Family of Lines MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Family of Lines - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

यदि रेखा युग्म a2x2 + 4hxy + b2y2 = 0 की एक रेखा निर्देशांक अक्षों के धनात्मक भाग के बीच के कोण को समद्विभाजित करती है, तब a2 + b2​ = -4h है। 

विकल्प (2) सही है।

गणना

बिंदु P(x, y) का बिंदुपथ जिसकी x + 2y + 7 = 0 और 2x - y + 8 = 0 से दूरी समान है

⇒ \(\frac{x+2 y+7}{\sqrt{5}}= \pm \frac{2 x-y+8}{\sqrt{5}}\)

⇒ (x + 2y + 7)² - (2x - y + 8)² = 0

रेखाओं का संयुक्त समीकरण

⇒ (x - 3y + 1) (3x + y + 15) = 0 { \(\because \) a² - b² = (a + b)(a - b)}

⇒ 3x² - 3y² - 8xy + 18x - 44y + 15 = 0

⇒ \(x^2-y^2-\frac{8}{3} x y+6 x-\frac{44}{3} y+5=0\)

⇒ x² - y² + 2h xy + 2gx 2 + 2fy + c = 0

⇒ \(\mathrm{h}=\frac{-8}{3}, \mathrm{~g}=3, \mathrm{f}=\frac{-44}{3}, \mathrm{c}=5\)

⇒ \( \mathrm{~g}+\mathrm{c}+\mathrm{h}-\mathrm{f}=3+5-\frac{8}{3}+\frac{44}{3}=8+\frac{36}{3}=8+12=20\)

अतः विकल्प (1) सही है।

स्पष्टीकरण-

दिया गया समीकरण y – 2x = a दो चरों में एक रैखिक समीकरण के समुच्चय को दर्शाता है क्योंकि इसमें आश्रित चर का कोई गुणन नहीं है और पद की घात 1 है।

इसलिए, केवल x + 2y = c भी दो चरों में एक रैखिक समीकरण के समुच्चय को दर्शाता है क्योंकि आश्रित चर का कोई गुणन नहीं है और पद की घात 1 है।

अतः x + 2y = c सही उत्तर है।

अवधारणा:

सरल रेखाओं के युग्म के लिए शर्त:

समीकरण ax² + 2hxy + by² = 0द्वितीय कोटि का एक समघात समीकरण है, जो मूलबिंदु से गुजरने वाली सरल रेखाओं के एक युग्म को निरूपित करता है। लेकिन-
(i) यदि h² > ab, तब दो सरल रेखाएँ वास्तविक और अलग हैं।
(ii) यदि h² = ab, तब दो सरल रेखाएँ संपाती होती हैं।
(iii) यदि h² < ab, तब दो सरल रेखाएँ काल्पनिक हैं, जिनका मूल प्रतिच्छेदन बिंदु के रूप में है।

हल:

(2l − 3)x2 + 2lxy − y2 = 0  . . . (1)

 ax² + 2hxy + by² = 0     से तुलना करने पर    . . . (2)

हम जानते हैं​ कि, a = 2I - 3, h = I, b = - 1

समीकरण (1) सरल रेखाओं के एक युग्म को निरूपित करता है, यदि-

h² > ab ⇒ I² > (2I - 3)(-1)

⇒ I² >(3 - 2I)

⇒ I² + 2I - 3 > 0

⇒ I² + 3I - I - 3 > 0

⇒ (I + 3)(I - 1) > 0

⇒ I < - 3 or I > 0

∴ I ∈ R - (- 3, 1)

अतः विकल्प (2) सही है।

संकल्पना:

माना कि L₃ रेखा L₁ और L₂ के प्रतिच्छेदन से होकर गुजरने वाली रेखा है। 

तो रेखा L₃ का समीकरण L₁ + (λ)L₂ = 0 है। 

गणना:

