Differential Equations MCQ Quiz in मराठी - Objective Question with Answer for Differential Equations - मोफत PDF डाउनलोड करा

गणना

\((x \log x)\dfrac {dy}{dx}+y=2x \log x\)

⇒ \(\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x \log{x}} = 2\)

अशाप्रकारे, I.F. = \(e^{\int p \: dx } = e^{\int \frac{1}{x \log{x}} dx} = e^{ln (ln \: x)} = \ln x\)

\(\Rightarrow y(I.F.) = \int Q(x) \times I.F. \: d\)

\(\Rightarrow y(ln \: x) = \int 2 \times \ln x \: dx\)

\(\Rightarrow y(ln \: x) = 2 ( x \ln x - x) +c\)

x = e वर ⇒ \(y(e) - 0 = 2 \Rightarrow y(e)= 2\)

म्हणून, पर्याय 3 योग्य आहे.

गणना

\((x^2-y^2)dx+2xydy=0\)

\(\Rightarrow \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y^2-x^2}{2xy}\)

\(y=vx\) ठेवा ⇒ \(\dfrac{dy}{dx}=v+x\dfrac{dv}{dx}\)

\(\Rightarrow v+x\dfrac{dv}{dx}=\dfrac{v^2x^2-x^2}{2vx^2}\)

\(\Rightarrow v+x\dfrac{dv}{dx}=\dfrac{v^2-1}{2v}\)

\(\Rightarrow x\dfrac{dv}{dx}=\dfrac{-v^2-1}{2v}\)

\(\Rightarrow \dfrac{2vdv}{v^2+1}=-\dfrac{dx}{x}\)

एकत्रीकरण केल्यास, आपल्याकडे;

⇒ \(ln\vert v^2+1\vert=-ln\vert x\vert+lnc\)

⇒ \(\dfrac{y^2}{x^2}+1=\dfrac{c}{x}\)

(1,1) ठेवल्यास,

⇒ \(c=2\)

⇒ \(x^2+y^2-2x=0\)

म्हणून, हे त्रिज्या 1 असलेले एक वर्तुळ आहे.

म्हणून, पर्याय 2 योग्य आहे.

नाभीय अंतराची लांबी \(4a\) असलेल्या आणि ज्यांचा अक्ष x-अक्षास समांतर आहे, अशा अन्वस्तांचे समीकरण आहे,

\(\left( y-k \right) ^{ 2 }=4a\left( x-h \right) \),

येथे \(4a\) हा स्थिरांक आहे आणि \(h\) आणि \(k\) हे प्राचल आहेत,

म्हणून विकलन समीकरणाची कोटी \(2\) आहे,

\(2\left( y-k \right) \dfrac { dy }{ dx } =4a\Longrightarrow 2a\dfrac { { d }^{ 2 }y }{ d{ x }^{ 2 } } +{ \left( \dfrac { dy }{ dx } \right) }^{ 2 }=0\)

संकल्पना: 

संकलन गुणक, (IF) अवकल समीकरणासाठी, \(\rm\frac{dx}{dy}+Px= Q\), जेथे P आणि Q ला y चे सतत कार्य दिले जाते.

IF = \(\rm e^{\int Pdy}\) 

Calculation:

दिलेले समीकरण असे सरळ केले जाऊ शकते, 

\(\rm \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} y}+ \frac{x}{2y} = \frac{5}{2}y\)   

मानक समीकरणाची समीकरणएक ची तुलना केल्यावर , \(\rm\frac{dx}{dy}+Px= Q\) , मिळते ,

P = \(\rm \frac{1}{2y}\) आणि Q = \(\rm \frac{5}{2}y\)

 ∴ IF = \(\rm e^{\int Pdy}\) = \(\rm e^{\int \frac{1}{2y}dy}\) 

⇒ IF = \(\rm e^{\frac{1}{2}\log y}\) = \(\rm e^{\log y^{\frac{1}{2}}}\)  

⇒ IF = \(\rm \sqrt{y}\) .  ( ∵ \(\rm e^{a \log x}= x^{a}\) ) 

पर्याय 1 हे योग्य उत्तर आहे. 

