Direction ratios and Direction cosines MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Direction ratios and Direction cosines - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

Last updated on May 2, 2025

पाईये Direction ratios and Direction cosines उत्तर और विस्तृत समाधान के साथ MCQ प्रश्न। इन्हें मुफ्त में डाउनलोड करें Direction ratios and Direction cosines MCQ क्विज़ Pdf और अपनी आगामी परीक्षाओं जैसे बैंकिंग, SSC, रेलवे, UPSC, State PSC की तैयारी करें।

Latest Direction ratios and Direction cosines MCQ Objective Questions

Direction ratios and Direction cosines Question 1:

Comprehension:

निर्देश: निम्नलिखित प्रश्नों के लिए निम्नलिखित को ध्यान में रखें:

माना S दो समतलों x + y + z = 1 और 2x + 3y - 4z = 8 का प्रतिच्छेदन रेखा है।  

यदि 〈l, m, n〉 S के दिक् कोसाइन हैं, तो 43 (l2 - m2 - n2) का मान क्या है?

  1. 6
  2. 5
  3. 4
  4. 1

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : 6

Direction ratios and Direction cosines Question 1 Detailed Solution

व्याख्या:

हम जानते हैं: दिक् अनुपात (-7, 6, 1) हैं।

⇒S के दिक् अनुपात l = \(\frac{-7}{\sqrt86}\)

m = \(\frac{6}{\sqrt86 }, n =\frac{1}{\sqrt86}\)

इस प्रकार, 43 (l 2 -m2 -n2 ) = 43 \((\frac{49}{86}- \frac{36}{86} - \frac{1}{86})\)

= 43 x 12/86 = 6

∴ विकल्प (a) सही है।

Direction ratios and Direction cosines Question 2:

Comprehension:

निर्देश: निम्नलिखित प्रश्नों के लिए निम्नलिखित को ध्यान में रखें:

माना S दो समतलों x + y + z = 1 और 2x + 3y - 4z = 8 का प्रतिच्छेदन रेखा है।  

निम्नलिखित में से कौन S के दिक् अनुपात हैं?

  1. 〈-7, -6, 1〉
  2. 〈-7, 6, 1〉
  3. 〈-6, 5, 1〉
  4. 〈6, 5, 1〉

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : 〈-7, 6, 1〉

Direction ratios and Direction cosines Question 2 Detailed Solution

व्याख्या:

दिया गया है:

⇒ दो समतल x + y + z = 1 और 2x + 3y - 4z = 8 हैं।

मान लीजिये कि a, b, c समतलों के प्रतिच्छेदन रेखा के दिक् अनुपात हैं।

तब रेखा दोनों समतलों के अभिलम्ब पर लम्बवत है

⇒ a + b + c = 0 ...(i)

2a + 3b - 4c = 0 ....(ii)

\(\frac{a}{-4-3} = \frac{b}{2+4} = \frac{c}{3-2} = λ \)

a = - 7λ, b = 6λ, c = λ

इस प्रकार, दिक् अनुपात (-7, 6, 1) हैं।

∴ विकल्प (b) सही है

Direction ratios and Direction cosines Question 3:

वह रेखा जिसकी दिक् अनुपात 1, -2, -2 और 0, 2, 1 वाली रेखाओं पर लंब है, के दिक् कोसाइन हैं:

  1. \(\frac{2}{3},-\frac{1}{3}, \frac{2}{3}\)
  2. \(-\frac{2}{3},-\frac{1}{3}, \frac{2}{3}\)
  3. \( \frac{2}{3},-\frac{1}{3},-\frac{2}{3}\)
  4. \( \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : \(\frac{2}{3},-\frac{1}{3}, \frac{2}{3}\)

Direction ratios and Direction cosines Question 3 Detailed Solution

अवधारणा:

दो दी गई रेखाओं पर लंब रेखा की दिक् कोसाइन​:

  • दो अन्य रेखाओं पर लंब रेखा की दिक् कोसाइन दी गई रेखाओं के दिक् अनुपातों के क्रॉस गुणन की गणना करके ज्ञात की जा सकती हैं।
  • दिक् कोसाइन क्रॉस गुणन से प्राप्त दिक् अनुपातों के सामान्यीकृत मान होते हैं।

