Direction ratios and Direction cosines MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Direction ratios and Direction cosines - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

हम जानते हैं: दिक् अनुपात (-7, 6, 1) हैं।

⇒S के दिक् अनुपात l = \(\frac{-7}{\sqrt86}\)

m = \(\frac{6}{\sqrt86 }, n =\frac{1}{\sqrt86}\)

इस प्रकार, 43 (l ² -m² -n² ) = 43 \((\frac{49}{86}- \frac{36}{86} - \frac{1}{86})\)

= 43 x 12/86 = 6

∴ विकल्प (a) सही है।

व्याख्या:

दिया गया है:

⇒ दो समतल x + y + z = 1 और 2x + 3y - 4z = 8 हैं।

मान लीजिये कि a, b, c समतलों के प्रतिच्छेदन रेखा के दिक् अनुपात हैं।

तब रेखा दोनों समतलों के अभिलम्ब पर लम्बवत है

⇒ a + b + c = 0 ...(i)

⇒ 2a + 3b - 4c = 0 ....(ii)

⇒ \(\frac{a}{-4-3} = \frac{b}{2+4} = \frac{c}{3-2} = λ \)

⇒ a = - 7λ, b = 6λ, c = λ

इस प्रकार, दिक् अनुपात (-7, 6, 1) हैं।

∴ विकल्प (b) सही है

अवधारणा:

दो दी गई रेखाओं पर लंब रेखा की दिक् कोसाइन​:

• दो अन्य रेखाओं पर लंब रेखा की दिक् कोसाइन दी गई रेखाओं के दिक् अनुपातों के क्रॉस गुणन की गणना करके ज्ञात की जा सकती हैं।
• दिक् कोसाइन क्रॉस गुणन से प्राप्त दिक् अनुपातों के सामान्यीकृत मान होते हैं।

गणना:

पहली रेखा के दिए गए दिक् अनुपात: (1, -2, -2)

दूसरी रेखा के दिए गए दिक् अनुपात: (0, 2, 1)

दो सदिशों का सदिश गुणन:

A × B = (2, -1, 2)

सदिश का परिमाण: 3

इस प्रकार, दिक् कोसाइन हैं:

• l = 2/3
• m = -1/3
• n = 2/3

निष्कर्ष:

दोनों दी गई रेखाओं पर लंब रेखा के दिक् कोसाइन हैं:

• l = 2/3
• m = -1/3
• n = 2/3

गणना:

दिया गया है:

दो रेखाओं के दिक् कोसाइन समीकरणों द्वारा संबंधित हैं:

\(l - m + n = 0\)

\(2lm - 3mn + nl = 0\)

पहले समीकरण से, हमें मिलता है: \(l = m - n\)

दूसरे समीकरण में \(l\) का यह मान प्रतिस्थापित करने पर:

⇒\(2(m - n)m - 3mn + (m - n)n = 0\)

⇒\(2m^2 - 2mn - 3mn + mn - n^2 = 0\)

⇒\(2m^2 - 4mn - n^2 = 0\)

समीकरण को \(n^2\) से विभाजित करने पर:

⇒\(2(\frac{m}{n})^2 - 4(\frac{m}{n}) - 1 = 0\)

मान लें \(x = \frac{m}{n}\)। समीकरण बन जाता है:

⇒\(2x^2 - 4x - 1 = 0\)

इस द्विघात समीकरण को हल करने पर, हमें मिलता है:

⇒\(x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 8}}{4} = \frac{4 \pm \sqrt{24}}{4} = \frac{2 \pm \sqrt{6}}{2}\)

इसलिए, \(\frac{m}{n} = \frac{2 \pm \sqrt{6}}{2}\)

अब, \(\frac{l}{n}\) ज्ञात करने के लिए वापस प्रतिस्थापित करने पर:

⇒\(\frac{l}{n} = \frac{m - n}{n} = \frac{m}{n} - 1 = \frac{2 \pm \sqrt{6}}{2} - 1 = \frac{\pm \sqrt{6}}{2}\)

