Rotational Motion MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Rotational Motion - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:
W_F = 20 × 1 = 20 J

इसलिए, ΔKE = 20 J = (1/2) I ω²

I = M R² = 10 × 0.1² = 0.1 kg m²

इसलिए, 20 = (1/2) × 0.1 × ω²

अर्थात, ω = 20 rad/sec

हल:

चकती और वलयों को एक साथ एक निकाय के रूप में लीजिये। चूँकि बाह्य बल आघूर्ण शून्य है, इसलिए बिंदु O से गुजरने वाली ऊर्ध्वाधर अक्ष के परितः निकाय का कोणीय संवेग संरक्षित है।

Ii × ωi = If × ωf      (1)

प्रारंभिक जड़त्व आघूर्ण (Ii):

एक चकती के लिए, Ii = (1/2) × M × R² = (1/2) × 50 × (0.4)² = 4 kg·m²

अंतिम जड़त्व आघूर्ण (If):

समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करके घूर्णन अक्ष के परितः प्रत्येक वलय का जड़त्व आघूर्ण:

Iवलय = m × r² + m × d² = 2 × m × r² (चूँकि d = r)

इसलिए दो वलयों के लिए: Iवलय = 2 × (6.25) × (0.2)² = 0.5 kg·m²

कुल If = Iचकती  + Iवलय = 4 + 1 = 5 kg·m²

समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर:

4 × 10 = 5 × ωf ⇒ ωf = 8 rad/s

उत्तर: 8 rad/s

सही विकल्प: (3) 7 / 57 है। 

व्यास Y-अक्ष के परितः एक बड़े ठोस गोले के लिए:

I_{पूर्ण} = (2 / 5) × M × (2R)² = (8 / 5) × M × R²

गोले का घनत्व एकसमान है:

M / V_{पूर्ण} = M_छोटा / V_छोटा

M / ((4/3)π(2R)³) = M′ / ((4/3)πR³)

⇒ M′ = M / 8

छोटे गोले के लिए समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करने पर:

I′ = I_cm + M′ × R² = (2 / 5) × (M / 8) × R² + (M / 8) × R² = (7 / 40) × M × R²

अनुपात:

अनुपात = I_छोटा / I_शेष = I′ / (I_{पूर्ण} − I′)

= ((7 / 40) × M × R²) / (((8 / 5) − (7 / 40)) × M × R²)

= 7 / 57

गणना:

स्थानांतरीय साम्यावस्था के लिए

N₁ = Mg

N₂ = f

घूर्णन साम्यावस्था के लिए

A के परितः बल आघूर्ण, MgL/2 cosθ = N₂L sinθ

(Mg/2) cotθ = N₂ = f

(Mg/2) cot 30° = f

(Mg/2) √3 = N₂

100√3 = f

गणना:
स्थिति I: mR²/2 ω₀ = (mR²/2 + mR²/4 + mR²/4) ω ω = ω₀/2 = 3 rad/s

स्थिति II: ω = ω₀ = 6 rad/s

स्थिति III: mR²/2 ω₀ + mvR²/2 = (mR²)ω इसलिए, 3 + 8/2 = 7 rad/s

स्थिति IV: mR²/2 ω₀ + mvR²(1/2) = mR²ω 3 + 8/4 = 5 rad/s

अवधारणा:

कार्य-ऊर्जा प्रमेय: इसके अनुसार एक निकाय पर कार्यरत बल निकाय की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर है अर्थात

W = Kf - Ki

\(W = \frac{1}{2}m{v^2} - \frac{1}{2}m{u^2} = {\bf{\Delta }}K\)

जहां v = अंतिम वेग, u = प्रारंभिक वेग और m= निकाय का द्रव्यमान

गणना:

दिया गया है:

द्रव्यमान (m) = 1500 kg, प्रारंभिक वेग (u) = 36 km/hr = 10 m/s और  अंतिम वेग (v) = 72 km/hr = 20 m/s

• 1500 kg की कार का वेग 36 km/h से बढ़ाकर 72 km/h करने के लिए किया गया कार्य है-

\(\Rightarrow W = \frac{1}{2}m({v^2} - {u^2} )\)

