समचतुर्भुज MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Rhombus - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

दिया गया है:

ABCD एक समचतुर्भुज है और ∠ABC = 72º

प्रयुक्त सूत्र:

एक समचतुर्भुज में, विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।

इसलिए, ∠BAC = ∠CAD

∠ABC = 72º, इसलिए ∠BAD = 180º - 72º = 108º

गणनाएँ:

चूँकि विकर्ण, शीर्षों पर कोणों को समद्विभाजित करते हैं,

इसलिए, ∠BAC = ∠CAD

∠ABC = 72º, इसलिए ∠BAD = 180º - 72º = 108º

∠CAD = ∠BAD/2

⇒ ∠CAD = 108º / 2

⇒ ∠CAD = 54º

∴ सही उत्तर विकल्प (2) है।

दिया गया है:

समचतुर्भुज की भुजा (a) = 25 सेमी

विकर्णों में से एक (d₁) = 30 सेमी

प्रयुक्त सूत्र:

समचतुर्भुज का क्षेत्रफल = (1/2) × d1 × d2

एक समचतुर्भुज में विकर्ण एक दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं और हम दूसरे विकर्ण (d₂) को ज्ञात करने के लिए पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग कर सकते हैं।

विकर्णों द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुजों में से एक में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग:

a2 = (d1/2)2 + (d2/2)2

गणना:

252 = (30/2)2 + (d2/2)2

⇒ 625 = 152 + (d2/2)2

⇒ 625 = 225 + (d2/2)2

⇒ 625 - 225 = (d2/2)2

⇒ 400 = (d2/2)2

⇒ d2/2 = √400

⇒ d2/2 = 20

⇒ d ₂ = 40 सेमी

अब, क्षेत्रफल = (1/2) × 30 सेमी × 40 सेमी

⇒ क्षेत्रफल = 600 वर्ग सेमी

∴ सही उत्तर विकल्प (3) है।

दिया गया है:

समचतुर्भुज के एक विकर्ण की लंबाई = 40 सेमी

समचतुर्भुज के दूसरे विकर्ण की लंबाई = 60 सेमी

प्रयुक्त सूत्र:

एक समचतुर्भुज में, विकर्ण एक दूसरे के लम्ब समद्विभाजक होते हैं, और वे समचतुर्भुज को चार सर्वांगसम समकोण त्रिभुजों में विभाजित करते हैं।

अब समचतुर्भुज की भुजा की लंबाई ज्ञात करने के लिए पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हैं।

हल:

समचतुर्भुज की भुजा की लंबाई को "s" और विकर्णों को d1 और d2 के रूप में निरूपित करते हैं।

दी गई जानकारी के अनुसार, समचतुर्भुज के विकर्ण 40 सेमी और 60 सेमी हैं। ये विकर्ण समचतुर्भुज को चार सर्वांगसम समकोण त्रिभुजों में विभाजित करते हैं।

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर, हम समकोण त्रिभुजों में से एक के लिए निम्नलिखित समीकरण लिख सकते हैं:

(d1/2)2 + (d2/2)2 = (s)2

इस समीकरण को हल करने पर:

(40/2)2 + (60/2)2 = (s)2

(20)2 + (30)2 = (s)2

400+ 900 = (s)2

s2 = 1300

s = √1300

s = 10√13

अतः, समचतुर्भुज की भुजा की लंबाई 10√13 सेमी है।

दिया गया है:

समचतुर्भुज के विकर्ण 24 dm और 10 dm हैं

प्रयुक्त सूत्र:

समचतुर्भुज का परिमाप = 4 × भुजा

समचतुर्भुज की भुजा पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके ज्ञात की जा सकती है, क्योंकि समचतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।

भुजा = √((d1/2)² + (d2/2)²)

जहाँ d1 और d2 विकर्ण हैं

गणनाएँ:

प्रश्न के अनुसार:

विकर्णों का आधा 12 dm और 5 dm है

भुजा = √(12² + 5²)

भुजा = √(144 + 25)

भुजा = √169

भुजा = 13 dm

परिमाप = 4 × 13 dm

∴ परिमाप = 52 dm

प्रयुक्त सूत्र:

समचतुर्भुज की भुजा की लंबाई, s =  √((2a/2)2 + (2b/2)2)