 

गणना:

पहली रेखा के दिए गए दिक् अनुपात: (1, -2, -2)

दूसरी रेखा के दिए गए दिक् अनुपात: (0, 2, 1)

दो सदिशों का सदिश गुणन:

A × B = (2, -1, 2)

सदिश का परिमाण: 3

इस प्रकार, दिक् कोसाइन हैं:

  • l = 2/3
  • m = -1/3
  • n = 2/3

 

निष्कर्ष:

दोनों दी गई रेखाओं पर लंब रेखा के दिक् कोसाइन हैं:

  • l = 2/3
  • m = -1/3
  • n = 2/3

Direction ratios and Direction cosines Question 4:

दो रेखाओं के दिक् कोसाइन \(l - m + n = 0 \quad\) और \(\quad 2lm - 3mn + nl = 0. \) संबंधों द्वारा जुड़े हुए हैं। यदि इन दो रेखाओं के बीच का कोण \(\theta\) है, तो \(\cos \theta = ?\)

  1. \(\frac{1}{4}\)
  2. \(\frac{1}{\sqrt{19}}\)
  3. \(\frac{1}{{3}}\)
  4. \(\frac{1}{3\sqrt{2}}\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : \(\frac{1}{\sqrt{19}}\)

Direction ratios and Direction cosines Question 4 Detailed Solution

गणना:

दिया गया है:

दो रेखाओं के दिक् कोसाइन समीकरणों द्वारा संबंधित हैं:

\(l - m + n = 0\)

\(2lm - 3mn + nl = 0\)

पहले समीकरण से, हमें मिलता है: \(l = m - n\)

दूसरे समीकरण में \(l\) का यह मान प्रतिस्थापित करने पर:

\(2(m - n)m - 3mn + (m - n)n = 0\)

\(2m^2 - 2mn - 3mn + mn - n^2 = 0\)

\(2m^2 - 4mn - n^2 = 0\)

समीकरण को \(n^2\) से विभाजित करने पर:

\(2(\frac{m}{n})^2 - 4(\frac{m}{n}) - 1 = 0\)

मान लें \(x = \frac{m}{n}\)। समीकरण बन जाता है:

\(2x^2 - 4x - 1 = 0\)

इस द्विघात समीकरण को हल करने पर, हमें मिलता है:

\(x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 8}}{4} = \frac{4 \pm \sqrt{24}}{4} = \frac{2 \pm \sqrt{6}}{2}\)

इसलिए, \(\frac{m}{n} = \frac{2 \pm \sqrt{6}}{2}\)

अब, \(\frac{l}{n}\) ज्ञात करने के लिए वापस प्रतिस्थापित करने पर:

\(\frac{l}{n} = \frac{m - n}{n} = \frac{m}{n} - 1 = \frac{2 \pm \sqrt{6}}{2} - 1 = \frac{\pm \sqrt{6}}{2}\)

इसलिए, हमारे पास दिक् अनुपातों के दो संभावित समुच्चय हैं:

\(\frac{l}{n} = \frac{\sqrt{6}}{2}, \frac{m}{n} = \frac{2 + \sqrt{6}}{2}\)

\(\frac{l}{n} = \frac{-\sqrt{6}}{2}, \frac{m}{n} = \frac{2 - \sqrt{6}}{2}\)

आइए दिक् अनुपातों के पहले समुच्चय पर विचार करें:

\(\frac{l}{n} = \frac{\sqrt{6}}{2}, \frac{m}{n} = \frac{2 + \sqrt{6}}{2}\)

\(n = 2\) लेने पर, हमें दिक् अनुपात प्राप्त होते हैं:

\(l = \sqrt{6}, m = 2 + \sqrt{6}, n = 2\)

इसलिए, पहली रेखा का दिक् सदिश है: \(\overrightarrow{d_1} = \sqrt{6}i + (2 + \sqrt{6})j + 2k\)

इसी प्रकार, दिक् अनुपातों के दूसरे समुच्चय के लिए, \(n = 2\) लेने पर, हमें मिलता है:

\(l = -\sqrt{6}, m = 2 - \sqrt{6}, n = 2\)