संकल्पना:

क्रम: विकलक समीकरणाचा क्रम म्हणजे त्यात दिसणार्‍या सर्वोच्च व्युत्पन्नाचा क्रम असतो.

पदवी: विकलक समीकरणाची पदवी ही त्यात उद्भवणाऱ्या सर्वोच्च व्युत्पन्नाचा घात असतो, समीकरण समाक्षापासून मुक्त स्वरूपात व्यक्त केल्यानंतर व्युत्पन्नांचा संबंध आहे.

गणना:

दिलेल्याप्रमाणे:

\({\rm{y}} = {\rm{x}}{\left( {\frac{{{\rm{dy}}}}{{{\rm{dx}}}}} \right)^2} + {\left( {\frac{{{\rm{dx}}}}{{{\rm{dy}}}}} \right)}\)

\({\rm{y}} = {\rm{x}}{\left( {\frac{{{\rm{dy}}}}{{{\rm{dx}}}}} \right)^2} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{{{\rm{dy}}}}{{{\rm{dx}}}}} \right)}}}}\)

\(\Rightarrow {\rm{y}}{\left( {\frac{{{\rm{dy}}}}{{{\rm{dx}}}}} \right)} = {\rm{x}}{\left( {\frac{{{\rm{dy}}}}{{{\rm{dx}}}}} \right)^3} + 1\)

दिलेल्या विकलक समीकरणासाठी सर्वोच्च क्रम व्युत्पन्न 1 आहे.

आता, सर्वोच्च क्रम व्युत्पन्नाचा घात 3 आहे.

आपणास माहित आहे की विकलक समीकरणाची पदवी ही सर्वोच्च व्युत्पन्नाचा घात आहे

म्हणून, विकलक समीकरणाची पदवी 3 आहे.

संकल्पना:

क्रम: विकलक समीकरणाचा क्रम म्हणजे त्यात दिसणार्‍या सर्वोच्च व्युत्पन्नाचा क्रम असतो.

पदवी: विकलक समीकरणाची पदवी ही त्यात उद्भवणाऱ्या सर्वोच्च व्युत्पन्नाचा घात असतो, समीकरण समाक्षापासून मुक्त स्वरूपात व्यक्त केल्यानंतर व्युत्पन्नांचा संबंध आहे.

गणना:

दिलेल्याप्रमाणे:

\({\rm{y}} = {\rm{x}}{\left( {\frac{{{\rm{dy}}}}{{{\rm{dx}}}}} \right)^2} + {\left( {\frac{{{\rm{dx}}}}{{{\rm{dy}}}}} \right)}\)

\({\rm{y}} = {\rm{x}}{\left( {\frac{{{\rm{dy}}}}{{{\rm{dx}}}}} \right)^2} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{{{\rm{dy}}}}{{{\rm{dx}}}}} \right)}}}}\)

\(\Rightarrow {\rm{y}}{\left( {\frac{{{\rm{dy}}}}{{{\rm{dx}}}}} \right)} = {\rm{x}}{\left( {\frac{{{\rm{dy}}}}{{{\rm{dx}}}}} \right)^3} + 1\)

दिलेल्या विकलक समीकरणासाठी सर्वोच्च क्रम व्युत्पन्न 1 आहे.

आता, सर्वोच्च क्रम व्युत्पन्नाचा घात 3 आहे.

आपणास माहित आहे की विकलक समीकरणाची पदवी ही सर्वोच्च व्युत्पन्नाचा घात आहे

म्हणून, विकलक समीकरणाची पदवी 3 आहे.

संकल्पना: 

संकलन गुणक, (IF) अवकल समीकरणासाठी, \(\rm\frac{dx}{dy}+Px= Q\), जेथे P आणि Q ला y चे सतत कार्य दिले जाते.

