Equation of a Plane MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Equation of a Plane - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

yz-तल पर बिंदु (0, y, z) है

xz-तल पर बिंदु (x, 0, z) है

xy-तल पर बिंदु (x, y, 0) है

तब दी गई शर्त के अनुसार,

0 + y + z = 8 ⇒ y + z = 8....(i)

और

\(\sqrt{x^2+y^2}=3\sqrt{x^2+z^2}\)

⇒ x² + y² = 9(x² + z²)....(ii)

बिंदु (6, 2, 0) (i) को संतुष्ट करता है लेकिन (ii) को नहीं। 

बिंदु (0, 6, 2) (i) और (ii) दोनों को संतुष्ट करता है। 

इसलिए, विकल्प (2) सही है।

बिंदु (0, 2, 6) और (2, 0, 6) भी (i) और (ii) दोनों को संतुष्ट नहीं करते हैं।

व्याख्या:

पृष्ठ है

x2 + y2 + 2z2 = 12...(i)

x - y + z = 1...(ii)

x - y + z = 1 ⇒ y = x + z - 1

समीकरण (i) में रखने पर हमें प्राप्त होता है

x2 + (x + z - 1)2 + 2z2 = 12

⇒ x2 + x2 + z2 + 1 + 2xz - 2x - 2z + 2z2 = 12

⇒ 2x2 + 3z2 + 2xz - 2x - 2z - 11 = 0

जो कि एक बेलन का अभीष्ट समीकरण है। 

विकल्प (2) सही है।

गणना

माना कि समतल \(x-2y+2z-5=0\) के समांतर समतल का समीकरण \(x-2y+2z+k=0\)...(i) है।

(i) से \(O(0,0,0)\) की लंबवत दूरी \(1\) है।

\(\frac{|k|}{\sqrt{1+4+4}}=1\)

\(\Rightarrow |k|=3\)

\(\Rightarrow k=+3\ or\ -3\)

\(\therefore x-2y+2z-3=0\)

अतः विकल्प 1 सही है।

गणना

रेखाओं \(2x-5y+z=3\) और \(x+y+4z=5\) पर एक बिंदु \((4, 1, 0)\) है।

अब, \(x+3y+6z=1\) के समांतर समतल का समीकरण \(x+3y+6z+k=0\) द्वारा दिया गया है।

यह समतल \((4,1,0)\) से गुजरता है।

\(\Rightarrow 4+3.1+0+k=0\Rightarrow k=-7\)

इसलिए, अभीष्ट समतल, \(x+3y+6z=7\) है। 

अतः विकल्प 3 सही है। 

गणना:

(3,4,2) से गुजरने वाले समतल का समीकरण है:

⇒ \(a(x-3)+b(y-4)+c(z-2)=0\,\,\,\cdots(1)\)

यह (7,0,6) से भी गुजरता है,

⇒ a(7-3)+b(0-4)+c(6-2)=0

⇒ 4a-4b+4c=0

⇒ \( a-b+c=0\,\,\, \cdots(2)\)

समीकरण (1) समतल 2x-5y-15=0 के लंबवत है। 

⇒ \(2a-5b+0c=0\,\,\,\, \cdots(3)\)

समीकरण (2) और (3) को हल करने पर,

⇒ \(\dfrac{a}{5}=\dfrac{b}{2}=\dfrac{c}{-3}= \lambda\)

⇒ \(a=5\lambda, \,\, b=2\lambda,\,\, c=-3\lambda\)

इन मानों को समीकरण (1) में रखने पर,

⇒ \(5\lambda(x-3)+2\lambda(y-4)-3\lambda(z-2)=0\)

⇒ \(5x-15+2y-8-3z+6=0\)

⇒ \( 5x+2y-3z=17\,\,\,\,\, \cdots(4)\)

यह समतल का आवश्यक समीकरण है,

बिंदु \((2,\alpha,\beta)\) इस समतल पर स्थित है।

⇒ \(5\times2+2\alpha-3\beta=17\)

