Pythagorean Identities MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Pythagorean Identities - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

दिया गया:

यदि p sin A - cos A = 1

प्रयुक्त सूत्र:

sin 90 ^∘ = 1

cos 90 ∘ = 0

गणना:

p sin A - cos A = 1

p का मान प्राप्त करने के लिए A = 90 ^∘ रखें

\( (p \sin 90^\circ - \cos 90^\circ) = 1 \)

p × 1 - 0 = 1

p = 1

p 2 - (1 + p 2 ) cos A में A = 90° और p = 1 रखने पर:

p2 - (1 + p2) cos A = 12 - (1 - 12)cos 90° 

⇒ 1 - (1 + 1) × 0 

⇒ 1 - 2 ×​ 0 = 1 - 0 = 1

∴ p 2 - (1 + p 2 ) cos A = 1

दिया गया:

यदि secθ + tanθ = x, तो sinθ ज्ञात कीजिए।

प्रयुक्त सूत्र:

(secθ + tanθ) (secθ - tanθ) = 1

समाधान:

sec θ + tan θ = x   ---(1)

तो, sec θ - tan θ = 1/x ---(2)

समीकरण (1) से समीकरण (2) घटाने पर:

sec θ + tan θ - (sec θ - tan θ) = x - 1/x

⇒ sec θ + tan θ - sec θ + tan θ = (x2 - 1)/x

⇒ 2 tan θ = (x2 - 1)/x

⇒ tan θ = (x2 - 1)/2x

हम जानते हैं कि tan θ = p/b

अतः, p = (x2 - 1), b = 2x

h2 = p2 + b2 = (x2 - 1)2 + (2x)2

⇒ h2 = (x2)2 + 1 - 2x2 + 4x2

⇒ h2 = (x2)2 + 1 + 2x2

⇒ h2 = (x2 + 1)2

⇒ h = (x2 + 1)

तो, sin θ = p/h = (x2 - 1) / (x2 + 1)

∴ सही उत्तर विकल्प (3) है।

दिया गया है:

cot² θ - 2 cos² θ = 0, (0° < θ < 90°)

प्रयुक्त सूत्र:

cot² θ = cos² θ / sin² θ

गणना:

cot² θ = cos² θ / sin² θ का उपयोग करते हुए,

⇒ (cos² θ / sin² θ) - 2 cos² θ = 0

⇒ cos² θ (1 / sin² θ - 2) = 0

⇒ 1 / sin² θ - 2 = 0

⇒ 1 / sin² θ = 2

⇒ sin² θ = 1 / 2

⇒ sin θ = 1 / √2

⇒ θ = 45°

सही उत्तर विकल्प 1 है।

दिया गया है:

10sin²θ + 6cos²θ = 7

0 < θ < 90°

प्रयुक्त सूत्र:

sin²θ + cos²θ = 1

tanθ = sinθ / cosθ

गणना:

माना, sin²θ = x, तब cos²θ = 1 - x

⇒ 10x + 6(1 - x) = 7

⇒ 10x + 6 - 6x = 7

⇒ 4x = 1

⇒ x = 1/4

⇒ sin²θ = 1/4

⇒ sinθ = 1/2

चूँकि 0 < θ < 90°

⇒ sinθ = 1/2

⇒ cos²θ = 1 - (1/4)

⇒ cos²θ = 3/4

⇒ cosθ = √(3)/2

चूँकि 0 < θ < 90°

⇒ cosθ = √(3)/2

⇒ tanθ = sinθ / cosθ

⇒ tanθ = \(\frac{(1/2)}{(√(3)/2)}\)

⇒ tanθ = 1/√(3)

सही उत्तर विकल्प 3 है। 

दिया गया है:

यदि 3 tan A = 4 है और A एक न्यून कोण है।

प्रयुक्त सूत्र:

हम जानते हैं कि tan A = sin A / cos A

साथ ही, sin²A + cos²A = 1

गणना:

3 tan A = 4

⇒ tan A = 4/3

⇒ sin A / cos A = 4/3

मान लीजिए sin A = 4k और cos A = 3k

sin²A + cos²A = 1

⇒ (4k)² + (3k)² = 1

⇒ 16k² + 9k² = 1

⇒ 25k² = 1

⇒ k² = 1/25

⇒ k = 1/5

इसलिए, sin A = 4k = 4/5

और cos A = 3k = 3/5

अब, 4 sin A + 3 cos A = 4(4/5) + 3(3/5)

⇒ 16/5 + 9/5

⇒ 25/5

⇒ 5

4sinA + 3cosA का मान 5 है।

दिया गया है:

sec θ + tan θ = 5

प्रयुक्त अवधारणा:

यदि sec θ + tan θ = y

तब sec θ - tan θ = 1/y

गणना:

sec θ + tan θ = 5  ----- (1)

तब,

sec θ - tan θ = 1/5 ------- (2)

समीकरण (1) में से (2) को घटाने पर,

⇒ (sec θ + tan θ) - (sec θ - tan θ) = (5 - 1/5)

⇒ sec θ + tan θ - sec θ + tan θ = 24/5

⇒ 2 × tan θ = 24/5

⇒ tan θ = 12/5

∴ सही उत्तर 12/5 है।

दिया गया है:

{(3Sinθ - Cosθ)/(Cosθ + Synθ)} = 1

गणना:

हमारे पास एक त्रिकोणमितीय समीकरण है

{(3Sinθ - Cosθ)/(Cosθ + Synθ)} = 1

अंश और हर को Sinθ से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है

⇒ [{(3sinθ – cosθ)/Sinθ}/{(cosθ + sinθ)/sinθ}] = 1

⇒ {(3 – cotθ)/(cotθ + 1)} = 1

⇒ 3 – cotθ = 1 + cotθ

⇒ 2cotθ = 2

cotθ = 1

मान 1 है।

दिया गया है:

sec2 θ + tan2 θ = 25/18

प्रयुक्त सूत्र:

sec2 θ - tan2 θ = 1

(sec2 θ + tan2 θ)(sec2 θ - tan2 θ) = sec4 θ - tan4 θ

गणना

⇒ (sec2 θ + tan2 θ)(sec2 θ - tan2 θ) = sec4 θ - tan4 θ

⇒ 25/18 × 1 = sec4 θ - tan4 θ

⇒ sec4 θ - tan4 θ = 25/18

मान 25/18 है।

दिया गया है:

sec A + tan A = 5

प्रयुक्त संकल्पना:

यदि sec A + tan A = x तब,

⇒ sec A - tan A = 1/x

प्रयुक्त सूत्र:

Sin θ = P/H ; sec θ = H/B ; tan θ = P/B

पाइथागोरस प्रमेय:

 H2 = P2 + B2

जहाँ, H = कर्ण ; P = लंब ; B = आधार

गणना:

⇒ sec A + tan A = 5 ------- (1)

तब,

⇒ sec A - tan A = 1/5 -------- (2)

समीकरण (1) और (2) जोड़ने पर

⇒ Sec A + tan A + sec A - tan A = 5 + (1/5)

⇒ 2 × sec A = 26/5

⇒ sec A = 13/5 = H/B

पाइथागोरस प्रमेय द्वारा:

⇒ H² = P² + B²

⇒ (13)² = P² + 5²

⇒ P² = 169 - 25 = 144

⇒ P = √144 = 12 

Sin A = P/H = 12/13

∴ सही उत्तर 12/13 है।

गणना

sin t + cos t = \(\frac{4}{5}\)

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,

(sin t + cos t)² = (4/5)²

​⇒ (sin²t + cos²t + 2 × sin t × cos t  = 16/25

⇒ 1 + 2 × sin t × cos t = 16/25 ......(sin2t + cos2t  = 1)

⇒ 2 × sin t × cos t = 16/25 - 1

⇒ 2 × sin t × cos t = -9/25

⇒ sin t × cos t = -9/50

दिया गया है

\(\frac{\sin^3 α + \cos^3 α}{\sin α + \cos α}\)

प्रयुक्त सूत्र:

a³ + b³ = (a + b) (a² + b² - ab)

sin²θ + cos²θ = 1

गणना:

\(\frac{\sin^3 α + \cos^3 α}{\sin α + \cos α}\) = [(sin α + cos α) (sin²α + cos²α - sinα cosα)]/(sin α + cos α)

⇒ 1 - sin α cos α

समीकरण का मान 1 - sin α cos α है। 

दिया गया है:

tan2α = \(\rm\frac{2 tan \alpha}{1-tan^{2}\alpha}\)

प्रयुक्त सूत्र:

Tan15° = Tan(45 – 30)°

त्रिकोणमिति सूत्र से, हम जानते हैं,

Tan (A – B) = (Tan A – Tan B) /(1 + Tan A Tan B)

गणना:

इसलिए, हम लिख सकते हैं,

tan(45 – 30)° = tan 45° – tan 30°/1+ tan 45° tan 30°

अब tan 45° और tan 30° का मान तालिका से रखने पर, हमें प्राप्त होता है;

tan(45 – 30)° = (1 – 1/√3)/ (1 + 1.1/√3)

tan (15°) = √3 – 1/ √3 + 1

= (√3 – 1)2/ [(√3)2 - 12]

= (3 + 1 - 2√3)/2 = 2 - √3

= 0.268

अत:, tan (15°) का मान 0.268 है।

Alternate Method
|

tan 30° = tan 2(15°)

त्रिकोणमिति सूत्र से हम जानते हैं,

tan2α = \(\rm\frac{2 tan \alpha}{1-tan^{2}\alpha}\) ,

गणना

इसलिए, हम लिख सकते हैं,

tan 30° = 2 × tan 15° /(1 - tan 2 15°)

अब tan 30° का मान रखने पर हमें प्राप्त होता है;

⇒ 1/ √3 = 2 tan 15° / (1 - tan 2 15°)

माना tan (15°) = x

⇒ 1/ √3 = 2x / (1 - x 2 )

⇒ x 2 - 1 + 2√3 x = 0

⇒ x2 + 2√3 x - 1 = 0

द्विघात सूत्र से,

x = \(\frac{-2√3 \pm \sqrt{(2√3)^2 -4(1)(-1) }}{2\times 1}\)

⇒ x = \(\frac{-2√3 \pm \sqrt{12 +4 }}{2\times 1}\)

⇒ x = \(\frac{-2√3 \pm \sqrt{16 }}{2\times 1}\)

⇒ (4 - 2√3)/2 = 2 - √3

= 0.268

अत:, tan (15°) का मान 0.268 है।

प्रयुक्त सूत्र: 

Sin²x + Cos²x = 1

गणना : 

(cos x - sin x)2 + (cos x + sin x)2

⇒ cos²x + sin²x - 2cosx.sinx + cos²x + sin²x + 2sinx.cosx

⇒ 2cos²x + 2sin²x

⇒ 2(cos²x + sin²x)

⇒ 2

∴ सही उत्तर 2 है। 

दिया गया है:

\(\rm \left(\frac{1}{\sin θ}+\frac{1}{\tan θ}\right)\rm \left(\frac{1}{\sin θ}-\frac{1}{\tan θ}\right)\)

प्रयुक्त सूत्र:

(A2 - B2) = (A + B) × (A - B)

Cosec2 θ - cot2 θ = 1

गणना:

\(\rm \left(\frac{1}{\sin θ}+\frac{1}{\tan θ}\right)\rm \left(\frac{1}{\sin θ}-\frac{1}{\tan θ}\right)\)

⇒ (cosec θ + cot θ) × (cosec θ - cot θ)

⇒ Cosec2 θ - cot2 θ

⇒ 1

∴ सही उत्तर 1 है।

प्रयुक्त अवधारणा:

Cosθ/ Sinθ = Cotθ

गणना:

\(\rm \frac{21\ cosA+3\ sinA}{3\ cosA+4\ sinA}\) = 2

Sin A से भाग देने पर हमें प्राप्त होता है,

⇒ (21 cot A + 3) / (3 cot A + 4) = 2

⇒ 15 cot A = 5

cot A = 1/3

∴ सही विकल्प 3 है।