Skew Lines MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Skew Lines - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना

\(\vec{a}=(2,1,-3)\)

\(\overrightarrow{\mathrm{b}}=(-1,-3,-5)\)

\(\overrightarrow{\mathrm{p}} \times \overrightarrow{\mathrm{q}}=\left|\begin{array}{ccc} \hat{\mathrm{i}} & \hat{\mathrm{j}} & \hat{\mathrm{k}} \\ 1 & 2 & -3 \\ 2 & 4 & -5 \end{array}\right|\)

= \(2 \hat{i}-\hat{\mathrm{j}}\)

\(\overrightarrow{\mathrm{b}}-\overrightarrow{\mathrm{a}}=-3 \hat{\mathrm{i}}-4 \hat{\mathrm{j}}-2 \hat{\mathrm{k}}\)

\(S_{d}=\frac{|(\vec{b}-\vec{a}) \cdot(\overrightarrow{\mathrm{p}} \times \overrightarrow{\mathrm{q}})|}{|\overrightarrow{\mathrm{p}} \times \overrightarrow{\mathrm{q}}|}\)

= \(\frac{2}{\sqrt{5}}\)

\(\left(\mathrm{S}_{\mathrm{d}}\right)^{2}=\frac{4}{5}\)

m = 4, n = 5 ⇒ m + n = 9

इसलिए, विकल्प 2 सही है। 

गणना:

L₁ पर P(2λ + 1, 3λ + 2, 4λ + 3)

L₂ पर Q(3μ + 2, 4μ + 4, 5μ + 5)

PQ के दिक् अनुपात = 3μ - 2λ + 1, 4μ - 3λ + 2, 5μ - 4λ + 2

PQ ⊥ L₁

⇒ (3μ - 2λ + 1)2 + (4μ - 3λ + 2)3 + (5μ - 4λ + 2)4 = 0

38μ - 29λ + 16 = 0 …(1)

PQ ⊥ L₂

⇒ (3μ - 2λ + 1)3 + (4μ - 3λ + 2)4 + (5μ - 4λ + 2)5 = 0

50μ - 38λ + 21 = 0 …(2)

(1) और (2) से

\(λ=\frac{1}{3} ; \mu=\frac{-1}{6}\)

∴ \(\mathrm{P}\left(\frac{5}{3}, 3, \frac{13}{3}\right) \& \ \mathrm{Q}\left(\frac{3}{2}, \frac{10}{3}, \frac{25}{6}\right)\)

रेखा PQ

\(\begin{array}{ccc} \frac{x-\frac{5}{3}}{\frac{1}{6}} & \frac{y-3}{\frac{-1}{3}} & \frac{z-\frac{13}{3}}{\frac{1}{6}} \end{array}\)

\(\frac{x-\frac{5}{3}}{1}=\frac{y-3}{-2}=\frac{z-\frac{13}{3}}{1}\)

\(\text { Point }\left(\frac{14}{3},-3, \frac{22}{3}\right)\)

रेखा PQ पर स्थित है। 

अतः विकल्प 4 सही है। 

गणना

\(\frac{x+3}{2}=\frac{y-6}{1}=\frac{z-5}{3}\)

रेखाएँ निम्न बिंदुओं से गुजरती हैं

\(\vec{a}_{1}=(3,2,1) \text { और } \vec{a}_{2}=(-3,6,5)\),

\(\vec{b}_{1}=2 \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k}\)

\(\vec{b}_{1}=2 \hat{i}+\hat{j}-3 k, \vec{a}_{2}-\vec{a}_{1}=6 \hat{i}-4 f-4 \hat{k}\)

न्यूनतम दूरी = \(\frac{\left|\left(\vec{a}_{2}-\vec{a}_{1}\right)\left(\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}\right)\right|}{\left|\left(\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}\right)\right|}\)

\(\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}=\left|\begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & -1 \\ 2 & 1 & 3 \end{array}\right|=10 \hat{i}-8 \hat{j}-4 \hat{k}\)

\(\left(\vec{a}_{2}-\vec{a}_{1}\right) \cdot\left(\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}\right)=60+32+16=108\)

\(\left|\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}\right|=\sqrt{100+64+16}=\sqrt{180}\)