IF = \(\rm e^{\int Pdy}\) 

Calculation:

दिलेले समीकरण असे सरळ केले जाऊ शकते, 

\(\rm \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} y}+ \frac{x}{2y} = \frac{5}{2}y\)   

मानक समीकरणाची समीकरणएक ची तुलना केल्यावर , \(\rm\frac{dx}{dy}+Px= Q\) , मिळते ,

P = \(\rm \frac{1}{2y}\) आणि Q = \(\rm \frac{5}{2}y\)

 ∴ IF = \(\rm e^{\int Pdy}\) = \(\rm e^{\int \frac{1}{2y}dy}\) 

⇒ IF = \(\rm e^{\frac{1}{2}\log y}\) = \(\rm e^{\log y^{\frac{1}{2}}}\)  

⇒ IF = \(\rm \sqrt{y}\) .  ( ∵ \(\rm e^{a \log x}= x^{a}\) ) 

पर्याय 1 हे योग्य उत्तर आहे. 

संकल्पना:

विभेदक समीकरणाचा अंश नेहमीच धनात्मक पूर्णांक असतो.

गणना :

क्रम m आणि अंश n चे भिन्न समीकरण विचारात घ्या.

या प्रकारचे प्रश्न पर्यायाने सोडवले जातील.

जसे आपल्याला माहित आहे की विभेदक समीकरणाची डिग्री नेहमीच सकारात्मक पूर्णांक असते.

परंतु पर्याय 2 मध्ये, पदवी 3/2 दिली आहे जी पूर्णांक नाही.

म्हणून, पर्याय 2 ही व्यवहार्य जोडी नाही.

संकल्पना:

क्रम: विकलक समीकरणाचा क्रम म्हणजे त्यात दिसणार्‍या सर्वोच्च व्युत्पन्नाचा क्रम असतो.

पदवी: विकलक समीकरणाची पदवी ही त्यात उद्भवणाऱ्या सर्वोच्च व्युत्पन्नाचा घात असतो, समीकरण समाक्षापासून मुक्त स्वरूपात व्यक्त केल्यानंतर व्युत्पन्नांचा संबंध आहे.

गणना:

दिलेल्याप्रमाणे:

\({\rm{y}} = {\rm{x}}{\left( {\frac{{{\rm{dy}}}}{{{\rm{dx}}}}} \right)^2} + {\left( {\frac{{{\rm{dx}}}}{{{\rm{dy}}}}} \right)}\)

\({\rm{y}} = {\rm{x}}{\left( {\frac{{{\rm{dy}}}}{{{\rm{dx}}}}} \right)^2} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{{{\rm{dy}}}}{{{\rm{dx}}}}} \right)}}}}\)

\(\Rightarrow {\rm{y}}{\left( {\frac{{{\rm{dy}}}}{{{\rm{dx}}}}} \right)} = {\rm{x}}{\left( {\frac{{{\rm{dy}}}}{{{\rm{dx}}}}} \right)^3} + 1\)

दिलेल्या विकलक समीकरणासाठी सर्वोच्च क्रम व्युत्पन्न 1 आहे.

आता, सर्वोच्च क्रम व्युत्पन्नाचा घात 3 आहे.

आपणास माहित आहे की विकलक समीकरणाची पदवी ही सर्वोच्च व्युत्पन्नाचा घात आहे

म्हणून, विकलक समीकरणाची पदवी 3 आहे.

संकल्पना: 

संकलन गुणक, (IF) अवकल समीकरणासाठी, \(\rm\frac{dx}{dy}+Px= Q\), जेथे P आणि Q ला y चे सतत कार्य दिले जाते.