\(\Rightarrow W = \frac{1}{2}\times 1500\times ({400} - {100} )=2.25\times10^5\, J\)

संकल्पना -

• घूर्णन गति: जब एक ब्लॉक एक वृत्ताकार पथ पर एक निर्दिष्ट अक्ष के चारों ओर गतिमान होता है, तो इस प्रकार की गति को घूर्णन गति कहा जाता है।

बलाघूर्ण (τ): 

• यह व्यावर्तन बल है जो घूर्णन का कारण बनता है।
• वह बिंदु जहाँ वस्तु घूमती है घूर्णन के अक्ष के रूप में जानी जाती है।
• गणितीय रूप से इसे इसप्रकार लिखा जाता है,

τ = rFsin θ 

व्याख्या:

• बलाघूर्ण से जुड़ी शक्ति घूर्णन के एक अक्ष के ओर निकाय के बलाघूर्ण और कोणीय वेग के गुणनफल द्वारा दी गई है अर्थात

⇒ P = τω 

जहाँ τ = बलाघूर्ण और ω = कोणीय वेग

अतिरिक्त बिंदु:

घूर्णन गतिविज्ञान में

• जड़त्वाघूर्ण द्रव्यमान के सादृश्य है
• कोणीय वेग रैखिक वेग के सादृश्य है
• कोणीय त्वरण रैखिक त्वरण के सादृश्य है

इस प्रकार, रैखिक गति में द्रव्यमान x वेग = संवेग

जड़त्वाघूर्ण x कोणीय वेग के सादृश्य = कोणीय संवेग

सही उत्तर विकल्प 4 है अर्थात L = √(2EI)

अवधारणा:

• निकाय के कोणीय संवेग को, जड़त्व आघूर्ण और कोणीय वेग के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया गया है।
  • कोणीय संवेग भी संवेग के संरक्षण के नियम का पालन करता है अर्थता पहले और बाद का कोणीय संवेग संरक्षित होता है।

कोणीय संवेग L = I × ω 

घूर्णन गतिज ऊर्जा: घूर्णन के एक निश्चित अक्ष के लिए, घूर्णन गतिज ऊर्जा इस प्रकार है:

 \(KE = \frac{1}{2} Iω^2\)

जहां I जड़त्व आघूर्ण है, ω कोणीय वेग है।

गणना:

कोणीय संवेग L = I × ω      ----(1) 

घूर्णन गतिज ऊर्जा = \(E = \frac{1}{2} Iω^2\) ⇒ ω = \(\sqrt{\frac{2E}{I}}\)      ----(2)

(2) को (1) में रखने पर हमें प्राप्त होगा -

L = I × \(\sqrt{\frac{2E}{I}}\)= √(2EI)

अवधारणा:

• किसी अक्ष के अनुरूप घूमने वाले कण के कोणीय संवेग को उस अक्ष के कण के रैखिक संवेग के आघूर्ण के रूप में परिभाषित किया जाता है।
• यह रैखिक संवेग और घूर्णन अक्ष से इसकी क्रिया की लंबवत दूरी के गुणनफल रूप में मापा जाता है।
• कोणीय संवेग और जड़त्व आघूर्ण के बीच का संबंध इस प्रकार है-

L = Iω

जहां I = जड़त्व आघूर्ण , L= कोणीय संवेग, और ω = कोणीय वेग।

व्याख्या:

• यदि प्रणाली पर कोई बाहरी बल आघूर्ण कार्य नहीं करता है तो प्रणाली का प्रारंभिक कोणीय संवेग ((L_initial)) अंतिम संवेग (L_final) के बराबर होगा ।
• इसलिए एक संवृत प्रणाली का संवेग संरक्षित रहेगा।

∴ Iω = नियतांक

⇒ I ∝ 1/ω

अर्थात जड़त्व आघूर्ण कोणीय वेग के विलोम आनुपातिक है।

• इसलिए यदि एक घूर्णन पिंड का जड़त्व आघूर्ण बढ़ जाता है तो कोणीय वेग कम हो जाता है।

धारणा:

• कोणीय त्वरण (α): इसे एक कण के कोणीय वेग के परिवर्तन की समय दर के रूप में परिभाषित किया गया है।
• यदि Δω कोणीय वेग समय Δt में परिवर्तन है तो औसत त्वरण है

\(\vec α = \frac{{{\rm{\Delta }}\omega }}{{{\rm{\Delta }}t}}\)

जड़त्वाघूर्ण

• जड़त्वाघूर्ण घूर्णी गति में ठीक वही भूमिका निभाता है जो भूमिका रैखिक गति में द्रव्यमान निभाता है। यह निकाय का एक गुण है जिसके कारण यह अपने विरामावस्था में या एक समान घूर्णन की अवस्था में किसी भी परिवर्तन का विरोध करता है।

• एक कण का जड़त्वाघूर्ण है

I = mr2

जहाँ r = घूर्णी अक्ष से कण की लंबवत दूरी।

बलाघूर्ण (τ): 

• यह व्यावर्तन बल है जो घूर्णन का कारण बनता है।
• वह बिंदु जहाँ वस्तु घूमती है घूर्णन के अक्ष के रूप में जानी जाती है।
• गणितीय रूप से इसे लिखा जाता है,

τ = rFsin θ 

व्याख्या:

कोणीय त्वरण (α), बलाघूर्ण (τ) और जड़त्वाघूर्ण (I) के बीच संबंध निम्न द्वारा दिया जाता है

⇒ τ = α × I

\( \Rightarrow \alpha = \frac{\tau }{I}\)

• अतः, कोणीय त्वरण = बलाघूर्ण / जडत्वाघूर्ण इसलिए विकल्प 2 सही है।

अवधारणा:

• घूर्णी गतिज ऊर्जा: वह ऊर्जा,जो एक निकाय में घूर्णी गति के कारण होती हैं, घूर्णी गतिज ऊर्जा कहलाती है।
• एक स्थिर अक्ष के अनुरूप घूमने वाले निकाय में गतिज ऊर्जा होती है क्योंकि इसके घटक कण गति में होते हैं, भले ही पूरा निकाय विराम में हो।
• गणितीय रूप से घूर्णी गतिज ऊर्जा को इस रूप में लिखा जा सकता है -

\(KE = \frac{1}{2}I{ω ^2}\)

जहां I = जड़त्व आघूर्ण और ω = कोणीय वेग

व्याख्या:

• उपरोक्त से यह स्पष्ट है कि \(\frac{1}{2}I{ω ^2}\) घूर्णी गतिज ऊर्जा को दर्शाता है।

अवधारणा:

कोणीय संवेग (L):

• कठोर निकाय के कोणीय संवेग को जड़त्व आघूर्ण और कोणीय वेग के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया गया है अर्थात

\(⇒ L = Iω \)

जहां I = जड़त्व आघूर्ण और ω = कोणीय वेग

कोणीय संवेग के संरक्षण का नियम:

• जब किसी दिए गए अक्ष के अनुरूप निकाय पर कार्य करने वाला शुद्ध बाहरी आघूर्ण शून्य होता है, तो उस अक्ष के अनुरूप निकाय का कुल कोणीय संवेग स्थिर रहता है अर्थात

⇒ I1ω1 = I2ω2

व्याख्या:

• जब एक व्यक्ति घूर्णनशील मंच पर खड़ा है और अपने हाथ फैलाता है, अचानक वह अपने हाथ तनता है, तो वह अपने जड़त्व आघूर्ण को बढाता है जिससे कोणीय संवेग के संरक्षण के सिद्धांत का उपयोग कर उसका कोणीय वेग घटता है। इसलिए विकल्प 2 सही है।

धारणा:

बलाघूर्ण (τ): 

• यह व्यावर्तन बल है जो घूर्णन का कारण बनता है।
• वह बिंदु जहाँ वस्तु घूमती है घूर्णन के अक्ष के रूप में जानी जाती है।
• गणितीय रूप से इसे इसप्रकार लिखा जाता है,

τ = rFsin θ 

• कोणीय त्वरण (α): इसे एक कण के कोणीय वेग के परिवर्तन की समय दर के रूप में परिभाषित किया गया है।
• यदि Δω कोणीय वेग समय Δt में परिवर्तन है तो औसत त्वरण है