रेखाओं के प्रतिच्छेदन से होकर गुजरने वाले रेखा का समीकरण, 

2x - 3y + 7 = 0 और 7x + 4y + 2 = 0  निम्न दिया गया है

2x - 3y + 7 + λ (7x + 4y + 2) = 0                     (1)

अब, यह रेखा भी बिंदु (2, 3) से होकर गुजरती है, 

इसलिए, यह रेखा 2x - 3y + 7 + λ (7x + 4y + 2) = 0 के समीकरण को संतुष्ट करेगी। 

\(\begin{array}{l} \therefore 2\left( 2 \right) - 3\left( 3 \right) + 7 + {\rm{\lambda }}\left( {7\left( 2 \right) + 4\left( 3 \right) + 2} \right) = 0\\ \Rightarrow 4 - 9 + 7 = - {\rm{\lambda }}\left( {14 + 12 + 2} \right) \end{array}\)

\(\Rightarrow - {\rm{\lambda }} = \frac{2}{{28}}\)

\(\Rightarrow {\rm{\lambda }} = - \frac{1}{{14}}\)

अब, (1) में \({\rm{\lambda }} = - \frac{1}{{14}}\) रखने पर, हमें रेखा का समीकरण प्राप्त होता है, 

\(2{\rm{x\;}} - {\rm{\;}}3{\rm{y\;}} + {\rm{\;}}7{\rm{\;}} + \left( { - \frac{1}{{14}}} \right)\left( {7{\rm{x\;}} + {\rm{\;}}4{\rm{y\;}} + {\rm{\;}}2} \right) = {\rm{\;}}0\)

14 से गुणा करने पर,

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 28{\rm{x}} - 42{\rm{y}} + 98 - \left( {7{\rm{x\;}} + {\rm{\;}}4{\rm{y\;}} + {\rm{\;}}2} \right) = 0\\ \Rightarrow 28{\rm{x}} - 7{\rm{x}} - 42{\rm{y}} - 4{\rm{y}} + 98 - 2 = 0\\ \Rightarrow 21{\rm{x}} - 46{\rm{y}} + 96 = 0 \end{array}\)

अतः विकल्प (2) सही है। 

धारणा:

यदि a₁x + b₁y + c₁ = 0, a₂x + b₂y + c₂ = 0 and a₃x + b₃y + c₃ = 0 3 रेखाएँ हैं तब इन पंक्तियों को समवर्ती कहा जाता है यदि:

\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{b_1}}&{{c_1}}\\ {{a_2}}&{{b_2}}&{{c_2}}\\ {{a_3}}&{{b_3}}&{{c_3}} \end{array}} \right| = 0\)

गणना:

दिया हुआ: रेखाएँ 3y + 4x = 1, y = x + 5 and 5y + bx = 3 समवर्ती हैं।

अब, रेखा के मानक समीकरण ax + by + c = 0 के साथ तीन रेखाओं की तुलना करके हम प्राप्त करते हैं:

⇒ a₁ = 4, b₁ = 3, c₁ = -1, a₂ = 1, b₂ = -1, c₂ = 5, a₃ = b, b₃ = 5 और c₃ = -3।

जैसा कि हम जानते हैं कि यदि a₁x + b₁y + c₁ = 0, a₂x + b₂y + c₂ = 0 और a₃x + b₃y + c₃ = 0 3 रेखाएँ हैं तब इन पंक्तियों को समवर्ती कहा जाता है यदि:

\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{b_1}}&{{c_1}}\\ {{a_2}}&{{b_2}}&{{c_2}}\\ {{a_3}}&{{b_3}}&{{c_3}} \end{array}} \right| = 0\)

\( \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 4&3&{ - \;1}\\ 1&{ - \;1}&5\\ b&5&{ - \;3} \end{array}} \right| = \;14b - 84 = 0\)

संकल्पना:

एक रेखा का अंतः खंड रूप इस प्रकार लिखा गया है:

\(\frac{x}{P}+\frac{y}{Q}=1\)