दूसरी रेखा का दिक् सदिश है: \(\overrightarrow{d_2} = -\sqrt{6}i + (2 - \sqrt{6})j + 2k\)

दो सदिशों के बीच के कोण का कोसाइन दिया गया है:

\(\cos \theta = \frac{\overrightarrow{d_1} \cdot \overrightarrow{d_2}}{|\overrightarrow{d_1}| |\overrightarrow{d_2}|}\)

अदिश गुणन की गणना:

\(\overrightarrow{d_1} \cdot \overrightarrow{d_2} = (\sqrt{6})(-\sqrt{6}) + (2 + \sqrt{6})(2 - \sqrt{6}) + (2)(2) = -6 + 4 - 6 + 4 = -4\)

परिमाणों की गणना:

\(|\overrightarrow{d_1}| = \sqrt{6 + (2 + \sqrt{6})^2 + 4} = \sqrt{6 + 4 + 6 + 4\sqrt{6} + 4} = \sqrt{20 + 4\sqrt{6}}\)

\(|\overrightarrow{d_2}| = \sqrt{6 + (2 - \sqrt{6})^2 + 4} = \sqrt{6 + 4 + 6 - 4\sqrt{6} + 4} = \sqrt{20 - 4\sqrt{6}}\)

\(\cos \theta = \frac{-4}{\sqrt{20 + 4\sqrt{6}} \times \sqrt{20 - 4\sqrt{6}}}\)

\(\cos \theta = \frac{-4}{\sqrt{400 - 96}} = \frac{-4}{\sqrt{304}} = \frac{-4}{4\sqrt{19}} = \frac{-1}{\sqrt{19}}\)

इसलिए, विकल्प 2 सही है।

Direction ratios and Direction cosines Question 5:

\(ABC\) एक समतल में एक त्रिभुज है जिसके शीर्ष \(A(2, 3, 5), B(-1, 3, 2)\) और \(C(\lambda, 5, \mu)\) । यदि A से गुजरने वाली माध्यिका निर्देशांक अक्षों से समान रूप से झुकी हुई है, तो \(\lambda^{3} + \mu^{3} + 5\) का मान है:

  1. \(1130\)
  2. \(1348\)
  3. \(1077\)
  4. \(676\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : \(1348\)

Direction ratios and Direction cosines Question 5 Detailed Solution

गणना

AD के DR हैं \(\dfrac {\lambda - 1}{2} - 2, 4 - 2, \dfrac {\mu + 2}{2} - 5\)

\(\dfrac {\lambda - 5}{2}, 1, \dfrac {\mu - 8}{2}\)

\(\because\) यह माध्यिका निर्देशांक अक्षों के साथ समान कोण बना रही है, इसलिए,

\(\dfrac {\lambda - 5}{2} = 1 = \dfrac {\mu - 8}{2}\)

\(\Rightarrow \lambda = 7\) और \(\mu = 10\)

\(\therefore \lambda^{3} + \mu^{3} + 5 = 1348\)
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अतः विकल्प 2 सही है

Top Direction ratios and Direction cosines MCQ Objective Questions

z - अक्ष के दिशा कोसाइन का योग क्या है?

  1. 0
  2. 1/3
  3. 1
  4. 3

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : 1

Direction ratios and Direction cosines Question 6 Detailed Solution

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संकल्पना:

सदिश का दिशा कोसाइन कोणों का वह कोसाइन होता है जो निर्देशांक अक्षों के साथ सदिश रूप बनाता है। 

गणना:

Z - अक्ष X - अक्ष के साथ एक कोण 90°, Y - अक्ष के साथ 90°, और Z - अक्ष के साथ 0° बनाता है। 

∴ Z - अक्ष का दिशा कोसाइन: cos 90, cos 90, cos 0

अर्थात् 0, 0, 1 

अब z - अक्ष के दिशा कोसाइन का योग = 0 +  0 + 1 = 1 

अतः विकल्प (3) सही है। 

एक रेखा x, y और z अक्षों के साथ कोण α, β, γ बनाती है। तो sin2 α + sin2 β + sin2 γ क्या है?

