Coplanar Lines MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Coplanar Lines - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

अवधारणा:

समतलीय सदिश और अदिश त्रिक गुणनफल:

• तीन सदिश समतलीय होते हैं यदि उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य हो। तीन सदिश A, B और C का अदिश त्रिक गुणनफल इस प्रकार दिया गया है:
  A · (B x C) = 0
• इस स्थिति में, हमारे पास सदिश हैं:
  A = 6i + 4j + k,
  B = i + 4j + 2k,
  C = 7i + Xj + 3k
• X का मान ज्ञात करने के लिए, हम अदिश त्रिक गुणनफल की गणना करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं, क्योंकि सदिश समतलीय हैं।
• सबसे पहले, B और C का सदिश गुणनफल ज्ञात कीजिए:
  • B x C = |i j k|
    |1 4 2|
    |7 X 3|
  • सारणिक का प्रसार करें:
    B x C = (12 - 2X)i - (3 - 14)j + (X - 28)k = (12 - 2X)i + 11j + (X - 28)k।
• अब, A का B x C के साथ अदिश गुणनफल ज्ञात कीजिए:
  • A · (B x C) = (6i + 4j + k) · [(12 - 2X)i + 11j + (X - 28)k]
  • A · (B x C) = 6(12 - 2X) + 4(11) + 1(X - 28)
  • सरलीकरण करने के बाद:
    A · (B x C) = 72 - 12X + 44 + X - 28 = 88 - 11X।
• सदिशों के समतलीय होने के लिए, A · (B x C) = 0:
  • 88 - 11X = 0
  • X = 88 / 11 = 8

गणना:

दिए गए सदिश A = 6i + 4j + k, B = i + 4j + 2k, और C = 7i + Xj + 3k

सबसे पहले, B × C की गणना करें, फिर A · (B × C) की गणना करें। A · (B x C) = 0 सेट करें और X के लिए हल करें:

A · (B × C) = 88 - 11X = 0 → X = 8।

∴ X का मान 8 है।

∴ अतः सही उत्तर: विकल्प 2 (X = 8) है।

गणना

दो रेखाएँ समतलीय होती हैं यदि

\(\left|\begin{array}{ccc} x_{2}-x_{1} & y_{2}-y_{1} & z_{2}-z_{1} \\ l_{1} & m_{1} & n_{1} \\ l_{2} & m_{2} & n_{2} \end{array}\right|=0\)

\(\left|\begin{array}{ccc} 1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & -k \\ k & 2 & 1 \end{array}\right|=0\)

C₂ → C₂ + C₁, C₃ → C3 + C₁ लागू करने पर,

\(\left|\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1-k \\ k & k+2 & 1+k \end{array}\right|=0\)

⇒ 1[2 + 2k - (k + 2)(1 − k)] = 0

⇒ 2 + 2k - (-k² - k + 2) = 0

k² + 3k = 0 ⇒ k(k + 3) = 0

k = 0 या k = -3

इसलिए, विकल्प 4 सही है। 

सही विकल्प है: 1.49

हल: (ax + by + c₁ = 0) और (ax + by + c₂ = 0) के रूप की दो समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं: \([ \text{Distance} = \frac{|c_2 - c_1|}{\sqrt{a^2 + b^2}} ]\)

• दो रेखाएँ दी गई हैं: \([ 2x + 5y = 7 \quad \text{and} \quad 2x + 5y = 15 ]\)
• हम इन्हें मानक रूप में पुनः लिख सकते हैं: \( [ 2x + 5y - 7 = 0 \quad \text{and} \quad 2x + 5y - 15 = 0 ]\)
• यहाँ, (a = 2), (b = 5), (c₁ = -7) और (c₂ = -15)

चरण-दर-चरण गणना:

• दिए गए मानों को निम्न सूत्र में प्रतिस्थापित करें: \([ \text{Distance} = \frac{|-15 - (-7)|}{\sqrt{2^2 + 5^2}} ]\)
• अंश को सरल करें: [ |-15 + 7| = |-8| = 8 ]
• हर की गणना करें: \([ \sqrt{2^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29} ]\)
• दूरी की गणना करें: \( [ \text{Distance} = \frac{8}{\sqrt{29}} ]\)
• हर को परिमेय बनाएँ: \( [ \text{Distance} = \frac{8 \sqrt{29}}{29} ]\)
• गणना द्वारा अनुमानित मान निर्धारित करें: \( [ \text{Distance} \approx \frac{8 \times 5.385}{29} ] [ \approx \frac{43.08}{29} \approx 1.486 ]\)