समचतुर्भुज का परिमाप, P = 4s

गणना:

हमारे पास, विकर्ण = 2a और 2b है

⇒ अर्ध-विकर्ण = a और b

⇒ भुजा की लंबाई, s = √(a2 + b2)

⇒ परिमाप, P = 4s

⇒ परिमाप, P = 4√(a2 + b2)

∴ सही उत्तर 4√(a2 + b2) है।

दिया गया है:

समचतुर्भुज का परिमाप = 120 मीटर

गणना:

समचतुर्भुज की प्रत्येक भुजा की लंबाई = 120/4 = 30 मीटर

समचतुर्भुज की ऊँचाई = 15 मीटर

समचतुर्भुज का क्षेत्रफल = लंबाई का आधार × ऊँचाई

= 30 × 15

= 450 वर्ग मीटर  

∴ समचतुर्भुज का क्षेत्रफल 450 मीटर² है।

दिया गया है:

एक खेत एक समचतुर्भुज के आकार का है, जिसका परिमाप 292 मीटर है और इसका एक विकर्ण 96 मीटर है। 

प्रयुक्त अवधारणा:

एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल = दोनों विकर्णों की लंबाई का गुणनफल ÷ 2

समचतुर्भुज की स्थिति में,

भुजा² = (दीर्घ विकर्ण/2)² + (लघु विकर्ण/2)2

गणना:

माना कि दूसरा विकर्ण D है।

प्रश्नानुसार,

73² = (96/2)² + (D/2)²

⇒ (D/2)2 = 73² - 48²

⇒ (D/2)2 = 3025

⇒ (D/2)2 = 55²

⇒ D/2 = 55

⇒ D = 110

अत: समचतुर्भुजाकार खेत का क्षेत्रफल = \({110 \times 96} \over 2\) = 5280 वर्गमीटर

∴ खेत का क्षेत्रफल 5280 वर्गमीटर है।

दिया गया है:

समचतुर्भुज की भुजा = 28 सेमी

गणना:

हम जानते हैं कि एक समचतुर्भुज के विकर्ण समकोण पर मिलते हैं और विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु दो विकर्णों को समद्विभाजित करता है।

समचतुर्भुज के विकर्ण, कोण समद्विभाजक होते हैं।

∠ADC/2 = ∠ADM = ∠MDC = 60/2 = 30^o

समकोण त्रिभुज CMD में,

⇒ ∠MCD = 60^o

⇒ cos 30 = DM/DC

⇒ √3/2 = DM/28

⇒ DM = 14√3 सेमी

⇒ BD = 2DM = 28√3 सेमी

∴ बड़े विकर्ण की लंबाई 28√3 सेमी है। 

दिया है:

समचतुर्भुज के आसन्न कोण का अनुपात = 4 : 5

प्रयुक्त अवधारणा:

समचतुर्भुज के आसन्न कोणों का योगफल 180° है।

गणना :

माना कि छोटे और बड़े कोण क्रमशः 4x और 5x हैं।

⇒ 4x + 5x = 180°

⇒ 9x = 180°

⇒ x = 20°

बड़े और छोटे कोण के बीच अंतर = 5x - 4x

= x = 20°

∴ बड़े और छोटे कोण के बीच का अंतर 20° है।

दिया गया है:

एक समचतुर्भुज के आसन्न कोणों का अनुपात 3 : 6 है।

गुण:

समचतुर्भुज के आसन्न कोण संपूरक होते हैं।

समचतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।

गणना:

माना आसन्न कोण 3x और 6x हैं।

3x + 6x = 180° 

⇒ 9x = 180°

3x = 60°

∴ समचतुर्भुज का सबसे छोटा कोण = 60°

PR = 64 सेमी 

इस प्रकार, PO = RO = 32 सेमी 

QS = (8x + 8) सेमी 

इस प्रकार, QO = OS = (4x + 4) सेमी 

Δ SOR में –

\(S{R^2} = S{O^2} + R{O^2}\)

⇒ \({40^2} = {\left( {4{\rm{x}} + 4} \right)^2} + {\left( {32} \right)^2}\)

⇒ 40² – 32² = (4x + 4)²

⇒ 4x + 4 = 24

⇒ 4x + 4 = 24

⇒ 4x = 20

⇒ x = 5 सेमी

दिया गया है: 