\(\vec α = \frac{{{\rm{\Delta }}\omega }}{{{\rm{\Delta }}t}}\)

व्याख्या:

• बल आघूर्ण किसी वस्तु पर बल लगाने की मात्रा का माप है जो उसे घुमाने का कारण बना सकती है।
• कोणीय त्वरण का उत्पादन करने के लिए आवश्यक बल आघूर्ण उस वस्तु के द्रव्यमान के वितरण पर निर्भर करता है जिसे जड़त्त्वाघूर्ण द्वारा वर्णित किया जाता है।
• इसलिए बल आघूर्ण (\(\tau \)) कोणीय त्वरण (a) और जड़त्त्वाघूर्ण (I) का गुणनफल है। अतः विकल्प 2 सही है।

           \(\tau = I \times a\)

धारणा:

जड़त्व आघूर्ण

• एक स्थिर अक्ष के अनुरूप एक कठोर निकाय का जड़त्व आघूर्ण को निकाय का गठन करने वाले कणों के द्रव्यमान और घूर्णन अक्ष के बीच की दूरी के वर्ग के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया गया है।

• एक निकाय का जड़त्व आघूर्ण इस प्रकार होगा

⇒ I = mr2

जहां r = घूर्णन अक्ष से कण की लंबवत दूरी।

• कई कणों (असतत वितरण) से बने निकाय का जड़त्व आघूर्ण

⇒ I = m1r12 + m2r22 + m3r32 + m4r42 + -------

गतिज ऊर्जा (KE):

• वह ऊर्जा जिससे एक निकाय में इसके घूर्णन गति के आधार पर गति होती है, उसको घूर्णन गतिज ऊर्जा कहलाता है।
• एक निर्दिष्ट अक्ष के चारों ओर घूमने वाले एक निकाय में गतिज ऊर्जा होती है क्योंकि इसके घटक कण गति में होते हैं, भले ही निकाय पूर्ण रूप से एक स्थान में होती है।
• गणितीय रूप से घूर्णन गतिज ऊर्जा को निम्न रूप में लिखा जा सकता है -

\(⇒ KE = \frac{1}{2}I{\omega ^2}\)

जहाँ I = जड़त्त्वाघूर्ण और ω = कोणीय वेग

स्पष्टीकरण:

• केंद्र से गुजरने वाले और उसके समतल के लंबवत होनेवाले एक अक्ष के ओर रिंग का जड़त्त्वाघूर्ण निम्न द्वारा दिया जाता है -

\(⇒ {I_{ring}} = M{R^2}\)

• केंद्र से गुजरने वाले और उसके समतल के लंबवत होनेवाले एक अक्ष के ओर डिस्क का जड़त्त्वाघूर्ण निम्न द्वारा दिया जाता है -

\(⇒ {I_{disc}} = \frac{1}{2}M{R^2}\)

• जैसा कि हम जानते हैं कि गणितीय रूप से घूर्णी गतिज ऊर्जा को इसप्रकार लिखा जा सकता है

\(⇒ KE = \frac{1}{2}I{\omega ^2}\)

• प्रश्न के अनुसार पतली डिस्क और एक पतली रिंग का कोणीय वेग समान है। इसलिए गतिज ऊर्जा जड़त्त्वाघूर्ण पर निर्भर करती है।
• इसलिए अधिक जड़त्त्वाघूर्ण वाले निकाय में गतिज ऊर्जा अधिक होगी और इसके विपरीत।
• तो, समीकरण से यह स्पष्ट है कि,

⇒ Iring > Idisc

∴ Kring > Kdisc

• रिंग में उच्च गतिज ऊर्जा होती है।

अवधारणा:

रेखीय गति में लागू होने वाले समीकरणों को कोणीय गति में भी लागू किया जा सकता है।

गणना:

दिया हुआ है कि:

α = 3 rad/s2, ωo = 2 rad/s, t = 2 s

हम जानते हैं कि,

\(θ = {ω _0}t + \frac{1}{2}α {t^2}\)

\(θ = ({2}\times 2) + \frac{1}{2}\times3\times2^2\)

θ = 4 + 6 = 10 रेडियन