2 दशमलव स्थानों तक सन्निकटित: \([ \text{Distance} \approx 1.49 , \text{units} ]\)

संप्रत्यय:

तीन सदिशों \( \mathbf{v_1}, \mathbf{v_2}, \mathbf{v_3} \) का अदिश त्रिक गुणनफल सारणिक द्वारा दिया जाता है

\(\mathbf{v_1} \cdot (\mathbf{v_2} \times \mathbf{v_3}) = 0\)

व्याख्या:

यह इन सदिशों के घटकों द्वारा निर्मित आव्यूह के सारणिक को ज्ञात करने के लिए अनुवादित होता है

\(\text{सारणिक} = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 1 & -3 & -5 \\ 3 & -4 & a \end{vmatrix} = 0\)

\(\text{सारणिक} = 2 \begin{vmatrix} -3 & -5 \\ -4 & a \end{vmatrix} - (-1) \begin{vmatrix} 1 & -5 \\ 3 & a \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 1 & -3 \\ 3 & -4 \end{vmatrix}\)

\(\begin{vmatrix} -3 & -5 \\ -4 & a \end{vmatrix} = (-3)(a) - (-5)(-4) = -3a - 20\)

\(\begin{vmatrix} 1 & -5 \\ 3 & a \end{vmatrix} = (1)(a) - (-5)(3) = a + 15\)

\(\begin{vmatrix} 1 & -3 \\ 3 & -4 \end{vmatrix} = (1)(-4) - (-3)(3) = -4 + 9 = 5\)

इसलिए,

\(\text{सारणिक} = 2(-3a - 20) - (-1)(a + 15) + 1(5)\)=0

⇒ \( 2(-3a - 20) + (a + 15) + 5\) = 0

⇒ \( -6a - 40 + a + 15 + 5\) = 0

⇒ \(-5a - 20. \) = 0

⇒ \(a= -4\)

इसलिए सही विकल्प विकल्प 2 है।

संकल्पना:

बिंदु (4, 2, k) से गुजरने वाली दिशा अनुपात (1, 1, 2) वाली रेखा का समीकरण सूत्र द्वारा दिया जाता है

\(\frac{x-4}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-k}{2}\)

3-D में तल का समीकरण: 2 x - 4y + z = 7,

चूंकि दी गई रेखा दिए गए तल पर स्थित है, इसलिए जिस बिंदु से होकर रेखा गुजर रही है , वह भी दिए गए तल पर स्थित होगी।

गणना:

यहाँ, तल 2 x - 4y + z = 7 का समीकरण,

सीधी रेखा \(\frac{x-4}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-k}{2}\)का समीकरण

बिंदु (4 , 2 , k ) दिए गए तल पर स्थित है क्योंकि यह भी इसी तल पर स्थित होगा।

⇒ 2×4 - 4×2 + k  = 7

⇒ k = 7

तो, सही उत्तर विकल्प 2 होगा।

संकल्पना:

यदि 2 रेखाएं \(\rm {x -x_1\over a}={y-y_1\over b}={z-z_1\over c}\) और \(\rm {x -x_2\over p}={y-y_2\over q}={z-z_2\over r}\)  एक-दूसरे के समतलीय हैं, तो

\(\begin{vmatrix} x_2-x_1& y_2-y_1 & z_2-z_1\\ a& b &c \\ p& q &r \end{vmatrix} = 0\) है। 

गणना:

समतलीय रेखाओं के दिए गए समीकरण 

\(\rm {x -1\over 2}={y+1\over3}={z\over-1}\) और \(\rm {x+2\over 1}={y-1\overλ}={z-2\over2}\) हैं। 

x1 = 1, y1 = - 1, z1 = 0 और x2 = - 2, y2 = 1, z2 = 2

∵ रेखाएं एक-दूसरे के समतलीय हैं इसलिए,

\(\begin{vmatrix} x_2-x_1&y_2-y_1& z_2-z_1\\ 2& 3 &-1 \\ 1&λ &2 \end{vmatrix} = 0\)

