Direct Ratio MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Direct Ratio - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

दिया गया है:

sin θ = 3/5

cos θ = 4/5

\(\rm \sqrt{\frac{1-\tan^2\theta}{\cot^2\theta-1}}\) का मान ज्ञात कीजिए।

प्रयुक्त सूत्र:

tan θ = sin θ / cos θ

cot θ = 1 / tan θ

गणना:

tan θ = sin θ / cos θ

⇒ tan θ = (3/5) / (4/5)

⇒ tan θ = 3/4

cot θ = 1 / tan θ

⇒ cot θ = 4/3

अब, \(\rm \sqrt{\frac{1-\tan^2\theta}{\cot^2\theta-1}}\) की गणना कीजिए।

tan²θ = (3/4)² = 9/16

cot²θ = (4/3)² = 16/9

⇒ \(\rm \sqrt{\frac{1-\tan^2\theta}{\cot^2\theta-1}}\)

⇒ \(\rm \sqrt{\frac{1-\frac{9}{16}}{\frac{16}{9}-1}}\)

⇒ \(\rm \sqrt{\frac{\frac{7}{16}}{\frac{7}{9}}}\)

⇒ \(\rm \sqrt{\frac{7}{16} \times \frac{9}{7}}\)

⇒ \(\rm \sqrt{\frac{9}{16}}\)

⇒ 3/4

इसलिए, सही उत्तर विकल्प (1) है।

दिया गया है:

\( \cot \theta = \sqrt{11} \)

प्रयुक्त सूत्र:

\( \csc^2 \theta = 1 + \cot^2 \theta \) और \( \sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta \)

हमें निम्न मान ज्ञात करना है:

\( \frac{\csc^2 \theta - \sec^2 \theta}{\csc^2 \theta + \sec^2 \theta} \)

गणना:

सबसे पहले, \( \csc^2 \theta = 1 + \cot^2 \theta \) का उपयोग करके \( \csc^2 \theta \) ज्ञात कीजिए:

\( \csc^2 \theta = 1 + (\sqrt{11})^2 = 1 + 11 = 12 \)

अब, \( \sec^2 \theta \) ज्ञात कीजिए। चूँकि \( \tan \theta = \frac{1}{\cot \theta} = \frac{1}{\sqrt{11}} \) है, हमारे पास है:

\( \sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta = 1 + \left(\frac{1}{\sqrt{11}}\right)^2 = 1 + \frac{1}{11} = \frac{12}{11} \)

अब व्यंजक में \( \csc^2 \theta \) और \( \sec^2 \theta \) को प्रतिस्थापित कीजिए:

\( \frac{\csc^2 \theta - \sec^2 \theta}{\csc^2 \theta + \sec^2 \theta} \)

⇒ \( \frac{12 - \frac{12}{11}}{12 + \frac{12}{11}} \)

अंश को सरल कीजिए:

\( 12 - \frac{12}{11} = \frac{132}{11} - \frac{12}{11} = \frac{120}{11} \)

हर को सरल कीजिए:

\( 12 + \frac{12}{11} = \frac{132}{11} + \frac{12}{11} = \frac{144}{11} \)

इस प्रकार, व्यंजक बन जाता है:

\( \frac{\frac{120}{11}}{\frac{144}{11}} \)

⇒ \( \frac{120}{144} \)

⇒ भिन्न को सरल कीजिए:

\( \frac{120}{144} = \frac{5}{6} \)

उत्तर:

मान \( \frac{5}{6} \) है।

दिया गया है:

8cotθ = 7

प्रयुक्त अवधारणा:

cotθ = 7/8

cotθ = आधार/लम्ब

गणना:

कर्ण = √(लम्ब² + आधार²)

⇒ √(8² + 7²)

⇒ √113

\(\frac{1+sin \theta}{cos\theta}\)

⇒ (1 + 8/√113)/(7/√113)

⇒ (8 + √113)/ 7

∴ \(\frac{1+sin \theta}{cos\theta}\) का मान (8 + √113)/ 7 है।

दिया गया है:

secθ = √2

प्रयुक्त सूत्र:

secθ = 1/cosθ

cosecθ = 1/sinθ

गणना:

\(\secθ = \sqrt{2} \Rightarrow \cosθ = \frac{1}{\sqrt{2}}\)

\(\cosθ = \frac{1}{\sqrt{2}}\)

\(\sinθ = \sqrt{1 - \cos^2θ}\)

\(\sinθ = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2}\)

\(\sinθ = \sqrt{1 - \frac{1}{2}}\)

\(\sinθ = \sqrt{\frac{1}{2}}\)

\(\sinθ = \frac{1}{\sqrt{2}}\)

\(\cscθ = \frac{1}{\sinθ}\)

\(\cscθ = \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{2}}}\)

\(\cscθ = \sqrt{2}\)

cosecθ का मान √2 है।

दिया गया है:

tan A = 1/√10

प्रयुक्त अवधारणा:

Sin A = लम्ब/कर्ण

Cosec A = कर्ण/लम्ब

tan A = लम्ब/आधार

कर्ण = √(लम्ब² + आधार²)

गणना:

कर्ण = √(लम्ब2 + आधार2)

कर्ण = √( √102 + 12)

=> √11

sinA + cosecA

अवधारणा के अनुसार,

1/√11 + √11/1

=> 12/√11

∴ sinA + cosecA का मान 12/√11 है।

दिया गया है: 

\(\rm \sec θ=\frac{4}{3}\)

गणना: 