\(S . D=\frac{108}{\sqrt{180}}=\frac{108}{6 \sqrt{5}}=\frac{18}{\sqrt{5}}\)

इसलिए, विकल्प 1 सही है। 

संकल्पना:

रेखाओं के समीकरण दिए गए हैं:

1. रेखा 1: \(\frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{3} = \frac{z-1}{4} \)

2. रेखा 2: \(\frac{x+2}{7} = \frac{y-2}{8} = \frac{z+1}{2} \)

दो विषमतली रेखाओं के बीच न्यूनतम दूरी D इस प्रकार दी जाती है:

\(D = \frac{| (\vec{d_1} \times \vec{d_2}) \cdot (\vec{r_2} - \vec{r_1}) |}{\| \vec{d_1} \times \vec{d_2} \|} \)

जहाँ:

\(\vec{d_1} \) और \(\vec{d_2} \) रेखाओं के दिशा सदिश हैं

\(\vec{r_1} \) और \( \vec{r_2} \) क्रमशः रेखा 1 और रेखा 2 पर बिंदुओं के स्थिति सदिश हैं

रेखा 1 का दिशा सदिश: \(\vec{d_1} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k} \)

रेखा 2 का दिशा सदिश: \(\vec{d_2} = 7\hat{i} + 8\hat{j} + 2\hat{k} \)

\(\vec{r_2} - \vec{r_1} = (-2 - 1)\hat{i} + (2 - 2)\hat{j} + (-1 - 1)\hat{k} \)

\(\vec{r_2} - \vec{r_1} = -3\hat{i} + 0\hat{j} - 2\hat{k} \)

\(\vec{d_1} \times \vec{d_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 4 \\ 7 & 8 & 2 \end{vmatrix} \)

\(\vec{d_1} \times \vec{d_2} = \hat{i} \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 8 & 2 \end{vmatrix} - \hat{j} \begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 7 & 2 \end{vmatrix} + \hat{k} \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 7 & 8 \end{vmatrix} \)

\(\vec{d_1} \times \vec{d_2} = \hat{i} (3 \cdot 2 - 4 \cdot 8) - \hat{j} (2 \cdot 2 - 4 \cdot 7) + \hat{k} (2 \cdot 8 - 3 \cdot 7) \)

\(\vec{d_1} \times \vec{d_2} = \hat{i} (6 - 32) - \hat{j} (4 - 28) + \hat{k} (16 - 21) \)

\(\vec{d_1} \times \vec{d_2} = -26\hat{i} + 24\hat{j} - 5\hat{k} \)

\(\|\vec{d_1} \times \vec{d_2}\| = \sqrt{(-26)^2 + 24^2 + (-5)^2} \)

\(\|\vec{d_1} \times \vec{d_2}\| = \sqrt{676 + 576 + 25} = \sqrt{1277} \)

\((\vec{d_1} \times \vec{d_2}) \cdot (\vec{r_2} - \vec{r_1}) = (-26\hat{i} + 24\hat{j} - 5\hat{k}) \cdot (-3\hat{i} + 0\hat{j} - 2\hat{k}) \)

= (-26)(-3) + (24)(0) + (-5)(-2) = 78 + 0 + 10 = 88

\(D = \frac{| (\vec{d_1} \times \vec{d_2}) \cdot (\vec{r_2} - \vec{r_1}) |}{\| \vec{d_1} \times \vec{d_2} \|} \)

\(D = \frac{|88|}{\sqrt{1277}} = \frac{88}{\sqrt{1277}} \)

यह दो रेखाओं के बीच न्यूनतम दूरी है।

इसलिए, न्यूनतम दूरी विकल्प (1) है।

गणना

\(\frac{x-2}{1}=\frac{y-3}{1}=\frac{z-4}{-t}=k_{1}\)

\(\frac{x-1}{t}=\frac{y-4}{2}=\frac{z-5}{1}=k_{2}\)

पहली रेखा से:

\(x=2+k_{1}\)

\(y=3+k_{1}\)

\(z=4-t k_{1}\)

दूसरी रेखा से:

\(x=1+t k_{2}\)

\(y=4+2 k_{2}\)

\(z=5+k_{2}\)

x के लिए:

\(2+k_{1}=1+t k_{2}\) ...(1)

y के लिए:

\(3+k_{1}=4+2 k_{2}\) ...(2)

⇒ \(\begin{array}{l} k_{1}-2 k_{2}=1 \\ k_{1}=1+2 k_{2} \end{array}\)

z के लिए:

\(4-t k_{1}=5+k_{2}\) ...(3)

पहले समीकरण में \(k_{1}=1+2 k_{2}\) प्रतिस्थापित करने पर:

⇒ \(2+1+2 k_{2}=1+t k_{2}\)

⇒ \(3+2 k_{2}=1+t k_{2}\)

⇒ \(2+2 k_{2}=t k_{2}\)

⇒ \(t k_{2}-2 k_{2}=2\)

⇒ \(k_{2}(t-2)=2\)

⇒ \(k_{2}=\frac{2}{t-2}\)

तीसरे समीकरण में \(k_{1}=1+2 k_{2} \text { और } k_{2}=\frac{2}{t-2}\) प्रतिस्थापित करने पर:

⇒ \(4-t\left(1+2\left(\frac{2}{t-2}\right)\right)=5+\left(\frac{2}{t-2}\right)\)

⇒ \(4-t-\frac{4 t}{t-2}=5+\frac{2}{t-2}\)

सरल करने के लिए, दोनों पक्षों को t - 2 से गुणा करने पर:

⇒ \(4(t-2)-t(t-2)-4 t=5(t-2)+2\)

⇒ \(4 t-8-t^{2}+2 t-4 t=5 t-10+2\)

⇒ \(4 t-t^{2}-2 t-8=5 t-8\)

⇒ \(-t^{2}-2 t=5 t\)

⇒ \(-t^{2}-7 t=0\)

⇒ \(-t(t+7)=0\)

⇒ \(t=0 \text { or } t=-7\)

इसलिए, रेखाएँ t के ठीक दो मानों के लिए प्रतिच्छेद करती हैं।

इसलिए, सही विकल्प: विकल्प 2: ठीक दो मान है। 

संकल्पना:

\( \vec{r_1} = \vec a_1 + \lambda \vec b_1\)और \(\vec{r_2} = \vec a_2 + \mu\vec b_2\) रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी का परिमाण निम्न है

\(d = \left | \frac{(\vec b_1\times\vec b_2).(\vec a_2 - \vec a_1)}{|\vec b_1\times\vec b_2|} \right|\)

दिया गया​ है:  

 \(\frac{x-0}{2} = \frac{y-0}{-3}=\frac {z-0}{1} \) और \(\frac{x-2}{3} = \frac{y-1}{-5}=\frac {z+2}{2} \) रेखाएँ।

दिए गए समीकरणों को फिर से लिखने पर,

\( \vec{r_1} = \lambda(2\vec i-3\vec j+\vec k) \) और\( \vec{r_2} = (2\vec i+\vec j-2\vec k) + \mu(3\vec i-5\vec j+2\vec k) \)

⇒ \(\vec a_1=0\) ,  \(\vec b_1=2\vec i-3\vec j+\vec k\) और  \(\vec a_2=2\vec i+\vec j-2\vec k\),  \(\vec b_2=3\vec i-5\vec j+2\vec k\)

अत: दी गई रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी का परिमाण निम्न है​

\(d = \left | \frac{(\vec b_1\times\vec b_2).(\vec a_2 - \vec a_1)}{|\vec b_1\times\vec b_2|} \right|\)

\(d = \left | \frac{[(2\vec i-3\vec j+\vec k)\times(3\vec i-5\vec j+2\vec k)].[(2\vec i+\vec j-2\vec k)-0]}{|(2\vec i-3\vec j+\vec k)\times(3\vec i-5\vec j+2\vec k)|} \right|\)

\(d = \left | \frac{(-\vec i-\vec j-\vec k).(2\vec i+\vec j-2\vec k)]}{|-\vec i-\vec j-\vec k|} \right|\)

\(d = \frac{1}{\sqrt{3}}\)

इसलिए, दी गई रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी का परिमाण \(\frac{1}{\sqrt3}\) है।

अवधारणा:

• यदि दो रेखाएं समानांतर हैं तो उनके बीच की दूरी तय होती है।
• दो समानांतर रेखाएँ \(\rm \vec{r}=\vec{a}_1 +\lambda \vec{b}\) और \(\rm r=\vec{a}_2 + \mu\vec{b}\) के बीच की दूरी इस सूत्र द्वारा दी जाती है: \(\rm d=\left|\dfrac{\vec{b}\times (\vec{a}_2-\vec{a}_1)}{|\vec{b}|}\right|\)।

गणना:

दो समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी के लिए सूत्र का उपयोग करके हम कह सकते हैं कि दूरी \(\rm d=\left|\dfrac{\vec{b}\times (\vec{a}_2-\vec{a}_1)}{|\vec{b}|}\right|\) है।

संकल्पना:

विषमतलीय रेखा \(\frac{{x - {x_1}}}{{{a_1}}} = \frac{{y - {y_1}}}{{{b_1}}} = \frac{{z - {z_1}}}{{{c_1}}}\;and\frac{{x - {x_2}}}{{{a_2}}} = \frac{{y - {y_2}}}{{{b_2}}} = \frac{{z - {z_2}}}{{{c_2}}}\) के बीच की सबसे छोटी दूरी निम्न द्वारा दी गयी है:

\(SD = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_2} - {x_1}}&{{y_2} - {y_1}}&{{z_2} - {z_1}}\\ {{a_1}}&{{b_1}}&{{c_1}}\\ {{a_2}}&{{b_2}}&{{c_2}} \end{array}} \right|}}{{\sqrt {\left\{ {{{\left( {{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}} \right)}^2} + {{\left( {{b_1}{c_2} - {b_2}{c_1}} \right)}^2} + {{\left( {{c_1}{a_2} - {c_2}{a_1}} \right)}^2}} \right\}} }}\)

गणना:

दिया गया है: रेखाओं के समीकरण \(\frac{{x - 8}}{3} = \frac{{y + 9}}{{ - 16}} = \frac{{z - 10}}{7}\;\;and\;\frac{{x - 15}}{3} = \frac{{y - 29}}{8} = \frac{{z - 5}}{{ - 5}}\) हैं। 

दिए गए समीकरण की तुलना \(\frac{{x - {x_1}}}{{{a_1}}} = \frac{{y - {y_1}}}{{{b_1}}} = \frac{{z - {z_1}}}{{{c_1}}}\;and\frac{{x - {x_2}}}{{{a_2}}} = \frac{{y - {y_2}}}{{{b_2}}} = \frac{{z - {z_2}}}{{{c_2}}}\)के साथ करने पर हमें निम्न प्राप्त होता है

⇒ x1 = 8, y1 = - 9, z1 = 10, a1 = 3, b1 = -16 और c1 = 7

उसीप्रकार, x2 = 15, y2 = 29, z2 = 5, a2 = 3, b2 = 8 और c2 = -5

इसलिए, \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_2} - {x_1}}&{{y_2} - {y_1}}&{{z_2} - {z_1}}\\ {{a_1}}&{{b_1}}&{{c_1}}\\ {{a_2}}&{{b_2}}&{{c_2}} \end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 7&{38}&{ - 5}\\ 3&{ - 16}&7\\ 3&8&{ - 5} \end{array}} \right|\)

चूँकि हम जानते हैं कि दो विषमतलीय रेखाओं के बीच की सबसे छोटी दूरी निम्न दी द्वारा गयी है:\(SD = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_2} - {x_1}}&{{y_2} - {y_1}}&{{z_2} - {z_1}}\\ {{a_1}}&{{b_1}}&{{c_1}}\\ {{a_2}}&{{b_2}}&{{c_2}} \end{array}} \right|}}{{\sqrt {\left\{ {{{\left( {{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}} \right)}^2} + {{\left( {{b_1}{c_2} - {b_2}{c_1}} \right)}^2} + {{\left( {{c_1}{a_2} - {c_2}{a_1}} \right)}^2}} \right\}} }}\)

⇒ SD = 14 units

इसलिए, विकल्प B सही उत्तर है।

अवधारणा:

समानांतर रेखाओं \(\vec{r}= \vec{a_{1}}+ \lambda \vec{b} \) और \(\vec{r}= \vec{a_{2}}+ \mu \vec{b} \) के बीच की सबसे छोटी दूरी को \(d= \left | \frac{\vec{b}\times (\vec{a_{2}}-\vec{a_{1}})}{|b|} \right | \) द्वारा दिया जाता है