यहाँ, P और Q क्रमशः x-अंतः खंड और y-अंतः खंड हैं।

गणना:

माना (h, k) त्रिभुज OPQ के परिकेन्द्र के स्वेच्छ निर्देशांक हैं।

जैसा कि यह देखा जा सकता है कि दो निर्देशांक अक्ष त्रिभुज की दो भुजाओं के रूप में कार्य कर रहे हैं, इसलिए त्रिभुज समकोण त्रिभुज है और परिधि भुजाओं का मध्य बिंदु है।

\(\begin{align} & \left( h,k \right)=\left( \frac{P+0}{2},\frac{0+Q}{2} \right) \\ & =\left( \frac{P}{2},\frac{Q}{2} \right) \\ \end{align} \)

h = P/2 ⇒ P = 2h

इसी तरह, k = Q/2 का अर्थ है Q = 2k

रेखा \(\frac{x}{P}+\frac{y}{Q}=1\) के समीकरण को इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है:

\(\frac{x}{2h}+\frac{y}{2k}=1\)

अब, यह रेखा (4, 2) से होकर गुजरती है, इसलिए यह रेखा के समीकरण को संतुष्ट करेगी।

\(\frac{4}{2h}+\frac{2}{2k}=1\)

\(\frac{2}{h}+\frac{1}{k}=1\)

अब बिन्दुपथ को ज्ञात करने के लिए (h, k) को (x, y) से बदलें।

\(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}=1\)

दिया गया रेखा का समीकरण

3x + y + 2 = 0

2x - y + 3 = 0

a²x + 2ay + 6 = 0

यदि सभी 3 रेखाएं संगामी हैं तो गुणांक का सारणिक शून्य होना चाहिए

\(\begin{vmatrix}3 & 1 &2 \\ 2 &-1&3 \\ a^2 &2a&6\end{vmatrix}=0\)

3(-1 × 6 - 3 × 2a) + 1 (3 × a² - 6 × 2) + 2 (2 × 20 - a² × -1) = 0

3(-6 - 6a) + (3a² - 12) + 2(4a + a²) = 0

-18 - 18a + 3a² - 12 + 8a + 2a² = 0

5a² - 10a - 30 = 0

a² - 2a - 6 = 0

\(a=\frac{-(-2)\pm √{(-2)^2-4\times1\times-6}}{2\times1}\)

\(a = \frac{{2 \pm √ {28} }}{2} = 1 \pm √ 7 \)

a = (1 + √7), (1 - √7)

संकल्पना:

माना कि L₃ रेखा L₁ और L₂ के प्रतिच्छेदन से होकर गुजरने वाली रेखा है। 

तो रेखा L₃ का समीकरण L₁ + (λ)L₂ = 0 है। 

गणना:

रेखाओं के प्रतिच्छेदन से होकर गुजरने वाले रेखा का समीकरण, 

2x - 3y + 7 = 0 और 7x + 4y + 2 = 0  निम्न दिया गया है

2x - 3y + 7 + λ (7x + 4y + 2) = 0                     (1)

अब, यह रेखा भी बिंदु (2, 3) से होकर गुजरती है, 

इसलिए, यह रेखा 2x - 3y + 7 + λ (7x + 4y + 2) = 0 के समीकरण को संतुष्ट करेगी। 

\(\begin{array}{l} \therefore 2\left( 2 \right) - 3\left( 3 \right) + 7 + {\rm{\lambda }}\left( {7\left( 2 \right) + 4\left( 3 \right) + 2} \right) = 0\\ \Rightarrow 4 - 9 + 7 = - {\rm{\lambda }}\left( {14 + 12 + 2} \right) \end{array}\)

\(\Rightarrow - {\rm{\lambda }} = \frac{2}{{28}}\)

\(\Rightarrow {\rm{\lambda }} = - \frac{1}{{14}}\)

