त्रिकोणमिती MCQ Quiz in मराठी - Objective Question with Answer for Trigonometry - मोफत PDF डाउनलोड करा

दिलेले आहे:

\(tanA (1 - sinA) (secA + tanA)\)

गणना:

\(tanA (1 - sinA) (secA + tanA)\)

⇒ \({sinA\over cosA} (1 - sinA) ({1\over cosA} + {sinA \over cosA})\)

⇒ \({sinA\over cosA} (1 - sinA) ({1 + sinA\over cosA})\)

⇒ \({sinA\over cos^2A} (1 - sinA) ({1 + sinA})\)

⇒ \({sinA\over cos^2A} (1 - sin^2A) \)

⇒ \({sinA\over cos^2A} (cos^2A) \)

ज्याअर्थी, \(cos^2A = 1 - sin^2A \)

⇒ \(sinA\)

म्हणून, योग्य उत्तर \(sinA\) आहे.

दिलेले आहे:

आपल्याला याचे मूल्य काढायचे आहे: \(\rm \left[\frac{\cos 50^\circ}{1+\sin 50^\circ}\right]+\left[\frac{1+\sin 50^\circ}{\cos50^\circ}\right]\)

वापरलेले सूत्र:

cos² θ + sin² θ = 1

गणना:

\(\rm \left[\frac{\cos 50^\circ}{1+\sin 50^\circ}\right]+\left[\frac{1+\sin 50^\circ}{\cos50^\circ}\right]\)

दोन्ही पदांचा लसावि घ्या:

\(\frac{cos² 50° + (1 + sin 50°)² }{(1 + sin 50°) × cos 50°}\)

अंशाचा विस्तार करू:

cos² 50° + (1 + 2sin 50° + sin² 50°)

cos² θ + sin² θ = 1 हे नित्यसमीकरण वापरून:

1 + (1 + 2sin 50°)

2 + 2sin 50°

आता, समीकरण असे होईल:

\(\frac{2 + 2sin 50°}{(1 + sin 50°) × cos 50°}\)

अंशातून 2 बाहेर काढूयात:

\(\frac{2(1 + sin 50°)}{(1 + sin 50°) × cos 50°}\)

(1 + sin 50°) हे समान पद काढून टाकूयात:

2 / cos 50°

1 / cos 50° चे मूल्य sec 50° आहे.

म्हणून, समीकरण असे सरलीकृत होते: 2 sec 50°

∴ दिलेल्या समीकरणाचे मूल्य 2 sec 50° आहे.

दिलेले आहे:

sin 54°

cos 72°

वापरलेले सूत्र:

sin (90° - θ) = cos θ

cos (90° - θ) = sin θ

गणना:

सूत्राचा वापर करून, आपल्याकडे:

sin 54° = cos (90° - 54°)

sin 54° = cos 36°

cos 72° = sin (90° - 72°)

cos 72° = sin 18°

अशाप्रकारे, sin 54° + cos 72° हे असे लिहिता येते:

sin 54° + cos 72° = cos 36° + sin 18°

पर्याय 3: cos 36° + sin 18° हे योग्य उत्तर आहे.

\(3\sin P+4\cos Q=6\) ....(i)

\(4\sin Q+3\cos P=1\) ....(ii)

(i) आणि (ii) पासून, आपल्याकडे

\((3\sin P+4\cos Q)^2 + (4\sin Q+3\cos P)^2=37\)

\(\Rightarrow 24 \sin(P+Q)=12\)

\(\Rightarrow \sin(P+Q)= \dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow P+Q= \dfrac{5\pi}{6}\)

\(\Rightarrow R= \dfrac{\pi}{6}\)

म्हणून, पर्याय 'B' योग्य आहे.

