (x – 5) आहे

आता, प्रश्नानुसार,

(x – 5 – 25) : (x + 20) = 1 : 2

⇒ (x – 30)/(x + 20) = 1/2

⇒ 2x – 60= x + 20

⇒ x = 80

∴ मोठी संख्या 80 आहे.

गणना-

समजा 1 टेबलची किंमत 'x' आणि 1 खुर्चीची किंमत 'y' आहे 

दिलेल्या अटीनुसार

2x + 4y = 16,000 and x = 6y 

आता, 2x + 4y = 16,000

⇒ 2(6y) + 4y = 16,000

⇒ 16y = 16,000

⇒ y = 1,000

∴ 9 खुर्च्यांची किंमत 9y = 9,000 असेल

दिलेली समीकरणे म्हणजे x + 2y = 8 आणि 2x + 4y = 16 किंवा x + 2y = 8,

दिलेली दोन्ही समीकरणे समान आहेत

∴ प्रश्नाच्या अनंत उकली असू शकतात.

एका पेन्सिल, पेन आणि खोडरबरची किंमत अनुक्रमे x, y आणि z आहे असे समजा

प्रश्नानुसार,

8x + 5y + 3z = 111 रुपये     ----(1)

9x + 6y + 5z = 130 रुपये     ----(2)

16x + 11y + 3z = 221 रुपये      ----(3)

समीकरण (3) मधून समीकरण (1) वजा करून

⇒ (16x + 11y + 3z) - (8x + 5y + 3z) = 221 - 111

⇒ 8x + 6y = 110

⇒ 4x + 3y = 55      ----(4)

समीकरण (2) ला 3 ने आणि समीकरण (3) ला 5 ने गुणा आणि नंतर समीकरण (2) मधून (3) वजा करा

⇒ (16x + 11y + 3z) × 5 - (9x + 6y + 5z) × 3 = 221 × 5 - 130 × 3

⇒ 80x + 55y + 15z - 27x - 18y - 15z = 1105 - 390

⇒ 53x + 37y = 715      ----(5)

समीकरण (4) ला 53 ने आणि समीकरण (5) ला 4 ने गुणा आणि नंतर समीकरण (4) मधून (5) वजा करा

⇒ 212x + 159y - 212x - 148y = 2915 - 2860

⇒ 11y = 55

⇒ y = 5

y = 5 चे मूल्य समीकरण (4) मध्ये टाकून 

⇒ 4x + 3 × 5 = 55

⇒ x = 10

समीकरण (1) मध्ये y = 5 आणि x = 10 चे मूल्य टाकून

⇒ 8 × 10 + 5 × 5 + 3z = 111

⇒ 80 + 25 + 3z = 111

⇒ z = 2

∴ 39 पेन्सिल, 26 पेन आणि 13 खोडरबरची किंमत = 39x + 26y + 13z = 39 × 10 + 26 × 5 + 13 × 2  = 546 रुपये

Shortcut Trick

समजा, 1 पेन्सिलची किंमत = x, 1 पेनची किंमत = y आणि एका खोडरबरची किंमत = z

Then, 8x + 5y + 3z = 111      ----(1)

9x + 6y + 5z = 130      ----(2)

16x + 11y + 3z = 221      ----(3)

(1), (2) आणि (3) जोडून आपल्याला मिळते

33x + 22y + 11z = 462

⇒ 3x + 2y + z = 42

⇒ 39x + 26y + 13z = 546     (13 ने गुणाकार करून)

दिलेले आहे:

जर एखाद्या वस्तूची किंमत ₹ 4 ने कमी केली, तर ₹ 288 मध्ये आणखी 12 वस्तू खरेदी केल्या जाऊ शकतात.

गणना:

समजा प्रत्येक वस्तूची मूळ किंमत = y आहे.

विकल्या गेलेल्या वस्तूंची संख्या = x

एकूण किंमत = xy = 288

⇒ x = 288/y --(i)

प्रत्येक वस्तूची नवी किंमत = y - 4

विकल्या गेलेल्या नवीन वस्तूची संख्या = x + 12

∴ प्रश्नानुसार,

⇒ (x + 12) (y - 4) = xy

⇒ xy - 4x + 12y - 48 = xy

⇒ 4x - 12y = - 48

(i) वरून,

⇒ 4(288/y) - 12y = - 48

⇒ 1152 - 12y² + 48y = 0

⇒ 12y² - 48y - 1152 = 0

⇒ y² - 4y - 96 = 0

⇒ (y - 12) (y + 8) = 0

⇒ y = 12, y = -8

किंमत ऋण असू शकत नाही, म्हणून y = -8 हे शक्य नाही.

∴ नवीन वस्तूची मूळ किंमत 12 रुपये आहे.

Alternate Method

गणना:

प्रश्नानुसार:

⇒ 288/(x - 4) - 288/x = 12

⇒ x - x + 4/(x - 4) x = 12/288

⇒ 4/(x - 4) x = 1/24

⇒ x (x - 4) = 96

म्हणून पर्यायावरून, आपण x चे मूल्य ठेवू शकतो.

जर आपण x = 12 मानले

⇒ 12 × 8 = 96

⇒ 96 = 96 (समीकरण संतुष्ट होते)

∴ योग्य उत्तर 12 रुपये आहे​.

⇒ समीकरणांचे उतार सारखे असताना त्यांना कोणतेही समाधान नसते

⇒ समीकरणाचा उतार 1 = - 14/8 = - 7/4

⇒ समीकरण 2 = 21/k चा उतार

⇒ तर, 21/k = - 7/4

∴ k चे मूल्य - 12 आहे.

दिलेले आहे: 

समीकरणांची प्रणाली:

2x + 3y = 5

4x + ky = 10

संकल्पना:

समीकरणांची प्रणाली

a1x + b1y = c1

a2x + b2y = c2

अनंत उकल साठी

\(\frac {a_1}{a_2}= \frac {b_1}{b_2}= \frac {c_1}{c_2}\)

गणना:

समीकरणांवरून, असा निष्कर्ष काढता येतो की,

a₁ = 2, b₁ = 3, c₁ = 5

a₂ = 4, b₂ = k, c₂ = 10

अनंत उकल साठी, 2/4 = 3/k

⇒ k = 6

∴ k चे मूल्य 6 आहे.

Important Points

असाधारण उकल साठी

\(\frac {a_1}{a_2}≠ \frac {b_1}{b_2}\)

विसंगत उकल साठी

\(\frac {a_1}{a_2}=\frac {b_1}{b_2}≠ \frac {c_1}{c_2}\)

दिल्याप्रमाणे:

दोन संख्यांची बेरीज = 30

4 x पहिली संख्या = 3 x दुसरी संख्या + 1

गणना:

समजा दोन संख्या a आणि b आहे.

a + b = 30 …(i)

4a = 3b + 1

4a - 3b = 1 …(ii)

(i) ला 3 ने गुणा आणि (ii) ची बेरीज करा

3a + 3b = 90

4a - 3b = 1

आपणास मिळते, a = 13 आणि b = 17