अब, (1) में \({\rm{\lambda }} = - \frac{1}{{14}}\) रखने पर, हमें रेखा का समीकरण प्राप्त होता है, 

\(2{\rm{x\;}} - {\rm{\;}}3{\rm{y\;}} + {\rm{\;}}7{\rm{\;}} + \left( { - \frac{1}{{14}}} \right)\left( {7{\rm{x\;}} + {\rm{\;}}4{\rm{y\;}} + {\rm{\;}}2} \right) = {\rm{\;}}0\)

14 से गुणा करने पर,

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 28{\rm{x}} - 42{\rm{y}} + 98 - \left( {7{\rm{x\;}} + {\rm{\;}}4{\rm{y\;}} + {\rm{\;}}2} \right) = 0\\ \Rightarrow 28{\rm{x}} - 7{\rm{x}} - 42{\rm{y}} - 4{\rm{y}} + 98 - 2 = 0\\ \Rightarrow 21{\rm{x}} - 46{\rm{y}} + 96 = 0 \end{array}\)

अतः विकल्प (2) सही है। 

दिया गया :

(a + 2b)x + (a - 3b)y + a - 8b = 0

बिंदु P(2, 2)

सूत्र :

यदि (x1, y1) और (x2, y2) एक रेखा पर दो बिंदु हैं तो

\(Slope(m)= \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x1}\) -----(1)

दो रेखाएँ लंबवत होती हैं यदि उनके ढलान का गुणनफल -1 है और इसके विपरीत।

ढलान m वाली और बिंदु (x1 , y1) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण है

(y - y1​) = m(x - x1)

गणना :

माना B (2, 2)

(a + 2b)x + (a - 3b)y + a - 8b = 0

⇒ ax + 2bx + ay - 3by + a - 8b = 0

⇒ a(x + y + 1) + b(2x - 3y - 8) = 0

⇒ \(L_1 + \lambda L_2 = 0\)

ये रेखाएँ L₁ और L₂ के प्रतिच्छेदन बिंदु पर समवर्ती हैं

⇒ L1 = x + y + 1          ----(2)

⇒ L2 = 2x - 3y - 8        ----(3)

समीकरण (2) को 3 से गुणा और समीकरण (3) से घटाने पर, हमें प्राप्त होता है

⇒ 5x - 5 = 0

⇒ x = 1 और y = -2

A (1, -2) L1 और L2 का प्रतिच्छेदन बिंदु है

समीकरण (1) का प्रयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

⇒ \(slope \ of \ AB(m_1) = \frac {2 + 2} {2 - 1}\)

⇒ ढलान ((m1) = 4

अब, A (1, -2) से जाने वाली रेखा जो बिंदु से सबसे दूर है

B (2, 2) AB के लंबवत है

तो, m1 m2 = -1

⇒ m2 = -1/4

अब, हमारे पास रेखा का ढलान और बिंदु है, इसलिए,

समीकरण (1) का उपयोग करना

⇒ (y - y1) = m(x - x1)

⇒ \(y + 2 = - \frac {1} {4} (x- 1)\)

⇒ रेखा L का समीकरण x + 4y + 7 = 0 है।

⇒ Q(h, k) प्रतिबिंब बिंदु है।

⇒ \(\frac{h-x_1}{a}=\frac{k-y_1}{b}=-2\frac{ax_1 + by_1 + c}{\sqrt{a^2 + b^2}} \)

⇒ \(\frac{h-2}{1}=\frac{k-2}{4}=-2(\frac{2 + 8 +7}{ 17}) \)

⇒ h = 0 और k = -6

∴ रेखा L से बिंदु (2,2) का प्रतिबिम्ब (0, -6) है।

दिया गया:

रेखा L का समीकरण है

(a + 2b)x + (a - 3b)y + a - 8b = 0 

x - 2y + 1 = 0       -----(1)

3x - 4y + λ = 0       -----(2)

सूत्र :