इसलिए, हमारे पास दिक् अनुपातों के दो संभावित समुच्चय हैं:

⇒\(\frac{l}{n} = \frac{\sqrt{6}}{2}, \frac{m}{n} = \frac{2 + \sqrt{6}}{2}\)

⇒\(\frac{l}{n} = \frac{-\sqrt{6}}{2}, \frac{m}{n} = \frac{2 - \sqrt{6}}{2}\)

आइए दिक् अनुपातों के पहले समुच्चय पर विचार करें:

⇒\(\frac{l}{n} = \frac{\sqrt{6}}{2}, \frac{m}{n} = \frac{2 + \sqrt{6}}{2}\)

\(n = 2\) लेने पर, हमें दिक् अनुपात प्राप्त होते हैं:

⇒\(l = \sqrt{6}, m = 2 + \sqrt{6}, n = 2\)

इसलिए, पहली रेखा का दिक् सदिश है: \(\overrightarrow{d_1} = \sqrt{6}i + (2 + \sqrt{6})j + 2k\)

इसी प्रकार, दिक् अनुपातों के दूसरे समुच्चय के लिए, \(n = 2\) लेने पर, हमें मिलता है:

⇒\(l = -\sqrt{6}, m = 2 - \sqrt{6}, n = 2\)

दूसरी रेखा का दिक् सदिश है: \(\overrightarrow{d_2} = -\sqrt{6}i + (2 - \sqrt{6})j + 2k\)

दो सदिशों के बीच के कोण का कोसाइन दिया गया है:

⇒\(\cos \theta = \frac{\overrightarrow{d_1} \cdot \overrightarrow{d_2}}{|\overrightarrow{d_1}| |\overrightarrow{d_2}|}\)

अदिश गुणन की गणना:

⇒\(\overrightarrow{d_1} \cdot \overrightarrow{d_2} = (\sqrt{6})(-\sqrt{6}) + (2 + \sqrt{6})(2 - \sqrt{6}) + (2)(2) = -6 + 4 - 6 + 4 = -4\)

परिमाणों की गणना:

⇒\(|\overrightarrow{d_1}| = \sqrt{6 + (2 + \sqrt{6})^2 + 4} = \sqrt{6 + 4 + 6 + 4\sqrt{6} + 4} = \sqrt{20 + 4\sqrt{6}}\)

⇒\(|\overrightarrow{d_2}| = \sqrt{6 + (2 - \sqrt{6})^2 + 4} = \sqrt{6 + 4 + 6 - 4\sqrt{6} + 4} = \sqrt{20 - 4\sqrt{6}}\)

\(\cos \theta = \frac{-4}{\sqrt{20 + 4\sqrt{6}} \times \sqrt{20 - 4\sqrt{6}}}\)

⇒ \(\cos \theta = \frac{-4}{\sqrt{400 - 96}} = \frac{-4}{\sqrt{304}} = \frac{-4}{4\sqrt{19}} = \frac{-1}{\sqrt{19}}\)

इसलिए, विकल्प 2 सही है।

गणना

AD के DR हैं \(\dfrac {\lambda - 1}{2} - 2, 4 - 2, \dfrac {\mu + 2}{2} - 5\)

⇒ \(\dfrac {\lambda - 5}{2}, 1, \dfrac {\mu - 8}{2}\)

\(\because\) यह माध्यिका निर्देशांक अक्षों के साथ समान कोण बना रही है, इसलिए,

⇒ \(\dfrac {\lambda - 5}{2} = 1 = \dfrac {\mu - 8}{2}\)

\(\Rightarrow \lambda = 7\) और \(\mu = 10\)

\(\therefore \lambda^{3} + \mu^{3} + 5 = 1348\)

अतः विकल्प 2 सही है

संकल्पना:

सदिश का दिशा कोसाइन कोणों का वह कोसाइन होता है जो निर्देशांक अक्षों के साथ सदिश रूप बनाता है। 

गणना:

Z - अक्ष X - अक्ष के साथ एक कोण 90°, Y - अक्ष के साथ 90°, और Z - अक्ष के साथ 0° बनाता है। 