\(\begin{vmatrix} -2-1& 1-(-1)& 2-0\\ 2& 3 &-1 \\ 1&λ &2 \end{vmatrix} = 0\)

\(\begin{vmatrix} -2-1& 1+1& 2-0\\ 2& 3 &-1 \\ 1&λ &2 \end{vmatrix} = 0\)

\(\begin{vmatrix} -3& 2& 2\\ 2& 3 &-1 \\ 1&λ &2 \end{vmatrix} = 0\)

-3(6 + λ) - 2(4 + 1) + 2(2λ - 3) = 0

λ  - 34 = 0

λ = 34

संकल्पना:

माना दो चर a1x + b1y + c1 = 0 और a2x + b2y + c2 = 0 में रैखिक समीकरण का युग्म

समानांतर रेखाओं और असंगत समीकरणों की शर्तों के अनुसार:

\(\frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{{b_1}}}{{{b_2}}} \ne \frac{c_1}{c_2}\)

गणना:

रेखाओं का समीकरण निम्न द्वारा दिया गया है

3x + 2ky = 2 और 2x + 5y + 1 = 0

a1 = 3; a2 = 2

b1 = 2k; b2 = 5

c1 = -2; c2 = 1

यहाँ, दी गई रेखाएँ समांतर हैं

चूँकि,

\(\frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{{b_1}}}{{{b_2}}} \ne \frac{c_1}{c_2}\)

\(\therefore \frac{3}{2} = \frac{2k}{{5}}\left( {\because{c_1} \ne {c_2}} \right)\)

∴ \(k=\frac{15}{4}\)

Additional Information

(I) यदि \(\frac{{{a_1}}}{{{a_1}}} \ne \frac{{{b_1}}}{{{b_2}}}\)

तब आलेख एक अद्वितीय बिंदु पर प्रतिच्छेदन रेखाओं का एक युग्म होगा। जो समीकरण युग्म का हल है।

(II) यदि  

\(\frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{{b_1}}}{{{b_2}}} = \frac{c_1}{{{c_2}}}\) तो

तब आलेख अनुरूप रेखाओं का एक युग्म होगा

संकल्पना:

समतलीय: रेखाओं को समतलीय तब कहा जाता है यदि वे समान तल में होते हैं। 

यदि दो रेखाएं \(\rm {x -x_1\over a}={y-y_1\over b}={z-z_1\over c}\) और \(\rm {x -x_2\over p}={y-y_2\over q}={z-z_2\over r}\) एक-दूसरे के समतलीय हैं, तो 

\(\begin{vmatrix} x_1-x_2& y_1-y_2 & z_1-z_2\\ a& b &c \\ p& q &r \end{vmatrix} = 0\) है। 

∴ विकल्प 2 सही है। 

संकल्पना:

माना, ax2 + 2hxy + by2 = 0 द्वारा निरूपित दो रेखाएं इस प्रकार हैं

y = m1x

y = m2x

जहाँ, 

\({m_1} + {m_2} = \frac{{ - 2h}}{b}\)      ----(i)

और \({m_1}{m_2} = \frac{a}{b}\)      ----(ii)

माना, θ दो रेखाओं के बीच का कोण है

\(\tan θ = \frac{{ \pm ({m_1} - {m_2})}}{{1 + {m_1}{m_2}}}\)

∴ समीकरण (i) और (ii) का उपयोग करने पर

\(\tan θ = \frac{{ \pm 2\sqrt {{h^2} - ab} }}{{a + b}}\)  ----(iii)

गणना:

दिया गया समीकरण है:

y2 - xy - 6x2 = 0 

इसकी मानक समीकरण से तुलना करने पर:

ax2 + 2hxy + by2 = 0

b = 1, a = - 6, h = -1/2

समीकरण (1) से;

\(\tan θ = \frac{{ \pm 2\sqrt {{(\frac{-1}{2})^2} - (-6)(1)} }}{{-6 + 1}}\)

\(\tan θ = \frac{{ \pm 2\sqrt {{(\frac{1}{4})} +6} }}{{-5}}\)

