उस अनुपात को ज्ञात कीजिए जिसमें बिंदु P(3, 2, -4) और Q(9,8, -10) के जोड़ को बिंदु R(5, 4, -6) द्वारा विभाजित किया जाता है?

संकल्पना:

खंड सूत्र: खंड सूत्र का प्रयोग उस बिंदु के निर्देशांक को ज्ञात करने के लिए किया जाता है जो एक रेखा को दो भागों में विभाजित करता है जिससे उनके लम्बाई का अनुपात m : n है। 

1. माना कि P और Q क्रमशः दिए गए दो बिंदु (x₁, y₁, z₁) और (x₂, y₂, z₂) हैं और M(x, y, z) रेखाखंड PQ को आंतरिक रूप से m: n के अनुपात में विभाजित करने वाला बिंदु है। 

2. आंतरिक खंड सूत्र: जब रेखाखंड को आंतरिक रूप से m: n के अनुपात में विभाजित करते हैं, तो हम इस सूत्र\(\rm (x, y, z)=(\frac{mx_2+nx_1}{m+n}, \frac{my_2+ny_1}{m+n}, \frac{mz_2+nz_1}{m+n})\)

का प्रयोग करते हैं। 

गणना:

यहाँ, बिंदु R(5, 4, -6), बिंदु P(3, 2, -4) और Q(9, 8, -10) को विभाजित करता है। 

माना कि आवश्यक अनुपात k:1 है, तो R के निर्देशांक निम्न हैं

(\(\rm \frac{9k+3}{k+1}, \frac{8k+2}{k+1},\frac{-10k-4}{k+1}\))

लेकिन R के निर्देशांक (5, 4, -6) हैं। 

∴\(\rm \frac{9k+3}{k+1}=5\)

\(\rm ⇒ 9k+3=5k+5\)

 \(\rm ⇒ 4k=2\)

⇒ k = 1/2

∴ k :1 = \(\frac 1 2 :1\)

= 1: 2

अतः विकल्प (2) सही है।