यदि (x1, y1) और (x2, y2) एक रेखा पर दो बिंदु हैं तो

\(Slope(m)= \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x1}\) -----(3)

दो रेखाएँ लंबवत होती हैं यदि उनके ढलान का गुणनफल -1 है और इसके विपरीत।

ढलान m वाली और बिंदु (x1 , y1) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण है

(y - y 1 ) = m(x - x 1 )

गणना :

माना B (2, 2)

(a + 2b)x + (a - 3b)y + a - 8b = 0

⇒ ax + 2bx + ay - 3by + a - 8b = 0

⇒ a(x + y + 1) + b(2x - 3y - 8) = 0

⇒ \(L_1 + \lambda L_2 = 0\)

ये रेखाएँ L1 और L2 के प्रतिच्छेदन बिंदु पर समवर्ती हैं

⇒ L1 = x + y + 1          ----(4)

⇒ L2 = 2x - 3y - 8        ----(5)

समीकरण (2) को 3 से गुणा और समीकरण (3) से घटाने पर, हमें प्राप्त होता है

⇒ 5x - 5 = 0

⇒ x = 1 और y = -2

A (1, -2) L1 और L2 का प्रतिच्छेदन बिंदु है

समीकरण (1) का प्रयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

⇒ \(slope \ of \ AB(m_1) = \frac {2 + 2} {2 - 1}\)

⇒ ढलान ((m1) = 4

अब, A (1, -2) से जाने वाली रेखा जो बिंदु से सबसे दूर है

B (2, 2) AB के लंबवत है

तो, m1 m2 = -1

⇒ m2 = -1/4

अब, हमारे पास रेखा का ढलान और बिंदु है, इसलिए,

समीकरण (1) का उपयोग करना

(y - y 1 ) = m(x - x 1 )

⇒ \(y + 2 = - \frac {1} {4} (x- 1)\)

 रेखा L का समीकरण x + 4y + 7 = 0 है ----(6)

प्रश्न के अनुसार

रेखा L दी गई रेखाओं के साथ समवर्ती है

यदि इसका अर्थ है कि वे एक दूसरे को एक ही बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं।

⇒ समीकरण (6) को (1) से घटाने पर, हमें प्राप्त होता है

⇒ x = -3 और y = -1         ----- (7)

समीकरण (2) में समीकरण (7) का प्रयोग करना

⇒ 3x - 4y = - λ

⇒ - 9 + 4 = - λ 

∴ λ का मान 5 है।

धारणा:

यदि a₁x + b₁y + c₁ = 0, a₂x + b₂y + c₂ = 0 and a₃x + b₃y + c₃ = 0 3 रेखाएँ हैं तब इन पंक्तियों को समवर्ती कहा जाता है यदि:

\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{b_1}}&{{c_1}}\\ {{a_2}}&{{b_2}}&{{c_2}}\\ {{a_3}}&{{b_3}}&{{c_3}} \end{array}} \right| = 0\)

गणना:

दिया हुआ: रेखाएँ 3y + 4x = 1, y = x + 5 and 5y + bx = 3 समवर्ती हैं।

अब, रेखा के मानक समीकरण ax + by + c = 0 के साथ तीन रेखाओं की तुलना करके हम प्राप्त करते हैं:

⇒ a₁ = 4, b₁ = 3, c₁ = -1, a₂ = 1, b₂ = -1, c₂ = 5, a₃ = b, b₃ = 5 और c₃ = -3।

जैसा कि हम जानते हैं कि यदि a₁x + b₁y + c₁ = 0, a₂x + b₂y + c₂ = 0 और a₃x + b₃y + c₃ = 0 3 रेखाएँ हैं तब इन पंक्तियों को समवर्ती कहा जाता है यदि:

\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{b_1}}&{{c_1}}\\ {{a_2}}&{{b_2}}&{{c_2}}\\ {{a_3}}&{{b_3}}&{{c_3}} \end{array}} \right| = 0\)

