Sectional Formula MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Sectional Formula - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना

मान लीजिए बिंदु \(G(h,k')\) है। तब बिंदु के निर्देशांक विभाजन सूत्र द्वारा दिए जाएँगे।

\(G(h,k')=\dfrac{2(1)+3(2)}{3+2},\dfrac{2(1)+3(4)}{3+2}\)

\(\Rightarrow\dfrac{8}{5},\dfrac{14}{5}\)

चूँकि रेखा G से गुजरती है, हमें प्राप्त होता है

⇒ \(2(\dfrac{8}{5})+\dfrac{14}{5}=k\)

⇒ \(k=\dfrac{16+14}{5}\)

⇒ \(k=\dfrac{30}{5}\)

⇒ \(k=6\)

इसलिए विकल्प 3 सही है। 

अवधारणा:

समांतर चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समद्विभाजित करते हैं:

गणना:

E दोनों विकर्णों का मध्य बिंदु है:

⇒ \((\frac{α+γ}{2},\frac{β+δ}{2})\) = (1,1)

⇒ α + γ = 2 ....(1)

⇒ β + δ = 2 ......(2)

(1) और (2) को जोड़ने पर हमें प्राप्त होता है:

⇒ α + β + δ + γ = 4

⇒ 2 (α + β + γ + δ) = 8

अतः विकल्प 4 सही है। 

संकल्पना:

एक रेखा का सामान्य समीकरण y = mx + c है। 

जहाँ m ढलान है और c स्थिरांक है। 

• समानांतर रेखाओं के ढलान बराबर हैं। 
• लंबवत रेखाओं के ढलान का गुणनफल = -1 है। 

ढलान m और (x1, y1) से होकर गुजरने वाले रेखा का समीकरण 

(y - y1) = m (x - x1)

(x1, y1) और (x2, y2) से होकर गुजरने वाले रेखा का समीकरण निम्न है:

\(\rm {y-y_1\over x-x_1}={y_2-y_1\over x_2-x_1}\)

यदि एक बिंदु P बिंदु A(x1, y1) और B(x2, y2) को जोड़ने वाली एक रेखा को m:n के अनुपात में विभाजित करता है, तो 

\(\rm x_P ={nx_1 + mx_2\over n+m}\), \(\rm y_P ={ny_1 + my_2\over n+m}\) और \(\rm z_P ={nz_1 + mz_2\over n+m}\)

गणना:

दिए गए बिंदु (3, 0) और (-1, 6) हैं। 

और बिंदु (2, 1.5) रेखा को m:n के अनुपात में विभाजित करता है, अर्थात्

x = \(\rm {nx_1 + mx_2\over n+m}\)

⇒ 2 = \(\rm {n\times3 + m\times(-1)\over m+n}\)

⇒ 2m + 2n = 3n - m 

⇒ 3m = n

⇒ \(\rm {m\over n}={1\over3}\) ⇒ m : n = 1 : 3 

Alternate Method

दिए गए बिंदु (3, 0) और (-1, 6) हैं। 

और बिंदु (2, 1.5) रेखा को m:n के अनुपात में विभाजित करता है, अर्थात्

y = \(\rm {ny_1 + my_2\over n+m}\)

⇒ 1.5 = \(\rm {n\times0 + m\times6\over m+n}\)

⇒ 1.5m + 1.5n = 6m

⇒ 1.5n = 4.5m

⇒ n = 3m

⇒ \(\rm {m\over n}={1\over3}\) ⇒ m : n = 1 : 3 

संकल्पना:

अनुभाग सूत्र का उपयोग उस अनुपात को खोजने के लिए किया जाता है जिसमें एक रेखा खंड को एक बिंदु से आंतरिक या बाह्य रूप से विभाजित किया जाता है। इस सूत्र के अनुसार यदि (AB पर स्थित) कोई बिंदु P, AB को m : n के अनुपात में विभाजित करता है तो,

\(P = \left ( \frac{mx_{2}+nx_{1}}{m+n},\, \frac{my_{2}+ny_{1}}{m+n} \right )\)       ---- (1)

गणना:

दिया गया है कि m : n = 2 : 3 और अंक (8, 9) और (-7, 4) हैं।

समीकरण (1) का प्रयोग करते हुए हम प्राप्त करते हैं,

\(P = \left ( \frac{2\times (-7)\, +\,3\times 8}{2 + 3},\: \frac{2\times 4\, +\,3\times 9}{2 + 3} \right )\)

\(⇒ P = \left ( \frac{-14\, +\,24}{5},\: \frac{8\, +\,27}{5} \right )\)

\(⇒ P = \left ( \frac{10}{5},\: \frac{35}{5} \right )\)

⇒ P = (2, 7)

अत: उस बिंदु के निर्देशांक जो बिंदुओं (8, 9) और (-7, 4) को मिलाने वाले रेखाखंड को 2 ∶ 3 के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है, (2, 7) हैं।

अवधारणा :

आंतरिक विभाजन के बिंदु को इस प्रकार दिया गया है: \(\left( {x,\;y} \right) = \left( {\frac{{m{x_2} + n{x_1}}}{{m + n}},\frac{{m{y_2} + n{y_1}}}{{m + n}}} \right)\)

गणना:

माना कि y -अक्ष A(- 6, 15) और B(3, 5) को मिलानेवाली रेखा को m : 1 के अनुपात में विभाजित करता है।

माना कि C प्रतिच्छेदन का बिंदु है।

जैसा कि हम जानते हैं कि, आंतरिक विभाजन के बिंदु को इस प्रकार दिया गया है: \(\left( {x,\;y} \right) = \left( {\frac{{m{x_2} + n{x_1}}}{{m + n}},\frac{{m{y_2} + n{y_1}}}{{m + n}}} \right)\)

\(⇒ C = \left( {\frac{{3m - 6}}{{m + 1}},\frac{{5m + 15}}{{m + 1}}} \right)\)

C विभाजन का बिंदु है। C, y- अक्ष पर स्थित है और y- अक्ष का समीकरण x = 0 है।

तो बिंदु C समीकरण x = 0 को संतुष्ट करेगा

⇒ 3m - 6 = 0

⇒ m = 2

तो, आवश्यक अनुपात 2 : 1 है

Additional Information

बाह्य विभाजन का बिंदु इस प्रकार दिया गया है:

 \(\left( {x,y} \right) = \left( {\frac{{m{x_2} - n{x_1}}}{{m - n}},\frac{{m{y_2} - n{y_1}}}{{m - n}}} \right)\)

नोट : यदि P रेखा खंड AB का मध्य बिंदु है तो

 \(P\left( {x,\;y} \right) = \left( {\frac{{{x_1} + {x_2}}}{2},\frac{{{y_1} + {y_2}}}{2}} \right)\)

अवधारणा :

माना कि A (x1, y1) और B (x2, y2) दो दिए गए बिंदु हैं और बिंदु P (x, y) बिंदु A और B को मिलानेवाली रेखा को m: n के अनुपात में विभाजित करता है, फिर

• आंतरिक विभाजन के बिंदु को इस प्रकार दिया गया है: \(\left( {x,\;y} \right) = \left( {\frac{{m{x_2} + n{x_1}}}{{m + n}},\frac{{m{y_2} + n{y_1}}}{{m + n}}} \right)\)
• बाह्य विभाजन का बिंदु इस प्रकार दिया गया है: \(\left( {x,y} \right) = \left( {\frac{{m{x_2} - n{x_1}}}{{m - n}},\frac{{m{y_2} - n{y_1}}}{{m - n}}} \right)\)

नोट : यदि P, रेखा खंड AB का मध्य बिंदु है, तो \(P\left( {x,\;y} \right) = \left( {\frac{{{x_1} + {x_2}}}{2},\frac{{{y_1} + {y_2}}}{2}} \right)\)

गणना :

यहां, हमें उस अनुपात को खोजना होगा जिसमें रेखा x + y = 4 बिंदु A (- 1, 1) और B (5, 7) को जोड़ने वाली रेखा को विभाजित करती है।

माना कि रेखा x + y = 4 बिंदु A (- 1, 1) और B (5, 7) को जोड़ने वाली रेखा को m: 1 के अनुपात में विभाजित करती है।

