Multiple Pythagorean Identities MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Multiple Pythagorean Identities - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

दिया गया है:

cos A + cos²A = 1

हमें sin²A + sin⁴A की गणना करने की आवश्यकता है।

प्रयुक्त सूत्र:

1. sin²A + cos²A = 1

2. cos A + cos²A = 1

3. sin²A ज्ञात करने के लिए cos²A को प्रतिस्थापित कीजिए।

गणना:

दिए गए समीकरण से:

⇒ cos A + cos²A = 1

⇒ cos²A = 1 - cos A

अब, sin²A = 1 - cos²A का उपयोग कीजिए:

⇒ sin²A = 1 - (1 - cos A) = cos A

sin⁴A के लिए:

⇒ sin⁴A = (sin²A)² = (cos A)²

अब sin²A + sin⁴A की गणना कीजिए:

⇒ sin²A + sin⁴A = cos A + cos²A

⇒ दिए गए समीकरण से, cos A + cos²A = 1

∴ sin²A + sin⁴A = 1

दिया गया है:

sin(x) = 2/5, x एक न्यून कोण है

प्रयुक्त सूत्र:

cos(4x) - cos(2x)

sin2(x) + cos2(x) = 1

cos(2x) = 2cos2(x) - 1

cos(4x) = 2cos2(2x) - 1

गणना:

cos2(x) = 1 - sin2(x)

cos2(x) = 1 - (2/5)2

cos2(x) = 21/25

cos(x) = √(21/25) = √21 / 5

cos(2x) = 2cos2(x) - 1

cos(2x) = 2(21/25) - 1

cos(2x) = 42/25 - 25/25 = 17/25

cos(4x) = 2cos2(2x) - 1

cos(4x) = 2(17/25)2 - 1 = 578/625 - 1

cos(4x) = - 47/625

cos(4x) - cos(2x) = -47/625 - 17/25

cos(4x) - cos(2x) = -472/625

∴ cos(4x) - cos(2x) = -472/625

Shortcut Trick

माना X = 45°

a sin3X + b cos3X = sinX cosX 

⇒ a (1/√2)3 + b (1/√2)3 = (1/√2)(1/√2)

⇒ (1/√2)3 (a + b) = 1/2

⇒ {1/2√2} (a + b) = 1/2

⇒ (a + b) = √2  ---(1)

a sinX = b cosX

⇒ a (1/√2) = b(1/√2)

⇒ a = b

तो, a = b = √2/2 = 1/√2

अब,  a2 + b2= (1/√2)2 + (1/√2)2 = 1/2 + 1/2 = 1

∴ सही उत्तर विकल्प (2) है।

Alternate Method

दिया गया:

a sin3 X + b cos3 X = sin X cos X   ---(1)

a sin X = b cos X    ---(2)

प्रयुक्त सूत्र:

sin2 X + cos2 X = 1

गणना:

समीकरण (2) से:

a sin X = b cos X 

⇒ a = b (cos X / sin X)

अब समीकरण (1) से:

a sin3 X + b cos3 X = sin X cos X

⇒ b (cos X / sin X) × sin3X + b cos3 X = sin X cos X

⇒ b cos X × sin2X + b cos3 X = sin X cos X

⇒ b cos X (sin2X + cos2X) = sinX cosX

⇒ b cos X (1) = sinX cosX

⇒ b = sin X

तो, a = b (cos X / sin X) = sinX (cosX / sinX) = cos X

अब,

a2 + b2

⇒ cos2X + sin2X = 1

∴ a ² + b ² का मान 1 है।

दिया गया है:

x = a sec θ cos ϕ

y = b sec θ sin ϕ

z = c tan θ

प्रयुक्त सूत्र:

\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2}\)

गणना:

x, y, और z के मान प्रतिस्थापित करने पर:

x = a sec θ cos ϕ, y = b sec θ sin ϕ, and z = c tan θ

\(\frac{x^2}{a^2}\) = \(\frac{(a sec θ cos ϕ)^2}{a^2}\)
⇒ sec2θ cos2 ϕ

अब समीकरण को हल करने पर:-

⇒ \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2}\) = sec 2 θ cos 2 ϕ + sec 2 θ syn 2 ϕ - tan 2 θ

⇒ sec2θ (cos2 ϕ + sin2 ϕ) - tan2θ 

cos² A + sin² A = 1 है, तो

⇒ sec2θ - tan2θ 

और हम जानते हैं, sec2 A - tan2 A = 1

इसलिए,

⇒ sec2θ - tan2θ = 1 = \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2}\)