\(\tan θ = \frac{{ \pm 2\times\frac{5}{2} }}{{-5}}=\pm1\)

∴ θ = 45°

संकल्पना:

बिंदु (4, 2, k) से गुजरने वाली दिशा अनुपात (1, 1, 2) वाली रेखा का समीकरण सूत्र द्वारा दिया जाता है

\(\frac{x-4}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-k}{2}\)

3-D में तल का समीकरण: 2 x - 4y + z = 7,

चूंकि दी गई रेखा दिए गए तल पर स्थित है, इसलिए जिस बिंदु से होकर रेखा गुजर रही है , वह भी दिए गए तल पर स्थित होगी।

गणना:

यहाँ, तल 2 x - 4y + z = 7 का समीकरण,

सीधी रेखा \(\frac{x-4}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-k}{2}\)का समीकरण

बिंदु (4 , 2 , k ) दिए गए तल पर स्थित है क्योंकि यह भी इसी तल पर स्थित होगा।

⇒ 2×4 - 4×2 + k  = 7

⇒ k = 7

तो, सही उत्तर विकल्प 2 होगा।

संकल्पना:

यदि 2 रेखाएं \(\rm {x -x_1\over a}={y-y_1\over b}={z-z_1\over c}\) और \(\rm {x -x_2\over p}={y-y_2\over q}={z-z_2\over r}\)  एक-दूसरे के समतलीय हैं, तो

\(\begin{vmatrix} x_2-x_1& y_2-y_1 & z_2-z_1\\ a& b &c \\ p& q &r \end{vmatrix} = 0\) है। 

गणना:

समतलीय रेखाओं के दिए गए समीकरण 

\(\rm {x -1\over 2}={y+1\over3}={z\over-1}\) और \(\rm {x+2\over 1}={y-1\overλ}={z-2\over2}\) हैं। 

x1 = 1, y1 = - 1, z1 = 0 और x2 = - 2, y2 = 1, z2 = 2

∵ रेखाएं एक-दूसरे के समतलीय हैं इसलिए,

\(\begin{vmatrix} x_2-x_1&y_2-y_1& z_2-z_1\\ 2& 3 &-1 \\ 1&λ &2 \end{vmatrix} = 0\)

\(\begin{vmatrix} -2-1& 1-(-1)& 2-0\\ 2& 3 &-1 \\ 1&λ &2 \end{vmatrix} = 0\)

\(\begin{vmatrix} -2-1& 1+1& 2-0\\ 2& 3 &-1 \\ 1&λ &2 \end{vmatrix} = 0\)

\(\begin{vmatrix} -3& 2& 2\\ 2& 3 &-1 \\ 1&λ &2 \end{vmatrix} = 0\)

-3(6 + λ) - 2(4 + 1) + 2(2λ - 3) = 0

λ  - 34 = 0

λ = 34

संकल्पना:

माना दो चर a1x + b1y + c1 = 0 और a2x + b2y + c2 = 0 में रैखिक समीकरण का युग्म

समानांतर रेखाओं और असंगत समीकरणों की शर्तों के अनुसार:

\(\frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{{b_1}}}{{{b_2}}} \ne \frac{c_1}{c_2}\)

गणना:

रेखाओं का समीकरण निम्न द्वारा दिया गया है

3x + 2ky = 2 और 2x + 5y + 1 = 0

a1 = 3; a2 = 2

b1 = 2k; b2 = 5

c1 = -2; c2 = 1

यहाँ, दी गई रेखाएँ समांतर हैं

चूँकि,

\(\frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{{b_1}}}{{{b_2}}} \ne \frac{c_1}{c_2}\)

\(\therefore \frac{3}{2} = \frac{2k}{{5}}\left( {\because{c_1} \ne {c_2}} \right)\)

∴ \(k=\frac{15}{4}\)

Additional Information

(I) यदि \(\frac{{{a_1}}}{{{a_1}}} \ne \frac{{{b_1}}}{{{b_2}}}\)

तब आलेख एक अद्वितीय बिंदु पर प्रतिच्छेदन रेखाओं का एक युग्म होगा। जो समीकरण युग्म का हल है।

(II) यदि  

\(\frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{{b_1}}}{{{b_2}}} = \frac{c_1}{{{c_2}}}\) तो