माना कि विभाजन का बिंदु C है।

जैसा कि हम जानते हैं कि, आंतरिक विभाजन के बिंदु को इस प्रकार दिया गया है: \(\left( {x,\;y} \right) = \left( {\frac{{m{x_2} + n{x_1}}}{{m + n}},\frac{{m{y_2} + n{y_1}}}{{m + n}}} \right)\)

\(⇒ C = \left( {\frac{{5m - 1}}{{m + 1}},\frac{{7m + 1}}{{m + 1}}} \right)\)

∵ C विभाजन का बिंदु है। C रेखा x + y = 4 पर स्थित है और बिंदु C के निर्देशांक रेखा x + y = 4 के समीकरण को संतुष्ट करेंगे।

\(⇒ \frac{5m - 1}{m + 1} + \frac{7m + 1}{m + 1} =4\)

⇒ (5m - 1) + (7m + 1) = 4(m + 1)

⇒ m = 1/2

तो, आवश्यक अनुपात है: (1/2) : 1 = 1 : 2

इसलिए, विकल्प B सही उत्तर है।

संकल्पना:

खंड सूत्र: खंड सूत्र का प्रयोग उस बिंदु के निर्देशांक को ज्ञात करने के लिए किया जाता है जो एक रेखा को दो भागों में विभाजित करता है जिससे उनके लम्बाई का अनुपात m : n है। 

1. माना कि P और Q क्रमशः दिए गए दो बिंदु (x1, y1, z1) और (x2, y2, z2) हैं और M(x, y, z) रेखाखंड PQ को आंतरिक रूप से m: n के अनुपात में विभाजित करने वाला बिंदु है। 

2. आंतरिक खंड सूत्र: जब रेखाखंड को आंतरिक रूप से m: n के अनुपात में विभाजित करते हैं, तो हम निम्न सूत्र का प्रयोग करते हैं। \(\rm (x, y, z)=(\frac{mx_2+nx_1}{m+n}, \frac{my_2+ny_1}{m+n}, \frac{mz_2+nz_1}{m+n})\)

गणना:

माना कि AB को R पर तल द्वारा k:1 के अनुपात में विभाजित किया गया है,

तो R के निर्देशांक (\(\rm (\frac{3k+1}{k+1},\frac{k+2}{k+1},\frac{2k+3}{k+1})\)) हैं। 

अब, R, तल पर है, इसलिए इस बिंदु को समीकरण 2x - y + z = 4 को संतुष्ट करना चाहिए। 

∴ \(\rm \frac{6k+2}{k+1}-\frac{k+2}{k+1}+\frac{2k+3}{k+1}=4\)

\(\rm ⇒ \frac{7k+3}{k+1}=4\)

⇒ 7k + 3 = 4k + 4

⇒ 3k = 1

⇒ k = 1/3

 इसलिए, अनुपात \(\frac1 3 : 1\)= 1:3 है। 

अतः विकल्प (3) सही है। 

संकल्पना​:

यदि P बिंदु A(x1, y1, z1) और B(x2, y2, z2) को जोड़ने वाली रेखा को k:1 के अनुपात में विभाजित करता है, तो P के निर्देशांक इस प्रकार दिए गए हैं:

P = \(\rm \left(\frac{x_1+kx_2}{k+1},\frac{y_1+ky_2}{k+1},\frac{z_1+kz_2}{k+1} \right )\)

गणना​:

बिंदु A(3, 2, -1) और B(6, 2, -2) को मिलाने वाले रेखाखंड पर P एक बिंदु है।

माना (x1, y1, z1) = (3, 2, –1) और (x2, y2, z2) = (6, 2, –2)

∴ P = \(\rm \left(\frac{3+6k}{k+1},\frac{2+2k}{k+1},\frac{-1-2k}{k+1} \right )\)

प्रश्न के अनुसार , \(\rm \frac{3+6k}{k+1}\) = 5

⇒ 3 + 6k = 5k + 5

⇒ k = 2

∴ P का y-निर्देशांक

= \(\rm \frac{2+2k}{k+1}\)

= \(\rm \frac{2+2\times 2}{2+1}\)

= \(\rm \frac{2+4}{3}\)

= 2

∴ बिंदु P का y निर्देशांक 2 है।

सही उत्तर विकल्प 1 है।

अवधारणा:

माना P और Q क्रमशः दिए गए दो बिंदु (x1, y1) और (x2, y2) हैं, और बिंदु M रेखाखंड PQ को आतंरिक रूप से m : n के अनुपात में विभाजित करता है, तो विभाजन सूत्र से, बिंदु M का निर्देशांक निम्न प्रकार दिया जायेगा:

\(M(x, y) = \left \{ \left ( \frac{mx_2+nx_1}{m+n} \right ), \left ( \frac{my_2+ny_1}{m+n} \right ) \right \}\)

माना P जो y-अक्ष पर है और दो बिन्दुओं A और B से बनने वाले रेखाखंड को k : 1 के अनुपात में विभाजित करता है।

चूँकि बिंदु P y-अक्ष पर है, इसलिए, बिंदु P का निर्देशांक (0, y) के रूप में होगा।

अब, विभाजन सूत्र के प्रयोग और x-निर्देशांक से तुलना पर हमें प्राप्त होता है,

\(0 = \frac{3k - 2}{k+1}\)

⇒ 3k - 2 = 0

⇒ k = 2/3

∴ k : 1 = 2 : 3

अतः, अभीष्ट अनुपात 2 : 3 है।

अवधारणा :

आंतरिक विभाजन के बिंदु को इस प्रकार दिया गया है: \(\left( {x,\;y} \right) = \left( {\frac{{m{x_2} + n{x_1}}}{{m + n}},\frac{{m{y_2} + n{y_1}}}{{m + n}}} \right)\)

गणना:

माना कि y -अक्ष A(- 6, 15) और B(3, 5) को मिलानेवाली रेखा को m : 1 के अनुपात में विभाजित करता है।

माना कि C प्रतिच्छेदन का बिंदु है।

जैसा कि हम जानते हैं कि, आंतरिक विभाजन के बिंदु को इस प्रकार दिया गया है: \(\left( {x,\;y} \right) = \left( {\frac{{m{x_2} + n{x_1}}}{{m + n}},\frac{{m{y_2} + n{y_1}}}{{m + n}}} \right)\)

\(⇒ C = \left( {\frac{{3m - 6}}{{m + 1}},\frac{{5m + 15}}{{m + 1}}} \right)\)

C विभाजन का बिंदु है। C, y- अक्ष पर स्थित है और y- अक्ष का समीकरण x = 0 है।

तो बिंदु C समीकरण x = 0 को संतुष्ट करेगा

⇒ 3m - 6 = 0

⇒ m = 2

तो, आवश्यक अनुपात 2 : 1 है

Additional Information

बाह्य विभाजन का बिंदु इस प्रकार दिया गया है:

 \(\left( {x,y} \right) = \left( {\frac{{m{x_2} - n{x_1}}}{{m - n}},\frac{{m{y_2} - n{y_1}}}{{m - n}}} \right)\)

नोट : यदि P रेखा खंड AB का मध्य बिंदु है तो

 \(P\left( {x,\;y} \right) = \left( {\frac{{{x_1} + {x_2}}}{2},\frac{{{y_1} + {y_2}}}{2}} \right)\)

संकल्पना:

खंड सूत्र: खंड सूत्र का प्रयोग उस बिंदु के निर्देशांक को ज्ञात करने के लिए किया जाता है जो एक रेखा को दो भागों में विभाजित करता है जिससे उनके लम्बाई का अनुपात m : n है। 

1. माना कि P और Q क्रमशः दिए गए दो बिंदु (x₁, y₁, z₁) और (x₂, y₂, z₂) हैं और M(x, y, z) रेखाखंड PQ को आंतरिक रूप से m: n के अनुपात में विभाजित करने वाला बिंदु है। 

2. आंतरिक खंड सूत्र: जब रेखाखंड को आंतरिक रूप से m: n के अनुपात में विभाजित करते हैं, तो हम इस सूत्र\(\rm (x, y, z)=(\frac{mx_2+nx_1}{m+n}, \frac{my_2+ny_1}{m+n}, \frac{mz_2+nz_1}{m+n})\)

का प्रयोग करते हैं। 

गणना:

यहाँ, बिंदु R(5, 4, -6), बिंदु P(3, 2, -4) और Q(9, 8, -10) को विभाजित करता है। 

माना कि आवश्यक अनुपात k:1 है, तो R के निर्देशांक निम्न हैं

(\(\rm \frac{9k+3}{k+1}, \frac{8k+2}{k+1},\frac{-10k-4}{k+1}\))