⇒ \(2\alpha -3\beta=7\)

अतः विकल्प 4 सही है। 

दिया गया:

वह तल जिसमें बिंदु (0, 6, 0) और (-2, -3, 4) हैं। 

और दिशा अनुपात (2, 3, -2) के अनुदिश किरण के समानांतर

अवधारणा:

अभिलंब सदिश के अनुदिश एक बिंदु \(\rm (x_1,y_1,z_1)\) से गुजरने वाले तल का समीकरण \(\rm (a,b,c)\) है। 

\(\rm a(x-x_1)+b(y-y_1)+c(z-z_1)=0\)

गणना:

(0,6,0) से गुजरने वाले तल का समीकरण है,

\(\rm ax+b(y-6)+cz=0......(1)\)

यह तल (-2,-3,4) से होकर गुजरता है, तो-

\(\rm a(-2)+b(-3-6)+c(4)=0\)

\(\rm \implies-2a-9b+4c=0.......(2)\)

तल (1) दिशा अनुपात (2, 3, -2) के साथ अनुदिश किरण के समानांतर है,

\(\rm 2a+3b-2c=0......(3)\)

अब, समीकरण (1), (2) और (3) को हल करें,

\(\rm \begin{vmatrix} x & y-6& z\\ -2 & -9 & 4\\ 2 & 3 & -2 \end{vmatrix} =0\)

\(\rm \implies x(18-12)-(y-6)(4-8)+z(-6+18)=0\)

\(\rm \implies 6x+4y-24+12z=0\)

\(\rm \implies 3x+2y+6z-12=0\)

अतः विकल्प (2) सही है।

अवधारणा :

माना कि समतल x, y और z अक्षों पर क्रमशः अंतःखंड a, b, c बनाते हैं।

अंतःखंड रूप में समतल का समीकरण इस प्रकार दिया गया है: \(\frac{x}{a}\; + \;\frac{y}{b}\; + \;\frac{z}{c}\; = \;1\)

गणना :

दिया हुआ: समतल का समीकरण 2x - y + z = 5 है

दिए गए समीकरण को अंतःखंड रूप में फिर से इसप्रकार लिखा जा सकता है: \(\frac{x}{\frac{5}{2}}\; + \;\frac{y}{-5}\; + \;\frac{z}{5}\; = \;1\)

तो, समीकरण \(\frac{x}{\frac{5}{2}}\; + \;\frac{y}{-5}\; + \;\frac{z}{5}\; = \;1\) की \(\frac{x}{a}\; + \;\frac{y}{b}\; + \;\frac{z}{c}\; = \;1\) के साथ तुलना करके हमें मिलता है,

⇒ a = 5/2, b = - 5 और c = 5

तो, दिए गए समतल द्वारा अक्षों पर किए गए अंतःखंड 5/2, - 5 और 5 हैं

इसलिए, विकल्प A सही उत्तर है।

व्याख्या:

एक समतल सदिश बिंदु  \(\overrightarrow{a}=i-j+2k\) से होकर गुजरता है और इसमें सामान्य सदिश का मान \(\overrightarrow{n}=i+2j+3k\) है। 

इसलिए, समतल का सदिश समीकरण होगा-

\((\overrightarrow{r}-\overrightarrow{a}).\overrightarrow{n}=0\)

⇒ \(\overrightarrow{r}.\overrightarrow{n}=\overrightarrow{a}.\overrightarrow{n}\)

⇒ \(\overrightarrow{r}.(i+2j+3k)=(i-j+2k).(i+2j+3k)\)

माना \(\overrightarrow{r}=xi+yj+zk\)

⇒ \((xi+yj+zk).(i+2j+3k)=(i-j+2k).(i+2j+3k)\)

⇒ x + 2y + 3z = 1 - 2 + 6

⇒ x + 2y + 3z = 5

इसलिए, समतल का कार्तीय समीकरण x + 2y + 3z = 5 है।

अवधारणा :