हम जानते हैं कि,

⇒ Secθ = 4/3, tanθ = √7/3

⇒ tan2 θ + tan4 θ = 7/9 + 49/81

⇒ (63 + 49)/81

⇒ 112/81

∴ सही उत्तर 112/81 है।

दिया गया है

 \(\frac{\cos \beta}{\sec \alpha}\) = 15

 \(\frac{\sin \beta}{\sec \alpha}\) = 16

गणना

Sec α = cos β/15  ......(1)

sin β = 16 × Sec α  .....(2)

समीकरण (1) का मान समीकरण (2) में रखने पर 

⇒ sin β = 16 × cos β/15

⇒ sin β/cos β = 16/15

⇒ P/B = 16/15

sin2β = P²/H²

H² = P² + B²

H2 = 256 + 225

H2 = 481

sin2β = 256/481

मान 256/481 है।

दिया गया:

b sin θ= a

प्रयुक्त अवधारणा:

sin θ= लंब/कर्ण   

sec θ= कर्ण/आधार 

tan θ= लंब/आधार 

गणना:

b sin θ=a

sin θ= a/b

इसलिए, लंब = a और कर्ण = b

(कर्ण)² = (लंब)² + (आधार)²

b² = a² + आधार²

आधार² = b² -  a²

\(base = {\sqrt{b^2-a^2} }\)

secθ = कर्ण/आधार = b/\({ \sqrt{b^2-a^2} }\)

tanθ = लंब/आधार = a/\({ \sqrt{b^2-a^2} }\)

इसलिए, secθ+ tanθ = b/\({ \sqrt{b^2-a^2} }\)+ (a/\({ \sqrt{b^2-a^2} }\))

secθ + tanθ = (b+ a)/ (\({ \sqrt{b^2-a^2} }\))

∵ (b + a) = √(b + a) × √(b + a)  

⇒ sec θ + tan θ = \( {√{(b+a)(b+a)} }\)/ \( { √{(b-a)(b+a)} }\)

sec θ+ tan θ= \(√ {\frac{{b + a}}{{b - a}}} \)

दिया गया है:

cos x = - (1/2)

प्रयुक्त सूत्र:

Cos (180 + θ) = - cos θ 

गणना:

cos x = - (1/2)

⇒ cos x = cos (180 + 60)

⇒ cos x = cos 240

⇒ x = 240°

Tan 240° = tan (180 + 60)

⇒ tan 60° = √3

∴ सही उत्तर √3 है।

दिया गया है:

\(\frac{cos\,α}{sin\,β}\) = 10 , \(\frac{cos\,α}{cos\,β}\) = 11

गणना:

10 sinβ = 11 cosβ

⇒ tanβ = 11/10

cos²β = 100/221

सही विकल्प 2​ है। 

प्रयुक्त सूत्र:

sec θ + tan θ = 1/(sec θ - tan θ)

गणना

यदि sec θ + tan θ = 5 है, तब:

sec θ - tan θ = 1/5

उपरोक्त दोनों को जोड़ने पर, हमें प्राप्त होता है:

⇒ 2 sec θ = 5 + 1/5

⇒ sec θ = 1/2(5 + 1/5)

sec θ का मान \(\frac{1}{2}(5 + \frac{1}{5})\) है। 

प्रयुक्त सूत्र:

Sec x = (1/cos x)

गणना:

Sec x - cos x

⇒ (1/cos x) - cos x

⇒ (1 - cos² x)/cos x

⇒ sin² x/cos x

⇒ tan x sin x

∴ सही उत्तर tan x sin x है। 

दिया गया है:

\(\sin θ = \frac{8}{{17}}\)

प्रयुक्त अवधारणा:

(H)कर्ण2 = (P)लम्ब2 + (B)आधार2

गणना:

sinθ = P/H

इसलिए, H2 = P2 + B2

⇒ 172 = 82 + B2

⇒ 289 = 64 + B2

⇒ 225 = B2

⇒ 15 = B

अब,

tanθ = P/B

इसलिए, tanθ = \(\frac{8}{{15}}\)

∴ अभीष्ट उत्तर \(\frac{8}{{15}}\) है।

Shortcut Trick

sinθ = 8/17 = P/H, हम त्रिक P = 8, B = 15, H = 17 जानते हैं

अब, tanθ = P/B है तो, tanθ = 8/15

दिया गया है:-

A + B = 90° 

SinA = 3/5

प्रयुक्त सूत्र:- 

कर्ण² = लंब² + आधार²

Sinθ = लंब(P)/कर्ण(H)

tanθ = लंब/आधार(B)

tan(90° - A) =  cotA

गणना:-

SinA = 3/5 = P/H

⇒ P = 3k और H = 5k   [जहाँ k एक स्थिरांक है]

आधार = √(H² - P²)

⇒ आधार = √(5k)² - (3k)²

⇒ आधार = 4k

⇒ tanA = P/B

⇒ tanA = 3k/4k = 3/4  

⇒ tan(90° - B) = 3/4

⇒ cotB = 3/4

⇒ tanB = 4/3

∴ अभीष्ट उत्तर tanB = 4/3 है।

दिया गया है

tan x = -12/5

प्रयुक्त अवधारणा

tan x = लंब/आधार

Sin x = लंब/कर्ण

गणना

tan x = -12/5 = लंब/आधार

P = 12 और B = - 5

H2 = P2 + B2

H2 = 144 + 25

H2 = 169

H = 13

⇒ sin x − cot x

⇒ P/H + B/P ...(चूँकि दूसरे चतुर्थांश में cot भी ऋणात्मक होता है)

⇒ (P2 + BH)PH

⇒ (144 + 65)/156

⇒ 209/156

अभीष्ट मान 209/156 है।