तब आलेख अनुरूप रेखाओं का एक युग्म होगा

संकल्पना:

समतलीय: रेखाओं को समतलीय तब कहा जाता है यदि वे समान तल में होते हैं। 

यदि दो रेखाएं \(\rm {x -x_1\over a}={y-y_1\over b}={z-z_1\over c}\) और \(\rm {x -x_2\over p}={y-y_2\over q}={z-z_2\over r}\) एक-दूसरे के समतलीय हैं, तो 

\(\begin{vmatrix} x_1-x_2& y_1-y_2 & z_1-z_2\\ a& b &c \\ p& q &r \end{vmatrix} = 0\) है। 

∴ विकल्प 2 सही है। 

संकल्पना:

माना, ax2 + 2hxy + by2 = 0 द्वारा निरूपित दो रेखाएं इस प्रकार हैं

y = m1x

y = m2x

जहाँ, 

\({m_1} + {m_2} = \frac{{ - 2h}}{b}\)      ----(i)

और \({m_1}{m_2} = \frac{a}{b}\)      ----(ii)

माना, θ दो रेखाओं के बीच का कोण है

\(\tan θ = \frac{{ \pm ({m_1} - {m_2})}}{{1 + {m_1}{m_2}}}\)

∴ समीकरण (i) और (ii) का उपयोग करने पर

\(\tan θ = \frac{{ \pm 2\sqrt {{h^2} - ab} }}{{a + b}}\)  ----(iii)

गणना:

दिया गया समीकरण है:

y2 - xy - 6x2 = 0 

इसकी मानक समीकरण से तुलना करने पर:

ax2 + 2hxy + by2 = 0

b = 1, a = - 6, h = -1/2

समीकरण (1) से;

\(\tan θ = \frac{{ \pm 2\sqrt {{(\frac{-1}{2})^2} - (-6)(1)} }}{{-6 + 1}}\)

\(\tan θ = \frac{{ \pm 2\sqrt {{(\frac{1}{4})} +6} }}{{-5}}\)

\(\tan θ = \frac{{ \pm 2\times\frac{5}{2} }}{{-5}}=\pm1\)

∴ θ = 45°

अवधारणा:

समतलीय सदिश और अदिश त्रिक गुणनफल:

• तीन सदिश समतलीय होते हैं यदि उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य हो। तीन सदिश A, B और C का अदिश त्रिक गुणनफल इस प्रकार दिया गया है:
  A · (B x C) = 0
• इस स्थिति में, हमारे पास सदिश हैं:
  A = 6i + 4j + k,
  B = i + 4j + 2k,
  C = 7i + Xj + 3k
• X का मान ज्ञात करने के लिए, हम अदिश त्रिक गुणनफल की गणना करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं, क्योंकि सदिश समतलीय हैं।
• सबसे पहले, B और C का सदिश गुणनफल ज्ञात कीजिए:
  • B x C = |i j k|
    |1 4 2|
    |7 X 3|
  • सारणिक का प्रसार करें:
    B x C = (12 - 2X)i - (3 - 14)j + (X - 28)k = (12 - 2X)i + 11j + (X - 28)k।
• अब, A का B x C के साथ अदिश गुणनफल ज्ञात कीजिए:
  • A · (B x C) = (6i + 4j + k) · [(12 - 2X)i + 11j + (X - 28)k]
  • A · (B x C) = 6(12 - 2X) + 4(11) + 1(X - 28)
  • सरलीकरण करने के बाद:
    A · (B x C) = 72 - 12X + 44 + X - 28 = 88 - 11X।
• सदिशों के समतलीय होने के लिए, A · (B x C) = 0:
  • 88 - 11X = 0
  • X = 88 / 11 = 8

गणना:

दिए गए सदिश A = 6i + 4j + k, B = i + 4j + 2k, और C = 7i + Xj + 3k

सबसे पहले, B × C की गणना करें, फिर A · (B × C) की गणना करें। A · (B x C) = 0 सेट करें और X के लिए हल करें:

A · (B × C) = 88 - 11X = 0 → X = 8।

∴ X का मान 8 है।

∴ अतः सही उत्तर: विकल्प 2 (X = 8) है।