माना कि समतल x, y और z अक्षों पर क्रमशः अंतःखंड a, b, c बनाते हैं।

अंतःखंड रूप में समतल का समीकरण इस प्रकार दिया गया है: \(\frac{x}{a}\; + \;\frac{y}{b}\; + \;\frac{z}{c}\; = \;1\)

गणना :

दिया हुआ: समतल का समीकरण 2x + 3y - z = 6 है

दिए गए समीकरण को अंतःखंड रूप में फिर से इसप्रकार लिखा जा सकता है: \(\frac{x}{3}\; + \;\frac{y}{2}\; + \;\frac{z}{-6}\; = \;1\)

तो, समीकरण \(\frac{x}{3}\; + \;\frac{y}{2}\; + \;\frac{z}{-6}\; = \;1\) की \(\frac{x}{a}\; + \;\frac{y}{b}\; + \;\frac{z}{c}\; = \;1\) के साथ तुलना करके हमें मिलता है,

⇒ a = 3, b = 2 और c = - 6

तो, दिए गए समतल द्वारा अक्षों पर किए गए अंतःखंड 3, 2 और - 6 हैं

इसलिए, विकल्प C सही उत्तर है।

अवधारणा:

एक समतल का सदिश समीकरण जिसकी मूल से दूरी d है और \(\hat n\) मूल के माध्यम से समतल का इकाई लम्ब सदिश \(\vec{r}.\hat{n}=d\) द्वारा दिया गया है

गणना:

माना \(\vec{n}=\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k}\) मूल से आवश्यक समतल के लिए लम्ब है और यह मूल से 1/3 इकाई की दूरी पर है।

⇒ \(|\vec n|=|\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k}| =\sqrt{1^2+2^2+2^2}=3\) 

तो, इकाई लम्ब सदिश \(\hat{n}=\frac{1}{3}\hat{i}+\frac{2}{3}\hat{j}+\frac{2}{3}\hat{k}\)

जैसा कि हम जानते हैं कि, एक समतल का समीकरण जिसकी मूल से दूरी d और \(\hat n\) है, मूल के माध्यम से समतल का इकाई लंबवत सदिश \(\vec{r}.\hat{n}=d\) द्वारा दिया गया है

यहाँ, d = 1/3, \(\hat{n}=\frac{1}{3}\hat{i}+\frac{2}{3}\hat{j}+\frac{2}{3}\hat{k}\) और माना \(\vec r = x\hat i + y\hat j + z \hat k\)

⇒ \(\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}y+\frac{2}{3}z=\frac{1}{3}\)

⇒ x + 2y + 2z = 1

तो, आवश्यक समतल का समीकरण x + 2y + 2z = 1 है

इसलिए, विकल्प 1 सही है।

अवधारणा:

कुछ विशेष समतलों के लिए मानक समीकरण:

• x-y समतल के समानांतर वाले समतल में मानक समीकरण z = d होना चाहिए, जहां d = xy समतल से समतल की दूरी
• y-z समतल के समानांतर वाले समतल में मानक समीकरण x = d होना चाहिए, जहां d = yz समतल से समतल की दूरी
• x-z समतल के समानांतर वाले समतल में मानक समीकरण y = d होना चाहिए, जहां d = xz समतल से समतल की दूरी

गणना:

xz समतल का समीकरण y = 0 है।

हम जानते हैं, xz- समतल के समानांतर एक समतल का समीकरण y = d होता है

यहाँ, d = 1

∴ इकाई दूरी पर xz समतल के समानांतर समतल का समीकरण y = 1 होगा

इसलिए, विकल्प (2) सही है।

अवधारणा:

जैसा कि हम जानते हैं कि, यदि a1x + b1y + c1z + d1 = 0 = 0 और a2x + b2y + c2z + d2 = 0 दो अलग-अलग तलों का प्रतिनिधित्व करता है, तो गुजरने वाले तल का समीकरण इन तलों का प्रतिच्छेदन द्वारा दिया गया है:

(a1x + b1y + c1z + d1) + λ × (a2x + b2y + c2z + d2) = 0.