ABCD एक समचतुर्भुज है।

∠ABC = 52° 

अवधारणा: 

हमें ज्ञात है कि समचतुर्भुज एक एक समांतर चतुर्भुज है और एक समांतर चतुर्भुज में, विपरीत कोण बराबर होते हैं और विकर्ण, कोण को दो समान भागों में समद्विभाजित करता है।

समचतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को 90° पर समद्विभाजित करते हैं।

गणना: 

ABCD एक समचतुर्भुज है, जिसमें विकर्ण 'O' पर 90° में समद्विभाजित करते हैं।

ΔOCD में

∠ODC = 52°/2 = 26° 

∠DOC = 90° 

हमें ज्ञात है कि त्रिभुज के सभी कोणों का योग 180° है।

⇒ ∠ODC + ∠DOC + ∠OCD = 180° 

⇒ 26° + 90° + ∠ACD = 180°           (∠OCD = ∠ACD)

⇒ ∠ACD = 180° - 116° 

⇒ ∠ACD = 64° 

∴ ∠ACD का माप 64° है।

दिया गया है:

BD एक समचतुर्भुज ABCD का विकर्ण है। 

∠ADB = 50°

प्रयुक्त सूत्र:

त्रिभुज के सभी आंतरिक कोणों का योग = 180º

समचतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।

गणना:

हम जानते हैं कि समचतुर्भुज की सभी भुजाएँ समान होती हैं।

 AB = BC = CD = DA

△ABD के लिए, AB = DA

∴ ∠ADB = ∠ABD = 50°

अब, ∠BAD = 180º - (50° + 50°) = 80°

समचतुर्भुज ABCD के लिए, ∠BAD = ∠DCB, क्योंकि, समचतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।

∴ ∠DCB = 80°

∴ ∠DCB का मान 80° है। 

ABCD एक समचतुर्भुज है।

AC = 12 सेमी और BD = 16 सेमी  है।

P, Q, R और S क्रमशः AB, BC, CD और AD पक्षों के मध्य बिंदु हैं।

हमें समचतुर्भुज ABCD के मध्य-बिंदुओं को मिलाकर चतुर्भुज PQRS का क्षेत्रफल ज्ञात करना है।

ABD में, S AD का मध्य-बिंदु है और P, AB का मध्य-बिंदु है।

⇒ SP || BD

और, SP = 1/2 BD (-मध्य-बिंदु प्रमेय)

⇒ SP = 1/2 × 16 = 8 सेमी

BCD में R, CD का मध्य-बिंदु है और Q, BC का मध्य-बिंदु है।

⇒ QR || BD और QR = BD का 1/2

⇒ QR = 1/2 × 16 = 8 सेमी

SP || BD और QR || BD ⇒ SP || QR

इसके अलावा, SP= QR= 8 सेमी

⇒ SPQR एक समांतर चतुर्भुज है।

इसी तरह, PQ = SR = 1/2 का AC

⇒ PQ = SR = 1/2 × 12 = 6 सेमी

अभी,

BD || SP ⇒ SN || OM

AC || RS ⇒ ON || MS

⇒ NOMS एक समांतर चतुर्भुज है।

∠AOD = 90 ° (angle समकोण पर समांतर चतुर्भुज के विकर्ण)

⇒ OMMSN = 90 ° (is NOMS एक समांतर चतुर्भुज है)

⇒ PQRS एक आयत है।

आयत PQRS का क्षेत्रफल = SP × PQ = 8 × 6 = 48 वर्ग सेमी

तो, समचतुर्भुज ABCD के पक्षों के मध्य-बिंदुओं को मिलाकर चतुर्भुज का क्षेत्रफल 48 वर्ग सेमी है।

प्रयुक्त अवधारणा :

समचतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।

समचतुर्भुज का विकर्ण उस कोण को समद्विभाजित करता है जिससे वह गुजरता है। 

हल :
​

∠OCB = 50° = ∠OCD

∠COD = ∠BOC = 90° 

ΔOCD में, हम जानते हैं कि

∠OCD + ∠DOC + ∠ODC = 180° 

50° + 90° + ∠ODC = 180° 

∠ODC = 180° - 90° - 50°

∠ODC = 40° = ∠BDC

अतः, सही विकल्प 40° है।