गणना:

L₁ : \(\vec{r}=(3s+2) \hat{i}-3\hat{j}+(4s+4)\hat{k}\) को \(\vec{r}=2 \hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k}+s(3 \hat{i}+4\hat{k})\) के रूप में लिखा जा सकता है।

L₂ : \(\vec{r}=(3t+2) \hat{i}-3\hat{j}+(4t)\hat{k}\) को \(\vec{r}=2 \hat{i}-3\hat{j}+t(3 \hat{i}+4\hat{k})\) के रूप में लिखा जा सकता है।

यहाँ, हम देखते हैं कि दोनों रेखाएं समानांतर हैं और \(\vec{a_{1}}=2\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k}\) , \(\vec{a_{2}}= 2\hat{i}-3\hat{j}\) और \(\vec{b}= 3\hat{i}+4\hat{k}\)।

\(\therefore \) समानांतर रेखाओं L₁ और L₂ के बीच की सबसे छोटी दूरी:

\(d= \left | \frac{(3\hat{i}+4\hat{k})\times [(2\hat{i}-3\hat{j})-(2\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k})]}{|3\hat{i}+4\hat{k}|} \right | \)

⇒ \(d= \left | \frac{(3\hat{i}+4\hat{k})\times (-4\hat{k})}{\sqrt{9+16}} \right | \)

⇒ \(d= \left | \frac{12\hat{j}}{5} \right | \) ⇒ \(d= \frac{12}{5} =2.4\) इकाई

इसलिए, विकल्प 1 सही है ।

अवधारणा:

समानांतर रेखाओं \(\vec{r}= \vec{a_{1}}+ \lambda \vec{b} \) और \(\vec{r}= \vec{a_{2}}+ \mu \vec{b} \) के बीच की सबसे छोटी दूरी को \(d= \left | \frac{\vec{b}\times (\vec{a_{2}}-\vec{a_{1}})}{|b|} \right | \) द्वारा दिया जाता है

गणना:

L₁ : \(\vec{r}=(3s+2) \hat{i}-3\hat{j}+(4s+4)\hat{k}\) को \(\vec{r}=2 \hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k}+s(3 \hat{i}+4\hat{k})\) के रूप में लिखा जा सकता है।

L₂ : \(\vec{r}=(3t+2) \hat{i}-3\hat{j}+(4t)\hat{k}\) को \(\vec{r}=2 \hat{i}-3\hat{j}+t(3 \hat{i}+4\hat{k})\) के रूप में लिखा जा सकता है।

यहाँ, हम देखते हैं कि दोनों रेखाएं समानांतर हैं और \(\vec{a_{1}}=2\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k}\) , \(\vec{a_{2}}= 2\hat{i}-3\hat{j}\) और \(\vec{b}= 3\hat{i}+4\hat{k}\)।

\(\therefore \) समानांतर रेखाओं L₁ और L₂ के बीच की सबसे छोटी दूरी:

\(d= \left | \frac{(3\hat{i}+4\hat{k})\times [(2\hat{i}-3\hat{j})-(2\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k})]}{|3\hat{i}+4\hat{k}|} \right | \)

⇒ \(d= \left | \frac{(3\hat{i}+4\hat{k})\times (-4\hat{k})}{\sqrt{9+16}} \right | \)

⇒ \(d= \left | \frac{12\hat{j}}{5} \right | \) ⇒ \(d= \frac{12}{5} =2.4\) इकाई

इसलिए, विकल्प 1 सही है ।

अवधारणा:

रेखाओं \(\frac{x-x_{1}}{a_{1}}=\frac{y-y_{1}}{b_{1}}=\frac{z-z_{1}}{c_{1}}\) और \(\frac{x-x_{2}}{a_{2}}=\frac{y-y_{2}}{b_{2}}=\frac{z-z_{2}}{c_{2}}\) के बीच की सबसे छोटी दूरी को निम्न द्वारा दिया जाता है: \(d= \frac{\begin{vmatrix} x_{2}-x_{1} &y_{2}-y_{1} &z_{2}-z_{1} \\ a_{1}& b_{1} & c_{1}\\ a_{2}& b_{2} & c_{2} \end{vmatrix}}{\sqrt{(b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1})^{2}+(c_{1}a_{2}-c_{2}a_{1})^{2}+(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})^{2}}}\)