लेकिन R के निर्देशांक (5, 4, -6) हैं। 

∴\(\rm \frac{9k+3}{k+1}=5\)

\(\rm ⇒ 9k+3=5k+5\)

 \(\rm ⇒ 4k=2\)

⇒ k = 1/2

∴ k :1 = \(\frac 1 2 :1\)

= 1: 2

अतः विकल्प (2) सही है। 

संकल्पना:

खंड सूत्र: खंड सूत्र का उपयोग उस बिंदु के निर्देशांक को निर्धारित करने के लिए किया जाता है जो किसी रेखा को दो भागों में विभाजित करता है जैसे कि उनकी लंबाई का अनुपात m : n हो

माना कि A और B दिए गए दो बिंदु क्रमशः (x1, y1, z1) और (x1, y1, z1) हैं और C(x, y, z) वह बिंदु है जो अनुपात m: n में रेखा-खंड AB को आंतरिक रूप से विभाजित करता है।

I. आंतरिक खंड सूत्र: जब रेखा खंड को आंतरिक रूप से अनुपात m: n में विभाजित किया जाता है तो हम इस सूत्र का उपयोग करते हैं। 

\((x,\ y,\ z) = \ (\frac{mx_2\ +\ nx_1}{m\ +\ n},\ \frac{my_2\ +\ ny_1}{m\ +\ n},\ \frac{mz_2\ +\ nz_1}{m\ +\ n})\)

II. बाह्य खंड सूत्र: जब बिंदु M रेखा खंड के बाह्य भाग पर स्थित होता है।

\((x,\ y,\ z) = \ (\frac{mx_2\ -\ nx_1}{m\ -\ n},\ \frac{my_2\ -\ ny_1}{m\ -\ n},\ \frac{mz_2\ -\ nz_1}{m\ -\ n})\)

गणना:

माना R, PQ को m : n के अनुपात में विभाजित करता है

उपरोक्त सूत्र का उपयोग करके, R का निर्देशांक है\((\frac{9m+3n}{m+n}, \frac{8m+2n}{m+n}, \frac{-10m-4n}{m+n})\)

लेकिन R का निर्देशांक (5, 4, -6) दिया हुआ है

समीकरण x निर्देशांक

\(5=\frac{9m+3n}{m+n}\)

⇒ 5m + 5n = 9m + 3n 

⇒ 4m = 2n

⇒ m/n = 2/4 = 1/2

∴ R, PQ को 1 : 2 के अनुपात में विभाजित करता है।

दिया गया है -

बिंदुओं के निर्देशांक हैं:

बिंदु A: (-3, -4) और बिंदु B: (1, 2)

अवधारणा -

उन निर्देशांकों को खोजने का सूत्र जहाँ एक रेखाखंड को एक बिंदु (x, y) द्वारा m:n के अनुपात में विभाजित किया जाता है:

\(\left(\frac{mx_2 + nx_1}{m + n}, \frac{my_2 + ny_1}{m + n}\right) \)

स्पष्टीकरण -

यहाँ, y-अक्ष रेखाखंड AB को किसी बिंदु (0, y) पर काटता है। आइए उस अनुपात को निरूपित करें जिसमें y-अक्ष AB को m:n के रूप में विभाजित करता है।

y-अक्ष को (0, y) पर प्रतिच्छेद करने के लिए, x-निर्देशांक 0 होगा।
खंड सूत्र का उपयोग करने पर:

\( \left(\frac{n \cdot (-3) + m \cdot 1}{m + n}, \frac{n \cdot (-4) + m \cdot 2}{m + n}\right) = (0, y)\)

इससे हमें निम्नलिखित समीकरण प्राप्त होते हैं:

\( \frac{-3n + m}{m + n} = 0 \\ \frac{-4n + 2m}{m + n} = y \)

पहले समीकरण से, हमें m = 3n मिलता है।

दूसरे समीकरण में m = 3n रखें:

\( \frac{-4n + 2(3n)}{3n + n} = y \\ \frac{-4n + 6n}{4n} = y \\ \frac{2n}{4n} = y \\ y = \frac{1}{2} \)

