बिंदु के उस प्रतिच्छेदन को ज्ञात कीजिए जिसमें बिंदु P(-1, -3, 4) और Q(4, 2, -1) को जोड़ने वाली रेखाखंड को xz - तल द्वारा विभाजित किया गया है?

संकल्पना:

खंड सूत्र: खंड सूत्र का प्रयोग उस बिंदु के निर्देशांक को ज्ञात करने के लिए किया जाता है जो एक रेखा को दो भागों में विभाजित करता है जिससे उनके लम्बाई का अनुपात m : n है। 

1. माना कि P और Q क्रमशः दिए गए दो बिंदु (x1, y1, z1) और (x2, y2, z2) हैं और M(x, y, z) रेखाखंड PQ को आंतरिक रूप से m: n के अनुपात में विभाजित करने वाला बिंदु है। 

2. आंतरिक खंड सूत्र: जब रेखाखंड को आंतरिक रूप से m: n के अनुपात में विभाजित करते हैं, तो हम निम्न सूत्र का प्रयोग करते हैं। \(\rm (x, y, z)=(\frac{mx_2+nx_1}{m+n}, \frac{my_2+ny_1}{m+n}, \frac{mz_2+nz_1}{m+n})\)

गणना:

माना कि PQ को बिंदु R पर xz -तल द्वारा k:1 के अनुपात में विभाजित किया गया है। 

तो R के निर्देशांक (\(\rm (\frac{4k-1}{k+1}, \frac{2k-3}{k+1}, \frac{-k+4}{k+1})\)) हैं। 

अब, R, xz - तल पर है, इसलिए y - निर्देशांक 0 होगा। 

∴\(\rm \frac{2k-3}{k+1}=0\)

⇒ 2k = 3

⇒ k = 3/2

 इसलिए, प्रतिच्छेदन बिंदु = R =  (\(\rm (\frac{4(\frac 3 2)-1}{\frac 3 2+1}, \frac{2(\frac 3 2)-3}{\frac 3 2+1}, \frac{-\frac 3 2+4}{\frac 3 2+1})\))

= (\(\frac{10}{5}, 0, \frac 5 5\))

= (2, 0, 1)

अतः विकल्प (1) सही है।