आपल्याकडे, \(\tan^{-1}\big (\cot \dfrac{3\pi}{4}\big)\) 

\(=\tan^{-1}\big(\cot \big(\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{4}\big)\big)\)

\(=\tan^{-1}(-\tan\dfrac{\pi}{4}\big)\)

\(=\tan^{-1}(\tan(-\dfrac{\pi}{4}\big))\)

\(=-\dfrac{\pi}{4}\)

वापरलेले सूत्र:

sec (180° - θ) = - sec θ 

cosec (180° - θ) = cosec θ

cos θ × sec θ = 1 ; sin θ × cosec θ = 1

गणना:

cos 47° sec 133° + sin 44° cosec 136°

⇒ cos 47° × sec (180° - 47) + sin 44° cosec (180° - 44°)

⇒ cos 47° × (- sec 47°) + sin 44° × (cosec 44°)

⇒ -1 + 1 = 0

∴ योग्य उत्तर 0 आहे.

दिलेल्याप्रमाणे:

tan2θ + cot2θ  - sec2θ cosec2θ
वापरलेली संकल्पना:

1. tanα = sinα/cosα

2. cotα = 1/tanα

3. secα = 1/cosα

4. cosecα = 1/sinα

5. (a + b)2 - 2ab = a2 + b2

6. sin2α + cos2α = 1

गणना:

tan2θ + cot2θ  - sec2θ cosec2θ

\(\frac {sin^2θ}{cos^2θ} + \frac {cos^2θ}{sin^2θ} - \frac {1}{sin^2θ \times cos^2θ}\)

⇒ \(\frac {sin^4θ + cos^4θ - 1}{sin^2θ \times cos^2θ}\)

\(\frac {(sin^2θ + cos^2θ)^2 - 2sin^2θ cos^2θ - 1}{sin^2θ \times cos^2θ}\)

\(\frac {(1)^2 - 2sin^2θ cos^2θ - 1}{sin^2θ \times cos^2θ}\)

⇒ \(\frac {-2sin^2θ cos^2θ}{sin^2θ \times cos^2θ}\)

⇒ -2

∴ आवश्यक उत्तर -2 आहे.

Shortcut Trick 

हा प्रश्न सोडवण्यासाठी मूल्य पुटिंग पद्धत वापरा,

θ = 45° वापरा

tan2θ + cot2θ  - sec2θ cosec2θ

⇒ 12 + 12  - (√2)2(√2)2

⇒ 1 + 1 - 4

⇒ 2 - 4 = - 2

∴ या प्रश्नाचे योग्य उत्तर -2 आहे.

दिलेल्याप्रमाणे:

cos 2A cos 2B + sin2(A - B) - sin2(A + B)

वापरलेली संकल्पना:

cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b

sin²a - sin²b = sin(a + b) sin(a - b)

गणना:

cos 2A cos 2B + sin2(A - B) - sin2(A + B)

⇒ cos 2A cos 2B - [sin2(A + B) - sin2(A - B)] 

{sin2a - sin2b = sin(a + b) sin(a - b)}

⇒ cos 2A cos 2B - [sin(A + B + A - B) sin(A + B - A + B)]

⇒ cos 2A cos 2B - [sin(A + A) sin(B + B)]

⇒ cos 2A cos 2B - sin 2A sin 2B

⇒ cos (2A + 2B)

∴ आवश्यक उत्तर cos (2A + 2B) आहे.

दिलेली माहिती:

sec θ + tan θ = 5

वापरलेली संकल्पना:

जर sec θ + tan θ = y

तर sec θ - tan θ = 1/y

गणना:

sec θ + tan θ = 5  ----- (1)

तर,

sec θ - tan θ = 1/5 ------- (2)

समीकरण (1) आणि (2) वजा करुन

⇒ (sec θ + tan θ) - (sec θ - tan θ) = (5 - 1/5)

⇒ sec θ + tan θ - sec θ + tan θ = 24/5

⇒ 2 × tan θ = 24/5

⇒ tan θ = 12/5

∴ योग्य उत्तर 12/5 आहे.