∴ Z - अक्ष का दिशा कोसाइन: cos 90, cos 90, cos 0

अर्थात् 0, 0, 1 

अब z - अक्ष के दिशा कोसाइन का योग = 0 +  0 + 1 = 1 

अतः विकल्प (3) सही है। 

संकल्पना:

1. दिशा कोण: यदि α, β, और γ निर्देशांक अक्ष के साथ रेखा खंड द्वारा बनाए गए कोण हैं तो इन कोणों को दिशा कोण कहा जाता है।
2. दिशा कोसाइन: दिशा कोणों के कोसाइन रेखा के दिशा कोसाइन होते हैं। इसलिए, cos α, cos β और cos γ को दिशा कोसाइन कहा जाता है

इसे l, m और n द्वारा निरूपित किया जाता है। ⇔ l = cos α, m = cos β और n = cos γ

3. एक रेखा के दिशा कोसाइन के वर्गों का योग एकता के बराबर है।

 l2 + m2 + n2 = 1 or cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1

4. दिशा अनुपात: कोई भी संख्याएँ जो किसी रेखा के दिशा कोसाइन के आनुपातिक होती है, उसे दिशा अनुपात कहा जाता है। इसे ’a’, 'b' और 'C' द्वारा दर्शाया जाता है।
5. a ∝ l, b ∝ m और c ∝ n ⇔ a = kl, b = km और c = kn जहां k एक स्थिरांक है।

गणना:

हमें sin2 α + sin2 β + sin2 γ का मूल्य खोजना होगा

हम जानते हैं कि एक रेखा के दिशा कोसाइन के वर्गों का योग एकता के बराबर है।

⇒ cos² α + cos² β + cos² γ = 1

⇒ 1 - sin² α + 1 - sin² β + 1 - sin² γ = 1 (∵ sin² θ + cos² θ = 1)

⇒ 3 – (sin² α + sin² β + sin² γ) = 1

⇒ 3 – 1 = sin² α + sin² β + sin² γ

अवधारणा:

दिशा अनुपात के साथ एक रेखा का समीकरण जो बिंदु (x1, y1, z1) से होकर गुजरता है, जो निम्न सूत्र द्वारा दिया गया है:

\(\rm \frac{{x - {x_1}}}{a} = \frac{{y - {y_1}}}{b} = \frac{{z - {z_1}}}{c}\)

गणना:

दिया गया है कि: रेखा का समीकरण 2x = 3y = 5 - 4z है

हम पहले उपरोक्त अभिव्यक्ति को तुलना के लिए मानक रूप में परिवर्तित करेंगे, अर्थात हमें क्रमशः x, y, और z, अर्थात् 2, 3 और 4 के गुणांक से समाप्त करने की आवश्यकता है।

2, 3, और 4 का LCM 12 

उपरोक्त समीकरण को 12 से विभाजित करने पर हम प्राप्त करते हैं

\(⇒ \frac{{2x}}{{12}} = \frac{{3y}}{{12}} = \frac{{5\ -\ 4z}}{{12}}\;\)

\(⇒ \frac{x}{6} = \frac{y}{4} = \frac{{z - \frac{5}{4}}}{{ - 3}}\;\)

उपरोक्त समीकरण के साथ \(\rm \frac{{x - {x_1}}}{a} = \frac{{y - {y_1}}}{b} = \frac{{z - {z_1}}}{c}\) की तुलना करने पर हमें मिलता है

⇒ a = 6, b = 4 और c = -3

तो, दी गई पंक्ति की दिशा अनुपात <6, 4, - 3> है

इसलिए, सही विकल्प 2 है।

अवधारणा:

हम दो रेखाओं AB और CD पर विचार करें। रेखा AB के दिशा अनुपात a1, b1, c1 हैं और रेखा CD के दिशा अनुपात a2, b2, c2 हैं।

फिर AB, CD के समानांतर होगा, अगर \(\rm \frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}\)।

गणना:

दिया गया: बिंदुओं (2, 4, 8) और (1, 2, 4) के माध्यम से रेखा बिंदुओं (3, 6, k) और (1, 2, 1) के माध्यम से रेखा के समानांतर है।

हम AB को बिंदुओं (2, 4, 8) और (1, 2, 4) से मिलाने वाली रेखा मानते हैं जबकि CD बिंदुओं (3, 6, k) और (1, 2, 1) से होकर गुजरने वाली रेखा होती है।

माना कि AB के दिशा अनुपात: a1, b1, c1

⇒ a1 = (2 – 1) = 1, b1 = (4 – 2) = 2 और c1 = (8 – 4) = 4

माना कि CD के दिशा अनुपात: a2, b2, c2

⇒ a2 = (3 – 1) = 2, b2 = (6 – 2) = 4 और c2 = k – 1

∵ रेखा AB, CD के समानांतर है ⇒ \(\rm \frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}\)

⇒ \(\rm \frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{4}{k-1}\)

⇒ \(\rm \frac{1}{2}=\frac{4}{k-1}\)

⇒ k - 1 = 8 ⇒ K = 9

इसलिए, सही विकल्प 2 है।

संकल्पना:

माना कि \(\vec{A}\) निर्देशांक (x, y, z) के साथ एक सदिश है।

तो सदिश \(\vec{A}\) की दिशा कोसाइन निम्न दी गयी हैं\(\left\langle \frac{x}{\sqrt{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)}},~\frac{y}{\sqrt{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)}},~\frac{z}{\sqrt{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)}} \right\rangle\)

गणना:

सदिश \(\overrightarrow{PQ}\) का निर्देशांक (-2, 3, -6) है।

यहाँ x = -2, y = 3, z = -6.

√(x2 + y2 + z2) = √(4 + 9 + 36) = 7

संकल्पना:

यदि a, b और c एक रेखा के दिशा अनुपात हैं, तो दिशा कोज्या को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

⇒(l, m, n) =  \(\frac{{\rm{a}}}{{\sqrt {{{\rm{a}}^2} + {{\rm{b}}^2} + {{\rm{c}}^2}} }},\frac{{\rm{b}}}{{\sqrt {{{\rm{a}}^2} + {{\rm{b}}^2} + {{\rm{c}}^2}} }},\frac{{\rm{c}}}{{\sqrt {{{\rm{a}}^2} + {{\rm{b}}^2} + {{\rm{c}}^2}} }}\)

गणना:

दिया गया है, दिशा अनुपात (1, 2, 3) हैं। 

यहाँ, a = 1, b = 2 और c = 3 है, तो रेखा की दिशा कोज्या 

\( = \left( {\frac{{1}}{{\sqrt {{{\left( {1} \right)}^2} + {{\left( {2} \right)}^2} + {{\left( { 3} \right)}^2}} }},\frac{{2}}{{\sqrt {{{\left( {1} \right)}^2} + {{\left( {2} \right)}^2} + {{\left( { 3} \right)}^2}} }},\frac{{ 3}}{{\sqrt {{{\left( { 1} \right)}^2} + {{\left( {2} \right)}^2} + {{\left( { 3} \right)}^2}} }}} \right)\)

\( = \left( {\frac{{ 1}}{{\sqrt {14} }},\frac{{2}}{{\sqrt {14} }},\frac{{ 3}}{{\sqrt {14} }}} \right)\)

संकल्पना:

तल का समीकरण: ax + by + cz + d = 0, जहाँ (a, b, c) लंब का दिशा अनुपात है। 

गणना:

दिया गया है:

तल का समीकरण 2x - y + 2z + 1 = 0 है। 

तल के मानक समीकरण ax + by + cz + d = 0 के साथ तुलना करने पर 

इसलिए, a = 2, b = -1 और c = 2 

〈 a, b, c 〉 = 〈 2, -1, 2 〉  = 2 \(\left\langle 1, - \dfrac{1}{2}, 1 \right\rangle\)

∴ तल 2x - y + 2z + 1 = 0 के लंब का दिशा अनुपात  \(\left\langle 1, - \dfrac{1}{2}, 1 \right\rangle\) है। 