गणना:

यहाँ हम रेखाओं \(\frac{x}{-1}=\frac{y-2}{0}=\frac{z}{1}\) और \(\frac{x+2}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z}{0}\) बीच की न्यूनतम दूरी खोजना है 

मान लें कि रेखा L₁ को समीकरण \(\frac{x}{-1}=\frac{y-2}{0}=\frac{z}{1}\) और रेखा L₂ को समीकरण \(\frac{x+2}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z}{0}\) द्वारा दर्शाया जाए।

⇒ x1 = 0, y1 = 2, z1 = 0 और a1 = -1, b1 = 0, c1 = 1

⇒ x2 = -2, y2 = 0, z2 = 0 और a2 = 1, b2 = 1, c2 = 0

∵ रेखाओं के बीच सबसे छोटी दूरी इस प्रकार दी गई है: \(d= \frac{\begin{vmatrix} x_{2}-x_{1} &y_{2}-y_{1} &z_{2}-z_{1} \\ a_{1}& b_{1} & c_{1}\\ a_{2}& b_{2} & c_{2} \end{vmatrix}}{\sqrt{(b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1})^{2}+(c_{1}a_{2}-c_{2}a_{1})^{2}+(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})^{2}}}\)

⇒ \(d= \frac{\begin{vmatrix} -2-0 &0-2&0-0 \\ -1& 0 & 1\\ 1& 1 & 0 \end{vmatrix}}{\sqrt{(0-1)^{2}+(0-1)^{2}+(-1-0)^{2}}}\)

⇒ \(d= \frac{\begin{vmatrix} -2 &-2&0 \\ -1& 0 & 1\\ 1& 1 & 0 \end{vmatrix}}{\sqrt{1+1+1}}\)

⇒ d = 0

इसलिए, विकल्प 4 सही है ।

अवधारणा:

समानांतर रेखाओं \(\vec{r}= \vec{a_{1}}+ \lambda \vec{b} \) और \(\vec{r}= \vec{a_{2}}+ \mu \vec{b} \) बीच की सबसे छोटी दूरी को \(d= \left | \frac{\vec{b}\times (\vec{a_{2}}-\vec{a_{1}})}{|b|} \right | \) द्वारा दिया जाता है

गणना:

दिया गया: रेखाओं \(\vec{r}= \hat{i}+\hat{2k}+ \lambda ( \hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k} )\) और \(\vec{r}= \hat{i}+2\hat{j}+\hat{2k}+ \lambda ( \hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k} )\) का समीकरण।

इसलिए, उपरोक्त समीकरणों की तुलना \(\vec{r}= \vec{a_{1}}+ \lambda \vec{b} \) और \(\vec{r}= \vec{a_{2}}+ \mu \vec{b} \) के साथ करके हमें मिलता है

⇒ \(\vec{a_{1}}= \hat{i}+2\hat{k}\) , \(\vec{a_{2}}= \hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k}\) और \(\vec{b}= \hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}\)।

\(\therefore \) समानांतर रेखाओं \(\vec{r}= \vec{a_{1}}+ \lambda \vec{b} \) और \(\vec{r}= \vec{a_{2}}+ \mu \vec{b} \) के बीच की सबसे छोटी दूरी को \(d= \left | \frac{\vec{b}\times (\vec{a_{2}}-\vec{a_{1}})}{|b|} \right | \) द्वारा दिया जाता है:

\(\Rightarrow d= \left | \frac{(\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k})\times [(\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k})-(\hat{i}+2\hat{k})]}{|\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}|} \right | \)

⇒ \(d= \left | \frac{(\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k})\times 2\hat{j}}{|\sqrt{1+4+9}|} \right | \)

⇒ \(d= \left | \frac{2\hat{k}-6\hat{i}}{\sqrt{14}} \right | \)

⇒ \(d = \sqrt \frac{{40}}{{14}}\)

\(\Rightarrow d = \sqrt \frac{{40}}{{14}} \)\(\Rightarrow d = \sqrt \frac{{20}}{{7}} \)

⇒ k = 20

इसलिए, विकल्प 4 सही है ।

संकल्पना:

विषमतलीय रेखा\(\frac{{x - {x_1}}}{{{a_1}}} = \frac{{y - {y_1}}}{{{b_1}}} = \frac{{z - {z_1}}}{{{c_1}}}\;and\frac{{x - {x_2}}}{{{a_2}}} = \frac{{y - {y_2}}}{{{b_2}}} = \frac{{z - {z_2}}}{{{c_2}}}\)  के बीच की सबसे छोटी दूरी निम्न दी गयी है:

\(SD = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_2} - {x_1}}&{{y_2} - {y_1}}&{{z_2} - {z_1}}\\ {{a_1}}&{{b_1}}&{{c_1}}\\ {{a_2}}&{{b_2}}&{{c_2}} \end{array}} \right|}}{{\sqrt {\left\{ {{{\left( {{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}} \right)}^2} + {{\left( {{b_1}{c_2} - {b_2}{c_1}} \right)}^2} + {{\left( {{c_1}{a_2} - {c_2}{a_1}} \right)}^2}} \right\}} }}\)

गणना:

दिया गया है: रेखाओं का समीकरण \(\frac{{x + 3}}{{ - \;4}} = \frac{{y - 6}}{3} = \frac{z}{2}\;and \ \frac{{x + 2}}{{ - \;4}} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 7}}{1}\)  है। 

दिए गए समीकरण की तुलना \(\frac{{x - {x_1}}}{{{a_1}}} = \frac{{y - {y_1}}}{{{b_1}}} = \frac{{z - {z_1}}}{{{c_1}}}\;and\frac{{x - {x_2}}}{{{a_2}}} = \frac{{y - {y_2}}}{{{b_2}}} = \frac{{z - {z_2}}}{{{c_2}}}\)के साथ करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

⇒ x₁ = - 3, y₁ = 6, z₁ = 0, a₁ = - 4, b₁ = 3 और c₁ = 2

उसीप्रकार, x₂ = - 2, y₂ = 0, z₂ = 7, a₂ = - 4, b₂ = 1 और c₂ = 1

इसलिए, \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_2} - {x_1}}&{{y_2} - {y_1}}&{{z_2} - {z_1}}\\ {{a_1}}&{{b_1}}&{{c_1}}\\ {{a_2}}&{{b_2}}&{{c_2}} \end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - \;6}&7\\ { - \;4}&3&2\\ { - \;4}&1&1 \end{array}} \right|\)

उसीप्रकार, \(\sqrt {\left\{ {{{\left( {{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}} \right)}^2} + {{\left( {{b_1}{c_2} - {b_2}{c_1}} \right)}^2} + {{\left( {{c_1}{a_2} - {c_2}{a_1}} \right)}^2}} \right\}} = \sqrt {81} = 9\)

चूँकि हम जानते हैं कि दो विषमतलीय रेखाओं के बीच की सबसे छोटी दूरी निम्न दी गयी है:\(SD = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_2} - {x_1}}&{{y_2} - {y_1}}&{{z_2} - {z_1}}\\ {{a_1}}&{{b_1}}&{{c_1}}\\ {{a_2}}&{{b_2}}&{{c_2}} \end{array}} \right|}}{{\sqrt {\left\{ {{{\left( {{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}} \right)}^2} + {{\left( {{b_1}{c_2} - {b_2}{c_1}} \right)}^2} + {{\left( {{c_1}{a_2} - {c_2}{a_1}} \right)}^2}} \right\}} }}\)

\(\Rightarrow SD = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - \;6}&7\\ { - \;4}&3&2\\ { - \;4}&1&1 \end{array}} \right|}}{9} = \frac{{81}}{9} = 9\)

अवधारणा -

दो रेखाओं के बीच न्यूनतम दूरी है:

d = \(\left|\frac{\left(\vec{a}_2-\vec{a}_1\right) \cdot\left(\vec{b}_1 \times \vec{b}_2\right)}{\left|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2\right|}\right|\)

स्पष्टीकरण -

दी गई रेखाएँ निम्नलिखित हैं:

\(\frac{x-4}{4}=\frac{y+2}{5}=\frac{z+3}{3}\) और \( \frac{x-1}{3}=\frac{y-3}{4}=\frac{z-4}{2}\)