अतः, y-अक्ष (-3, -4) और (1, 2) को जोड़ने वाले रेखा खंड को 3:1 के अनुपात में विभाजित करता है।

संकल्पना:

खंड सूत्र: खंड सूत्र का प्रयोग उस बिंदु के निर्देशांक को ज्ञात करने के लिए किया जाता है जो एक रेखा को दो भागों में विभाजित करता है जिससे उनके लम्बाई का अनुपात m : n है। 

1. माना कि P और Q क्रमशः दिए गए दो बिंदु (x1, y1, z1) और (x2, y2, z2) हैं और M(x, y, z) रेखाखंड PQ को आंतरिक रूप से m: n के अनुपात में विभाजित करने वाला बिंदु है। 

2. आंतरिक खंड सूत्र: जब रेखाखंड को आंतरिक रूप से m: n के अनुपात में विभाजित करते हैं, तो हम निम्न सूत्र का प्रयोग करते हैं। \(\rm (x, y, z)=(\frac{mx_2+nx_1}{m+n}, \frac{my_2+ny_1}{m+n}, \frac{mz_2+nz_1}{m+n})\)

गणना:

माना कि PQ को बिंदु R पर xz -तल द्वारा k:1 के अनुपात में विभाजित किया गया है। 

तो R के निर्देशांक (\(\rm (\frac{4k-1}{k+1}, \frac{2k-3}{k+1}, \frac{-k+4}{k+1})\)) हैं। 

अब, R, xz - तल पर है, इसलिए y - निर्देशांक 0 होगा। 

∴\(\rm \frac{2k-3}{k+1}=0\)

⇒ 2k = 3

⇒ k = 3/2

 इसलिए, प्रतिच्छेदन बिंदु = R =  (\(\rm (\frac{4(\frac 3 2)-1}{\frac 3 2+1}, \frac{2(\frac 3 2)-3}{\frac 3 2+1}, \frac{-\frac 3 2+4}{\frac 3 2+1})\))

= (\(\frac{10}{5}, 0, \frac 5 5\))

= (2, 0, 1)

अतः विकल्प (1) सही है। 

अवधारणा :

माना कि A (x1, y1) और B (x2, y2) दो दिए गए बिंदु हैं और बिंदु P (x, y) बिंदु A और B को मिलानेवाली रेखा को m: n के अनुपात में विभाजित करता है, फिर

• आंतरिक विभाजन के बिंदु को इस प्रकार दिया गया है: \(\left( {x,\;y} \right) = \left( {\frac{{m{x_2} + n{x_1}}}{{m + n}},\frac{{m{y_2} + n{y_1}}}{{m + n}}} \right)\)
• बाह्य विभाजन का बिंदु इस प्रकार दिया गया है: \(\left( {x,y} \right) = \left( {\frac{{m{x_2} - n{x_1}}}{{m - n}},\frac{{m{y_2} - n{y_1}}}{{m - n}}} \right)\)

नोट : यदि P, रेखा खंड AB का मध्य बिंदु है, तो \(P\left( {x,\;y} \right) = \left( {\frac{{{x_1} + {x_2}}}{2},\frac{{{y_1} + {y_2}}}{2}} \right)\)

गणना :

माना कि C वह बिंदु है जो 3: 1 के अनुपात में बिंदु A (5, - 2) और B (9, 6) को जोड़ने वाले रेखा खंड को विभाजित करता है।

यहाँ, x1 = 5, y1 = - 2, x2 = 9, y2 = 6, m = 3 और n = 1

जैसा कि हम जानते हैं कि, आंतरिक विभाजन के बिंदु को इस प्रकार दिया गया है: \(\left( {x,\;y} \right) = \left( {\frac{{m{x_2} + n{x_1}}}{{m + n}},\frac{{m{y_2} + n{y_1}}}{{m + n}}} \right)\)

\(⇒ \left( {x,\;y} \right) = \left( {\frac{{3\cdot {9} + 1 \cdot {5}}}{{3 + 1}},\frac{{3 \cdot {6} - 1 \cdot {2}}}{{3 + 1}}} \right)\)

⇒ (x, y) = (8, 4)

इसलिए, विकल्प A सही उत्तर है।