संकल्पना:

यदि a, b और c रेखा के दिशा अनुपात हैं तो रेखा के दिशा कोसाइन निम्न द्वारा दिए जाते हैं:

\(l=\frac{a}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}},~m=~\frac{b}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}~and~n=~\frac{c}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}\)

गणना:

दिया हुआ: एक रेखा के एक बिंदु में निर्देशांक होते हैं (p + 1, p - 3, √2p)

⇒ x = p + 1 ⇒ x - 1 = p     ---(1)

⇒ y = p - 3 ⇒ y + 3 = p     ---(2)

⇒ z = √2 × p ⇒ \(\frac{z}{\sqrt{2}}\)  = p   ---(3)

(1), (2) और (3) से हम कह सकते हैं कि

\(\frac{x-1}{1}=\frac{y+3}{1}=\frac{z-0}{\sqrt{2}}=p\)

∴ दिशा अनुपात हैं: 1, 1, √2

संकल्पना:

यदि एक रेखा के दिशा अनुपात हैं, तो दिशा कोसाइन निम्न द्वारा दिए जाते हैं \(<{a \over \sqrt{a^2 +b^2 +c^2}},{b \over \sqrt{a^2 +b^2 +c^2}},{c \over \sqrt{a^2 +b^2 +c^2}}>\)

यदि ax + by + cz + d = 0 एक समतल का समीकरण है तो अभिलंब का दिशा अनुपात हैं।

अंतःखंड रूप:

यदि कोई विमान निर्देशांक अक्ष पर अवरोधन a, b, c को काटता है तो समतल का समीकरण  \({x \over a} +{y \over b} + {z \over c} =1\)है

गणना:

दिया गया है, एक समतल कट निर्देशांक अक्षों पर 2, 2, 1 को काटता है।

⇒  समतल का समीकरण \({x \over 2} +{y \over 2} + {z \over 1} =1\) है

⇒ समतल का समीकरण है \({x + y + 2z \over 2} =1\) है

 ⇒ समतल का समीकरण x + y + 2z = 2 है 

⇒ समतल पर अभिलंब का दिशा अनुपात = <1, 1, 2>

⇒ समतल पर अभिलंब की दिशा कोज्या =\(<{1 \over \sqrt{1^2 +1^2 +2^2}},{1 \over \sqrt{1^2 +1^2 +2^2}},{2 \over \sqrt{1^2 +1^2 +2^2}}>\)

⇒ तल पर अभिलंब की दिशा कोज्या = \(\left\langle\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{2}{\sqrt{6}}\right\rangle\)

∴ सही विकल्प (3) है।

संकल्पना:

1. दिशा कोण: यदि α, β, और γ निर्देशांक अक्ष के साथ रेखा खंड द्वारा बनाए गए कोण हैं तो इन कोणों को दिशा कोण कहा जाता है।
2. दिशा कोसाइन: दिशा कोणों के कोसाइन रेखा के दिशा कोसाइन होते हैं। इसलिए, cos α, cos β और cos γ को दिशा कोसाइन कहा जाता है

इसे l, m और n द्वारा निरूपित किया जाता है। ⇔ l = cos α, m = cos β और n = cos γ

3. एक रेखा के दिशा कोसाइन के वर्गों का योग एकता के बराबर है।
4. l² + m² + n² = 1 or cos² α + cos² β + cos² γ = 1

गणना:

दिया हुआ:

किसी रेखा की दिशा कोसाइन (1/k, 2/k, -2/k) हैं

इसलिए, l = 1/k, m = 2/k और n = -2/k

हम जानते हैं कि एक रेखा के दिशा कोसाइन के वर्गों का योग एकता के बराबर है

⇒ l² + m² + n² = 1

\(\Rightarrow \;\frac{1}{{{k^2}}} + \;\frac{4}{{{k^2}}} + \;\frac{4}{{{k^2}}} = 1\)

\(\Rightarrow \frac{9}{{{k^2}}} = 1\)

⇒ k² = 9

∴ k = ± 3