\( \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 4&3&{ - \;1}\\ 1&{ - \;1}&5\\ b&5&{ - \;3} \end{array}} \right| = \;14b - 84 = 0\)

दिया गया:

रेखा L का समीकरण है

(a + 2b)x + (a - 3b)y + a - 8b = 0 

सूत्र :

यदि (x1, y1) और (x2, y2) एक रेखा पर दो बिंदु हैं तो

\(Slope(m)= \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x1}\)      -----(1)

दो रेखाएँ लंबवत होती हैं यदि उनके ढलान का गुणनफल -1 है और इसके विपरीत।

ढलान m वाली और बिंदु (x1 , y1) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण है

(y - y1​) = m(x - x1)

गणना:

माना B (2, 2)

(a + 2b)x + (a - 3b)y + a - 8b = 0

⇒ ax + 2bx + ay - 3by + a - 8b = 0

⇒ a(x + y + 1) + b(2x - 3y - 8) = 0

⇒ \(L_1 + \lambda L_2 = 0\)

ये रेखाएँ L1 और L2 के प्रतिच्छेदन बिंदु पर समवर्ती हैं

⇒ L₁ = x + y + 1          ----(2)

⇒ L₂ = 2x - 3y - 8        ----(3)

समीकरण (2) को 3 से गुणा और समीकरण (3) से घटाने पर, हमें प्राप्त होता है

⇒ 5x - 5 = 0

⇒ x = 1 और y = -2

A (1, -2) L1 और L2 का प्रतिच्छेदन बिंदु है

समीकरण (1) का प्रयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

⇒ \(slope \ of \ AB(m_1) = \frac {2 + 2} {2 - 1}\)

⇒ ढलान ((m1) = 4

अब, A (1, -2) से जाने वाली रेखा जो बिंदु से सबसे दूर है

B (2, 2) AB के लंबवत है

तो, m1 m2 = -1

⇒ m2 = -1/4

⇒ m2 = -1/4

अब, हमारे पास रेखा का ढलान और बिंदु है, इसलिए,

समीकरण (1) का उपयोग करना

⇒ (y - y1) = m(x - x1)

⇒ \(y + 2 = - \frac {1} {4} (x- 1)\)

∴ रेखा L का समीकरण x + 4y + 7 = 0 है।

संकल्पना:

एक रेखा का अंतः खंड रूप इस प्रकार लिखा गया है:

\(\frac{x}{P}+\frac{y}{Q}=1\)

यहाँ, P और Q क्रमशः x-अंतः खंड और y-अंतः खंड हैं।

गणना:

माना (h, k) त्रिभुज OPQ के परिकेन्द्र के स्वेच्छ निर्देशांक हैं।

जैसा कि यह देखा जा सकता है कि दो निर्देशांक अक्ष त्रिभुज की दो भुजाओं के रूप में कार्य कर रहे हैं, इसलिए त्रिभुज समकोण त्रिभुज है और परिधि भुजाओं का मध्य बिंदु है।

\(\begin{align} & \left( h,k \right)=\left( \frac{P+0}{2},\frac{0+Q}{2} \right) \\ & =\left( \frac{P}{2},\frac{Q}{2} \right) \\ \end{align} \)

h = P/2 ⇒ P = 2h

इसी तरह, k = Q/2 का अर्थ है Q = 2k

रेखा \(\frac{x}{P}+\frac{y}{Q}=1\) के समीकरण को इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है:

\(\frac{x}{2h}+\frac{y}{2k}=1\)

अब, यह रेखा (4, 2) से होकर गुजरती है, इसलिए यह रेखा के समीकरण को संतुष्ट करेगी।

\(\frac{4}{2h}+\frac{2}{2k}=1\)

\(\frac{2}{h}+\frac{1}{k}=1\)

अब बिन्दुपथ को ज्ञात करने के लिए (h, k) को (x, y) से बदलें।

\(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}=1\)