गणना​:

दिया गया:

\(\vec{r} \cdot(\hat{\imath}+\hat{\jmath}+\hat{k})=6\) और \(\vec{r}. (2 \hat{\imath}+3 \hat{\jmath}+4 \hat{k})=-5\)

इन तलों को कार्तीय रूप में बदलिए।

\(\rm \vec r=x\hat i+y\hat j+z\hat k\) रखने पर

अतः \(\rm \vec r.(\hat i+\hat j+\hat k)=6\)

\(\rm⇒ (x\hat i+j\hat j+z\hat k).(\hat i+\hat j+\hat k)=6\)

⇒ x + y + z = 6 ........(1)

इसी प्रकार,

\(\rm \vec r.(2\hat i+3\hat j+4 \hat k)=-5\)

⇒ 2x + 3y + 4z = -5      .........(2)

तो, दो दिए गए तलों के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाला तल है:

⇒ (x + y + z – 6) + λ × (2x +3y + 4z + 5) = 0

∵ दिया है कि दिए गए दो तलों के प्रतिच्छेद से गुजरने वाला तल भी बिंदु (1, 1, 1) से होकर जाता है।

⇒ बिंदु (3, 2, 1) समीकरण (1) को संतुष्ट करेगा

⇒ (1 + 1 + 1 - 6) + λ × (2 + 3 + 4 + 5) = 0 ⇒ λ = 3/14.

इसलिए, समीकरण (1) में λ का मान रखने पर, हम प्राप्त  हैं

⇒ (x + y + z – 6) + (3/14) × (2x +3y + 4z + 5) = 0 

20x +23y + 26z = 69

⇒ (x + y + z – 6) + (3/14) × (2x +3y + 4z + 5) = 0 

\(\vec{r} \cdot(20 \hat{\imath}+23 \hat{\jmath}+26 \hat{k})=69\)

संकल्पना:

समतल xy- समतल के समानांतर है, तो x-अंतर्खंड = y-अंतर्खंड = 0

गणना:

यहाँ, z- अंतर्खंड = 5, और xy-समतल के समानांतर

∴ समतल का समीकरण: z = 5

इसलिए, विकल्प (2) सही है।

दिया गया है:

वह समतल जो बिंदु (5, 2, -4) से होकर गुजरता है।

समतल दिशा अनुपात 2, 3, -1 के साथ रेखा के लंबवत है।

संकल्पना:

(x1 , y1 , z1) के माध्यम से गुजरने वाले समतल का कार्तीय समीकरण और drs a, b, c वाली रेखा के लम्बवत समीकरण निम्न द्वारा दिया जाता है:

a(x - x1) + b(y - y1) + c(z - z1) = 0

हल:

समतल का समीकरण:

2(x - 5) + 3(y - 2) -(z - (-4)) = 0

⇒ 2x + 3y - z = 20

संकल्पना:

माना कि दो रेखाओं के दिशा अनुपात क्रमशः a1, b1, c1, और a2, b2, c2 हैं। 

लंबवत रेखाओं के लिए स्थिति: a1a2 + b1b2 + c1c2 = 0

समानांतर रेखाओं के लिए स्थिति:​ \(\rm \frac {a_1}{a_2} = \frac {b_1}{b_2} = \frac {c_1}{c_2}\)

गणना:

दिए गए बिंदु से होकर गुजरने वाले तल का समीकरण निम्न है

a(x - 1) + b(y - 0) + c(z - 1) = 0

दिए गए लंबवत तल 2x + 3y - z = 2 और x - y + 2z = 1 है। 

∴ 2a + 3b - c = 0                ....(i)

साथ ही,

a - b + 2c = 0                   ....(ii)

2 × (ii) को (i) से घटाने पर,

5b - 5c = 0

b = c

समीकरण (i) में इसे रखने पर

a - c + 2c = 0

a = -c

अब तल के समीकरण में a और b का मान रखने पर

-c(x - 1) + c(y - 0) + c(z - 1) = 0

-x + 1 + y + z - 1 = 0

x - y - z = 0