दिल्याप्रमाणे: 

cos (36° - A) cos (36° + A) + cos (54° - A) cos (54° + A)

वापरलेले सूत्र:

cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b.

sin (90 - a) = cos a

गणना:

⇒ sin[90 – (36 – A)]sin[90 – (36 + A)] + cos (54° – A) cos (54° + A)

⇒ sin(54º + A)sin(54º – A) + cos (54° – A)cos (54° + A)

⇒ cos(A – B) नित्यसमीकरण ओळखा,

⇒ cos(54 + A – 54 + A) = cos(2A)

म्हणून, cos (36° - A) cos (36° + A) + cos (54° - A) cos (54° + A) चे मूल्य cos(2A) आहे.

दिलेल्याप्रमाणे:

{(3Sinθ – Cosθ)/(Cosθ + Sinθ)} = 1

गणना:

आपल्याकडे त्रिकोणमितीय समीकरण आहे

{(3Sinθ – Cosθ)/(Cosθ + Sinθ)} = 1

अंश आणि भाजक यांना sin θ ने भागल्यास, आपल्याला मिळते

⇒ [{(3sinθ – cosθ)/Sinθ}/{(cosθ + sinθ)/sinθ}] = 1

⇒ {(3 – cotθ)/(cotθ + 1)} = 1

⇒ 3 – cotθ = 1 + cotθ

⇒ 2cotθ = 2

cotθ = 1

मूल्य 1 आहे.

दिलेले आहे:

a cot θ + b cosec θ = p

b cot θ + a cosec θ = q

वापरलेले सूत्र:

Cosec² θ - cot² θ = 1

गणना:

a cot θ + b cosec θ = p

दोन्ही बाजूंचा वर्ग करूया

(a cot θ + b cosec θ)² = (p)²

a² cot² θ  + b2 cosec2 θ  + 2 × ab cot θ × cosec θ = p² ----- (1)

b cot θ + a cosec θ = q

दोन्ही बाजूंचा वर्ग करूया

(b cot θ + a cosec θ)2 = (q)2

b2 cot2 θ  + a2 cosec2 θ  + 2 × ab cot θ × cosec θ = q2 ----- (2)

समीकरण (1) आणि (2) वजा करणे

⇒ (p² - q²) = a2 cot2 θ  + b2 cosec2 θ  + 2 × ab × cot θ × cosec θ - (b2 cot2 θ + a2 cosec2 θ  + 2 × ab × cot θ × cosec θ)

⇒ a2 cot2 θ - a2 cosec2 θ + b2 cosec2 θ - b2 cot2 θ 

दिलेले आहे:

sec2 A + tan2 A = \(\frac{4}{{17}}\)

वापरलेली संकल्पना:

sec2 A - tan2 A = 1

a² - b² = (a + b)(a - b)

गणना:

⇒ sec4 A - tan4 A = (sec² A + tan² A )(sec2 A - tan2 A )

⇒ sec4 A - tan4 A = 4/17 × 1

⇒ sec4 A - tan4 A = 4/17

∴ पर्याय 3 हे योग्य उत्तर आहे. 

संकल्पना:

sin(90 - a) = cos a

Cos(90 - a) = sin a

गणना

sin 25° sin 65° – cos 25° cos 65°

⇒ sin 25° sin (90 - 25)° – cos 25° cos (90 - 25)°

⇒ sin 25° cos 25° – cos 25° sin 25°

⇒ 0

मूल्य 0 आहे.

दिलेले आहे:

tan 40° = α 

वापरलेले सूत्र:

Tan (A - B) = (tan A - tan B)/1 + tan A × tan B

tan (90° - θ) = cot θ 

cot θ × tan θ = 1

गणना:

⇒ \(\frac{tan320^0 - tan 310^0}{1 + tan320^0.tan 310^0}\) = tan (320° - 310°)

⇒ tan 10° 

आता, आपण लिहू शकतो

Tan 10° = tan (50° - 40°)

⇒ [(tan 50° - tan 40°)/1 + (tan 50° × tan 40°)]

⇒ [tan (90° - 40°) - tan 40°/1 + tan (90° - 40°) × tan 40°]

⇒ cot 40° - tan 40°/1 + cot 40° × tan 40°

⇒ (1/α - α)/1 + 1

⇒ (1/α - α)/2

⇒ (1 - α²)/2α 

∴ योग्य उत्तर (1 - α2)/2α आहे.