  1. 1
  2. 0
  3. 2
  4. इनमें से कोई भी नहीं

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : 2

Direction ratios and Direction cosines Question 7 Detailed Solution

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संकल्पना:

  1. दिशा कोण: यदि α, β, और γ निर्देशांक अक्ष के साथ रेखा खंड द्वारा बनाए गए कोण हैं तो इन कोणों को दिशा कोण कहा जाता है।
  2. दिशा कोसाइन: दिशा कोणों के कोसाइन रेखा के दिशा कोसाइन होते हैं। इसलिए, cos α, cos β और cos γ को दिशा कोसाइन कहा जाता है

इसे l, m और n द्वारा निरूपित किया जाता है। ⇔ l = cos α, m = cos β और n = cos γ

F1 Amam K 28.4.20 Pallavi D4

  1. एक रेखा के दिशा कोसाइन के वर्गों का योग एकता के बराबर है।

 l2 + m2 + n2 = 1 or cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1

  1. दिशा अनुपात: कोई भी संख्याएँ जो किसी रेखा के दिशा कोसाइन के आनुपातिक होती है, उसे दिशा अनुपात कहा जाता है। इसे ’a’, 'b' और 'C' द्वारा दर्शाया जाता है।
  2. a ∝ l, b ∝ m और c ∝ n ⇔ a = kl, b = km और c = kn जहां k एक स्थिरांक है।

 

गणना:

हमें sin2 α + sin2 β + sin2 γ का मूल्य खोजना होगा

हम जानते हैं कि एक रेखा के दिशा कोसाइन के वर्गों का योग एकता के बराबर है।

⇒ cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1

⇒ 1 - sin2 α + 1 - sin2 β + 1 - sin2 γ = 1 (∵ sin2 θ + cos2 θ = 1)

⇒ 3 – (sin2 α + sin2 β + sin2 γ) = 1

⇒ 3 – 1 = sin2 α + sin2 β + sin2 γ

∴ sin2 α + sin2 β + sin2 γ = 2

रेखा 2x = 3y = 5 - 4z का दिशा अनुपात ज्ञात करें।

  1. <2, 3, 5>
  2. <6, 4, - 3>
  3. <2, 3, - 4>
  4. इनमें से कोई नहीं

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : <6, 4, - 3>

Direction ratios and Direction cosines Question 8 Detailed Solution

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अवधारणा:

दिशा अनुपात के साथ एक रेखा का समीकरण जो बिंदु (x1, y1, z1) से होकर गुजरता है, जो निम्न सूत्र द्वारा दिया गया है:

\(\rm \frac{{x - {x_1}}}{a} = \frac{{y - {y_1}}}{b} = \frac{{z - {z_1}}}{c}\)

गणना:

दिया गया है कि: रेखा का समीकरण 2x = 3y = 5 - 4z है

हम पहले उपरोक्त अभिव्यक्ति को तुलना के लिए मानक रूप में परिवर्तित करेंगे, अर्थात हमें क्रमशः x, y, और z, अर्थात् 2, 3 और 4 के गुणांक से समाप्त करने की आवश्यकता है।

2, 3, और 4 का LCM 12 

उपरोक्त समीकरण को 12 से विभाजित करने पर हम प्राप्त करते हैं

\(⇒ \frac{{2x}}{{12}} = \frac{{3y}}{{12}} = \frac{{5\ -\ 4z}}{{12}}\;\)

\(⇒ \frac{x}{6} = \frac{y}{4} = \frac{{z - \frac{5}{4}}}{{ - 3}}\;\)

उपरोक्त समीकरण के साथ \(\rm \frac{{x - {x_1}}}{a} = \frac{{y - {y_1}}}{b} = \frac{{z - {z_1}}}{c}\) की तुलना करने पर हमें मिलता है

⇒ a = 6, b = 4 और c = -3

तो, दी गई पंक्ति की दिशा अनुपात <6, 4, - 3> है

इसलिए, सही विकल्प 2 है।

k का मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए बिंदुओं (2, 4, 8) और (1, 2, 4) के माध्यम से रेखा बिंदुओं (3, 6, k) और (1, 2, 1) के माध्यम से रेखा के समानांतर है।