IF = \(\rm e^{\int Pdy}\) 

Calculation:

दिलेले समीकरण असे सरळ केले जाऊ शकते, 

\(\rm \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} y}+ \frac{x}{2y} = \frac{5}{2}y\)   

मानक समीकरणाची समीकरणएक ची तुलना केल्यावर , \(\rm\frac{dx}{dy}+Px= Q\) , मिळते ,

P = \(\rm \frac{1}{2y}\) आणि Q = \(\rm \frac{5}{2}y\)

 ∴ IF = \(\rm e^{\int Pdy}\) = \(\rm e^{\int \frac{1}{2y}dy}\) 

⇒ IF = \(\rm e^{\frac{1}{2}\log y}\) = \(\rm e^{\log y^{\frac{1}{2}}}\)  

⇒ IF = \(\rm \sqrt{y}\) .  ( ∵ \(\rm e^{a \log x}= x^{a}\) ) 

पर्याय 1 हे योग्य उत्तर आहे. 

गणना

\((x \log x)\dfrac {dy}{dx}+y=2x \log x\)

⇒ \(\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x \log{x}} = 2\)

अशाप्रकारे, I.F. = \(e^{\int p \: dx } = e^{\int \frac{1}{x \log{x}} dx} = e^{ln (ln \: x)} = \ln x\)

\(\Rightarrow y(I.F.) = \int Q(x) \times I.F. \: d\)

\(\Rightarrow y(ln \: x) = \int 2 \times \ln x \: dx\)

\(\Rightarrow y(ln \: x) = 2 ( x \ln x - x) +c\)

x = e वर ⇒ \(y(e) - 0 = 2 \Rightarrow y(e)= 2\)

म्हणून, पर्याय 3 योग्य आहे.

गणना

\((x^2-y^2)dx+2xydy=0\)

\(\Rightarrow \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y^2-x^2}{2xy}\)

\(y=vx\) ठेवा ⇒ \(\dfrac{dy}{dx}=v+x\dfrac{dv}{dx}\)

\(\Rightarrow v+x\dfrac{dv}{dx}=\dfrac{v^2x^2-x^2}{2vx^2}\)

\(\Rightarrow v+x\dfrac{dv}{dx}=\dfrac{v^2-1}{2v}\)

\(\Rightarrow x\dfrac{dv}{dx}=\dfrac{-v^2-1}{2v}\)

\(\Rightarrow \dfrac{2vdv}{v^2+1}=-\dfrac{dx}{x}\)

एकत्रीकरण केल्यास, आपल्याकडे;

⇒ \(ln\vert v^2+1\vert=-ln\vert x\vert+lnc\)

⇒ \(\dfrac{y^2}{x^2}+1=\dfrac{c}{x}\)

(1,1) ठेवल्यास,

⇒ \(c=2\)

⇒ \(x^2+y^2-2x=0\)

म्हणून, हे त्रिज्या 1 असलेले एक वर्तुळ आहे.

म्हणून, पर्याय 2 योग्य आहे.

संकल्पना:

विभेदक समीकरणाचा अंश नेहमीच धनात्मक पूर्णांक असतो.

गणना :

क्रम m आणि अंश n चे भिन्न समीकरण विचारात घ्या.

या प्रकारचे प्रश्न पर्यायाने सोडवले जातील.

जसे आपल्याला माहित आहे की विभेदक समीकरणाची डिग्री नेहमीच सकारात्मक पूर्णांक असते.

परंतु पर्याय 2 मध्ये, पदवी 3/2 दिली आहे जी पूर्णांक नाही.

म्हणून, पर्याय 2 ही व्यवहार्य जोडी नाही.

नाभीय अंतराची लांबी \(4a\) असलेल्या आणि ज्यांचा अक्ष x-अक्षास समांतर आहे, अशा अन्वस्तांचे समीकरण आहे,

\(\left( y-k \right) ^{ 2 }=4a\left( x-h \right) \),

येथे \(4a\) हा स्थिरांक आहे आणि \(h\) आणि \(k\) हे प्राचल आहेत,

म्हणून विकलन समीकरणाची कोटी \(2\) आहे,

\(2\left( y-k \right) \dfrac { dy }{ dx } =4a\Longrightarrow 2a\dfrac { { d }^{ 2 }y }{ d{ x }^{ 2 } } +{ \left( \dfrac { dy }{ dx } \right) }^{ 2 }=0\)