इसलिए, \(\vec{b}_1=4 \hat{i}+5 \hat{j}+3 \hat{k}\)

\(\vec{b}_2=3 \hat{i}+4 \hat{j}+2 \hat{k}\)

\(\vec{a}_1=4 \hat{i}-2 \hat{j}-3 \hat{k}\) , \( \vec{a}_2=\hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k}\)

∴ \(\vec{b}_1 \times \vec{b}_2=\left|\begin{array}{lll} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 4 & 5 & 3 \\ 3 & 4 & 2 \end{array}\right|\)

= \((10-12) \hat{i}-(8-9) \hat{j}+(16-15) \hat{k}\)

= \(-2 \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}\)

सबसे छोटी दूरी, \(d=\left|\frac{\left(\vec{a}_2-\vec{a}_1\right) \cdot\left(\vec{b}_1 \times \vec{b}_2\right)}{\left|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2\right|}\right|\)

= \(\left|\frac{(3 \hat{i}-5 \hat{j}-7 \hat{k}) \cdot(-2 \hat{i}+\hat{j}+\hat{k})}{\sqrt{4+1+1}}\right|\)

= \(\left|\frac{-6-5-7}{\sqrt{6}}\right|=\frac{18}{\sqrt{6}}=3 \sqrt{6}\) इकाई

अतः विकल्प (2) सही है।

अवधारणा:

रेखाओं \(\frac{x-x_{1}}{a_{1}}=\frac{y-y_{1}}{b_{1}}=\frac{z-z_{1}}{c_{1}}\) और \(\frac{x-x_{2}}{a_{2}}=\frac{y-y_{2}}{b_{2}}=\frac{z-z_{2}}{c_{2}}\) के बीच की सबसे छोटी दूरी को निम्न द्वारा दिया जाता है:

\(d= \frac{\begin{vmatrix} x_{2}-x_{1} &y_{2}-y_{1} &z_{2}-z_{1} \\ a_{1}& b_{1} & c_{1}\\ a_{2}& b_{2} & c_{2} \end{vmatrix}}{\sqrt{(b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1})^{2}+(c_{1}a_{2}-c_{2}a_{1})^{2}+(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})^{2}}}\)

Calculation:

गणना:

यहाँ हम रेखाओं \(\frac{x-5}{7}=\frac{y+2}{-5}=\frac{z}{1}\) और \(\frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z}{3}\) बीच की न्यूनतम दूरी खोजना है

मान लें कि रेखा L1 को समीकरण \(\frac{x-5}{7}=\frac{y+2}{-5}=\frac{z}{1}\) और रेखा L2 को समीकरण \(\frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z}{3}\) द्वारा दर्शाया जाए।

⇒ x1 = 5, y1 = -2, z1 = 0  और a1 = 7, b1 = -5, c1 = 1

⇒ x2 = 0, y2 = 0, z2 = 0  और a2 = 1, b2 = 2, c2 = 3

∵ रेखाओं के बीच सबसे छोटी दूरी इस प्रकार दी गई है:\(d= \frac{\begin{vmatrix} x_{2}-x_{1} &y_{2}-y_{1} &z_{2}-z_{1} \\ a_{1}& b_{1} & c_{1}\\ a_{2}& b_{2} & c_{2} \end{vmatrix}}{\sqrt{(b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1})^{2}+(c_{1}a_{2}-c_{2}a_{1})^{2}+(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})^{2}}}\)

⇒ \(d= \frac{\begin{vmatrix} 0-5 &0+2&0-0 \\ 7& -5 & 1\\ 1& 2 & 3 \end{vmatrix}}{\sqrt{(-15-2)^{2}+(1-21)^{2}+(14+5)^{2}}}\)

⇒ \(d= \frac{\begin{vmatrix} -5 &2&0 \\ 7& -5 & 1\\ 1& 2 & 3 \end{vmatrix}}{\sqrt{(-17)^{2}+(-20)^{2}+(19)^{2}}}\)

⇒ \(d= \frac{-5(-15-2)-2(21-1)}{\sqrt{289+400+361}}\)

⇒ \(d= \frac{85-40}{\sqrt{1050}} = \frac{9}{\sqrt {42}}\)

इसलिए, विकल्प  सही है ।