  1. 10
  2. 9
  3. 8
  4. 0

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : 9

Direction ratios and Direction cosines Question 9 Detailed Solution

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अवधारणा:

हम दो रेखाओं AB और CD पर विचार करें। रेखा AB के दिशा अनुपात a1, b1, c1 हैं और रेखा CD के दिशा अनुपात a2, b2, cहैं।

फिर AB, CD के समानांतर होगा, अगर \(\rm \frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}\)

गणना:

दिया गया: बिंदुओं (2, 4, 8) और (1, 2, 4) के माध्यम से रेखा बिंदुओं (3, 6, k) और (1, 2, 1) के माध्यम से रेखा के समानांतर है।

हम AB को बिंदुओं (2, 4, 8) और (1, 2, 4) से मिलाने वाली रेखा मानते हैं जबकि CD बिंदुओं (3, 6, k) और (1, 2, 1) से होकर गुजरने वाली रेखा होती है।

माना कि AB के दिशा अनुपात: a1, b1, c1

⇒ a1 = (2 – 1) = 1, b1 = (4 – 2) = 2 और c1 = (8 – 4) = 4

माना कि CD के दिशा अनुपात: a2, b2, c2

⇒ a2 = (3 – 1) = 2, b2 = (6 – 2) = 4 और c2 = k – 1

∵ रेखा AB, CD के समानांतर है ⇒ \(\rm \frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}\)

\(\rm \frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{4}{k-1}\)

\(\rm \frac{1}{2}=\frac{4}{k-1}\)

⇒ k - 1 = 8 ⇒ K = 9

इसलिए, सही विकल्प 2 है।

किरण P(1, -2, 4) से Q(-1, 1, -2) तक की दिशा कोसाइन क्या हैं?

  1. <-2, 3, -6>
  2. <2, -3, 6>
  3. \(\left\langle \frac{2}{7},-\frac{3}{7},\frac{6}{7} \right\rangle\)
  4. \(\left\langle -\frac{2}{7},\frac{3}{7},-\frac{6}{7} \right\rangle\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : \(\left\langle -\frac{2}{7},\frac{3}{7},-\frac{6}{7} \right\rangle\)

Direction ratios and Direction cosines Question 10 Detailed Solution

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संकल्पना:

माना कि \(\vec{A}\) निर्देशांक (x, y, z) के साथ एक सदिश है।

तो सदिश \(\vec{A}\) की दिशा कोसाइन निम्न दी गयी हैं\(\left\langle \frac{x}{\sqrt{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)}},~\frac{y}{\sqrt{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)}},~\frac{z}{\sqrt{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)}} \right\rangle\)

गणना:

सदिश \(\overrightarrow{PQ}\) का निर्देशांक (-2, 3, -6) है।

यहाँ x = -2, y = 3, z = -6.

√(x2 + y2 + z2) = √(4 + 9 + 36) = 7

∴ सदिश \(\overrightarrow{PQ}\) की दिशा कोसाइन \(\left\langle \frac{-2}{7},\frac{3}{7},\frac{-6}{7} \right\rangle\) हैं।

यदि एक रेखा में दिशा अनुपात (1, 2, 3) है, तो इसके दिशा कोज्या क्या हैं?

  1. \( \left( {\frac{{ 1}}{{\sqrt {14} }},\frac{{-2}}{{\sqrt {14} }},\frac{{ 3}}{{\sqrt {14} }}} \right)\)
  2. \( \left( {\frac{{ 1}}{{\sqrt {14} }},\frac{{2}}{{\sqrt {14} }},\frac{{ 3}}{{\sqrt {14} }}} \right)\)
  3. \( \left( {\frac{{ 1}}{{\sqrt {13} }},\frac{{2}}{{\sqrt {13} }},\frac{{ 3}}{{\sqrt {13} }}} \right)\)
  4. उपरोक्त में से कोई नहीं 

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : \( \left( {\frac{{ 1}}{{\sqrt {14} }},\frac{{2}}{{\sqrt {14} }},\frac{{ 3}}{{\sqrt {14} }}} \right)\)

Direction ratios and Direction cosines Question 11 Detailed Solution

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संकल्पना:

यदि a, b और c एक रेखा के दिशा अनुपात हैं, तो दिशा कोज्या को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

⇒(l, m, n) =  \(\frac{{\rm{a}}}{{\sqrt {{{\rm{a}}^2} + {{\rm{b}}^2} + {{\rm{c}}^2}} }},\frac{{\rm{b}}}{{\sqrt {{{\rm{a}}^2} + {{\rm{b}}^2} + {{\rm{c}}^2}} }},\frac{{\rm{c}}}{{\sqrt {{{\rm{a}}^2} + {{\rm{b}}^2} + {{\rm{c}}^2}} }}\)

 

गणना:

दिया गया है, दिशा अनुपात (1, 2, 3) हैं। 

यहाँ, a = 1, b = 2 और c = 3 है, तो रेखा की दिशा कोज्या 

\( = \left( {\frac{{1}}{{\sqrt {{{\left( {1} \right)}^2} + {{\left( {2} \right)}^2} + {{\left( { 3} \right)}^2}} }},\frac{{2}}{{\sqrt {{{\left( {1} \right)}^2} + {{\left( {2} \right)}^2} + {{\left( { 3} \right)}^2}} }},\frac{{ 3}}{{\sqrt {{{\left( { 1} \right)}^2} + {{\left( {2} \right)}^2} + {{\left( { 3} \right)}^2}} }}} \right)\)

\( = \left( {\frac{{ 1}}{{\sqrt {14} }},\frac{{2}}{{\sqrt {14} }},\frac{{ 3}}{{\sqrt {14} }}} \right)\)

तल 2x - y + 2z + 1 = 0 के लंब का दिशा अनुपात क्या है?

  1. 〈 2, 1, 2 〉 
  2. \(\left\langle 1, - \dfrac{1}{2}, 1 \right\rangle\)
  3. 〈 1, -2, 1 〉 
  4. उपरोक्त में से कोई नहीं 

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : \(\left\langle 1, - \dfrac{1}{2}, 1 \right\rangle\)

Direction ratios and Direction cosines Question 12 Detailed Solution

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संकल्पना:

तल का समीकरण: ax + by + cz + d = 0, जहाँ (a, b, c) लंब का दिशा अनुपात है। 

गणना:

दिया गया है:

तल का समीकरण 2x - y + 2z + 1 = 0 है। 

तल के मानक समीकरण ax + by + cz + d = 0 के साथ तुलना करने पर 

इसलिए, a = 2, b = -1 और c = 2 

〈 a, b, c 〉 = 〈 2, -1, 2 〉  = 2 \(\left\langle 1, - \dfrac{1}{2}, 1 \right\rangle\)

∴ तल 2x - y + 2z + 1 = 0 के लंब का दिशा अनुपात  \(\left\langle 1, - \dfrac{1}{2}, 1 \right\rangle\) है। 

एक रेखा पर किसी बिंदु के निर्देशांक (p + 1, p - 3, √2p) हैं, जहाँ p कोई वास्तविक संख्या है। रेखा की दिक्कोज्याएं (दिक-कोसाइन) क्या हैं?

  1. \(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{\sqrt{2}}\)
  2. \(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\)
  3. \(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\)
  4. अपर्याप्त आंकड़ों के कारण इसे निर्धारित नहीं किया जा सकता

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : \(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{\sqrt{2}}\)

Direction ratios and Direction cosines Question 13 Detailed Solution

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संकल्पना:

यदि a, b और c रेखा के दिशा अनुपात हैं तो रेखा के दिशा कोसाइन निम्न द्वारा दिए जाते हैं:

\(l=\frac{a}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}},~m=~\frac{b}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}~and~n=~\frac{c}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}\)

गणना:

दिया हुआ: एक रेखा के एक बिंदु में निर्देशांक होते हैं (p + 1, p - 3, √2p)

⇒ x = p + 1 ⇒ x - 1 = p     ---(1)

⇒ y = p - 3 ⇒ y + 3 = p     ---(2)

⇒ z = √2 × p ⇒ \(\frac{z}{\sqrt{2}}\)  = p   ---(3)

(1), (2) और (3) से हम कह सकते हैं कि

\(\frac{x-1}{1}=\frac{y+3}{1}=\frac{z-0}{\sqrt{2}}=p\)

∴ दिशा अनुपात हैं: 1, 1, √2

⇒ दिशा कोसाइन हैं: \(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{\sqrt{2}}\)

एक समतल, निर्देशांक अक्षों पर 2, 2, 1 अंतःखंड बनाता है। इस समतल के अभिलंब की दिक्कोज्याएं (direction cosines) क्या है ?

  1. <2/3, 2/3, 1/3>
  2. <1/3, 2/3, 2/3>
  3. \(\left\langle\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{2}{\sqrt{6}}\right\rangle\)
  4. \(\left\langle\frac{2}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}\right\rangle\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : \(\left\langle\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{2}{\sqrt{6}}\right\rangle\)

Direction ratios and Direction cosines Question 14 Detailed Solution

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संकल्पना:

यदि एक रेखा के दिशा अनुपात हैं, तो दिशा कोसाइन निम्न द्वारा दिए जाते हैं \(<{a \over \sqrt{a^2 +b^2 +c^2}},{b \over \sqrt{a^2 +b^2 +c^2}},{c \over \sqrt{a^2 +b^2 +c^2}}>\)

यदि ax + by + cz + d = 0 एक समतल का समीकरण है तो अभिलंब का दिशा अनुपात हैं।

अंतःखंड रूप:

यदि कोई विमान निर्देशांक अक्ष पर अवरोधन a, b, c को काटता है तो समतल का समीकरण  \({x \over a} +{y \over b} + {z \over c} =1\)है

गणना:

दिया गया है, एक समतल कट निर्देशांक अक्षों पर 2, 2, 1 को काटता है।

  समतल का समीकरण \({x \over 2} +{y \over 2} + {z \over 1} =1\) है

 समतल का समीकरण है \({x + y + 2z \over 2} =1\) है

  समतल का समीकरण x + y + 2z = 2 है 

⇒ समतल पर अभिलंब का दिशा अनुपात = <1, 1, 2>

समतल पर अभिलंब की दिशा कोज्या =\(<{1 \over \sqrt{1^2 +1^2 +2^2}},{1 \over \sqrt{1^2 +1^2 +2^2}},{2 \over \sqrt{1^2 +1^2 +2^2}}>\)

⇒ तल पर अभिलंब की दिशा कोज्या = \(\left\langle\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{2}{\sqrt{6}}\right\rangle\)

 सही विकल्प (3) है।

यदि किसी रेखा की दिशा कोसाइन (1/k, 2/k, -2/k) हैं तो k क्या है?

  1. ± (1/√3)
  2. 1/3
  3. ±√3
  4. ± 3

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : ± 3

Direction ratios and Direction cosines Question 15 Detailed Solution

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संकल्पना:

  1. दिशा कोण: यदि α, β, और γ निर्देशांक अक्ष के साथ रेखा खंड द्वारा बनाए गए कोण हैं तो इन कोणों को दिशा कोण कहा जाता है।
  2. दिशा कोसाइन: दिशा कोणों के कोसाइन रेखा के दिशा कोसाइन होते हैं। इसलिए, cos α, cos β और cos γ को दिशा कोसाइन कहा जाता है


इसे l, m और n द्वारा निरूपित किया जाता है। ⇔ l = cos α, m = cos β और n = cos γ

F1 A.K 12.5.20 Pallavi D1

  1. एक रेखा के दिशा कोसाइन के वर्गों का योग एकता के बराबर है।
  2. l2 + m2 + n2 = 1 or cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1


गणना:

दिया हुआ:

किसी रेखा की दिशा कोसाइन (1/k, 2/k, -2/k) हैं

इसलिए, l = 1/k, m = 2/k और n = -2/k

हम जानते हैं कि एक रेखा के दिशा कोसाइन के वर्गों का योग एकता के बराबर है

⇒ l2 + m2 + n2 = 1

\(\Rightarrow \;\frac{1}{{{k^2}}} + \;\frac{4}{{{k^2}}} + \;\frac{4}{{{k^2}}} = 1\)

\(\Rightarrow \frac{9}{{{k^2}}} = 1\)

⇒ k2 = 9

∴ k = ± 3

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