दिया गया है:

p = \(\frac{\sin A}{1 + \cos A}\)

प्रयुक्त सूत्र:

हमें p के पदों में \(\frac{\sin A}{1 - \cos A}\) ज्ञात करना है।

गणना:

हम जानते हैं कि p = \(\frac{\sin A}{1 + \cos A}\)

⇒ व्यंजक \(\frac{\sin A}{1 - \cos A}\) के अंश और हर दोनों को \(\frac{1 + \cos A}{1 + \cos A}\) से गुणा करके सरल कीजिए:

⇒ \(\frac{\sin A}{1 - \cos A} \times \frac{1 + \cos A}{1 + \cos A} = \frac{\sin A(1 + \cos A)}{(1 - \cos A)(1 + \cos A)}\)

⇒ सर्वसमिका \((1 - \cos^2 A) = \sin^2 A\) का उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है:

⇒ \(\frac{\sin A(1 + \cos A)}{\sin^2 A}\)

⇒ \(\frac{1 + \cos A}{\sin A}\)

⇒ अब, p = \(\frac{\sin A}{1 + \cos A}\) के दिए गए मान का उपयोग करके, हम लिख सकते हैं:

⇒ \(\frac{1}{p}\)

इसलिए, \(\frac{\sin A}{1 - \cos A} = \frac{1}{p}\)

दिया गया है:

tan2θ + cot2θ  - sec2θ cosec2θ

प्रयुक्त अवधारणा:

1. tanα = sinα/cosα

2. cotα = 1/tanα

3. secα = 1/cosα

4. cosecα = 1/sinα

5. (a + b)² - 2ab = a² + b²

6. sin²α + cos²α = 1

गणना:

tan2θ + cot2θ  - sec2θ cosec2θ

⇒ \(\frac {sin^2θ}{cos^2θ} + \frac {cos^2θ}{sin^2θ} - \frac {1}{sin^2θ \times cos^2θ}\)

⇒ \(\frac {sin^4θ + cos^4θ - 1}{sin^2θ \times cos^2θ}\)

⇒ \(\frac {(sin^2θ + cos^2θ)^2 - 2sin^2θ cos^2θ - 1}{sin^2θ \times cos^2θ}\)

⇒ \(\frac {(1)^2 - 2sin^2θ cos^2θ - 1}{sin^2θ \times cos^2θ}\)

⇒ \(\frac {-2sin^2θ cos^2θ}{sin^2θ \times cos^2θ}\)

⇒ -2

∴ अभीष्ट उत्तर -2 है।

Shortcut Trick 

इस प्रश्न को हल करने के लिए मूल्य निर्धारण विधि का प्रयोग करें,

θ = 45° का प्रयोग करें

tan2 θ + cot2 θ  - sec2 θ cosec2 θ

⇒ 12 + 12  - (√2)2(√2)2

⇒ 1 + 1 - 4

⇒ 2 - 4 = - 2

∴ इस प्रश्न का सही उत्तर -2 है।

दिया गया है:

a cot θ + b cosec θ = p

b cot θ + a cosec θ = q

प्रयुक्त सूत्र:

Cosec2 θ - cot2 θ = 1

गणना:

a cot θ + b cosec θ = p

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,

(a cot θ + b cosec θ)2 = (p)2

a² cot² θ + b2 cosec2 θ + 2 × ab cot θ × cosec θ = p² ----- (1)

b cot θ + a cosec θ = q

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,

(b cot θ + a cosec θ)2 = (q)2

b2 cot2 θ  + a2 cosec2 θ  + 2 × ab cot θ × cosec θ = q2 ----- (2)

समीकरण (1) और (2) को घटाने पर

⇒ (p2 - q2) = a2 cot2 θ  + b2 cosec2 θ  + 2 × ab × cot θ × cosec θ - (b2 cot2 θ + a2 cosec2 θ  + 2 × ab × cot θ × cosec θ)

⇒ a2 cot2 θ - a2 cosec2 θ + b2 cosec2 θ - b2 cot2 θ 

दिया गया है:

tan2 θ = 1 - a2

प्रयुक्त अवधारणा:

Secθ = 1/cosθ, tanθ = sinθ/cosθ, sinθ = 1/cosecθ

Sec2θ – tan2θ = 1

गणना:

Secθ = 1/cosθ, tanθ = sinθ/cosθ, sinθ = 1/cosecθ

Sec2θ – tan2θ = 1

हमें ज्ञात करना है, sec θ + tan3 θ cosec θ

\(\begin{array}{l} = \frac{1}{{\cos \theta }} + \frac{{si{n^3}\theta }}{{co{s^3}\theta }} \times \frac{1}{{sin\theta }}\\ = \frac{1}{{\cos \theta }}\left[ {1 + \frac{{si{n^2}\theta }}{{co{s^2}\theta }}} \right]\\ = \frac{1}{{\cos \theta }} \times \frac{1}{{co{s^2}\theta }} = \frac{1}{{co{s^3}\theta }} \end{array}\)

अब, यह दिया गया है,

tan2θ = 1 – a²

⇒ sec2θ – 1 = 1 – a2

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{{co{s^2}\theta }} = 2 - {a^2}\\ \Rightarrow \frac{1}{{co{s^3}\theta }} = {\left[ {2 - {a^2}} \right]^{\frac{3}{2}}} \end{array}\)

∴ सही उत्तर विकल्प 3 है।

दिया गया है:

sec2 A + tan2 A = \(\frac{4}{{17}}\)

प्रयुक्त सूत्र:

sec2 A - tan2 A = 1

a² - b² = (a + b)(a - b)

गणना:

⇒ sec4 A - tan4 A = (sec² A + tan² A )(sec2 A - tan2 A )

⇒ sec4 A - tan4 A = 4/17 × 1

⇒ sec4 A - tan4 A = 4/17

∴ सही उत्तर विकल्प 3 है।

दिया गया है:

cot2A - cos2A

प्रयुक्त अवधारणा:

cosec²θ - cot²θ = 1

गणना:

cot2A - cos2A

⇒ \( \rm \frac{cos^2A}{sin^2A} - cos^2A\) 

⇒ \( \rm cos^2A(\frac{1}{sin^2A} - 1)\)

⇒ cos²A(cosec²A - 1) 

⇒ cos2A.cot²A 

∴ अभीष्ट उत्तर cos​2A. cot​2A है। 

दिया गया है:

cot x – tan x = 3/2

प्रयुक्त सूत्र:

यदि x - 1/x = p है, तो x + 1/x = √(p2​  + 4)

tan x = 1/cot x

गणना:

cot x – tan x = 3/2

⇒ cot x – 1/cot x = 3/2

यदि x - 1/x = p है, तो x + 1/x = √(p2 + 4) का उपयोग करने पर,

⇒ cot x + 1/cot x = √[(3/2)² + 4]

⇒ cot x + 1/cot x = √(25/4)

⇒ cot x + 1/cot x = 5/2

⇒ cot x + tan x = 5/2

∴ सही उत्तर विकल्प 3 है।

गणना :

⇒ \(\frac{cosA(1 + sinA) + cosA(1 - sinA)}{{(1 + sinA)}{(1 -sinA)}}\) = 4

⇒ \(\frac{cosA + cosA.sinA + cosA - cosAsinA}{{(1 - sinA)}{(1 + sinA)}}\) = 4

⇒ 2/cosA = 4

⇒ cosA = 1/2

⇒ A = 60° 

∴ सही उत्तर 60° है। 

दिया गया​ है:

tan A + cot A = 2

गणना:

प्रश्न के अनुसार,

हमारे पास है: tan A + cot A = 2

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हमें प्राप्त होता है:

⇒ (tan A + cot A)² = (2)²

⇒ tan² A + cot² A + 2(tan A)(cot A) = 4

⇒ tan² A + cot² A + 2(tan A)(1/tan A) = 4

⇒ tan² A + cot² A + 2 = 4

⇒ tan² A + cot² A = 2

अब,

2(tan2 A + cot2 A) = 2 × 2

⇒ 4

∴ 2(tan2 A + cot2 A) का मान 4 है।

गणना:

 cos A + cos2 A = 1

⇒ cos A = 1 - cos2 A

⇒ cos A = sin² A … (i)

sin4 A + sin6 A

⇒ sin² A (sin² A + sin⁴ A)

⇒ sin2 A (sin2 A + cos² A)  समीकरण (i) से

⇒ sin2 A × 1

⇒ cos A  समीकरण (i) से

∴ सही उत्तर cos A है

दिया गया है:

\(\sin θ + \cos θ = \frac{{\sqrt 3 - 1}}{{2\sqrt 2 }}\)

प्रयुक्त अवधारणा:

sin²θ + cos²θ = 1

गणना:

\(\sin θ + \cos θ = \frac{{\sqrt 3 - 1}}{{2\sqrt 2 }}\)

⇒ \((\sin θ + \cos θ)^2 = \left(\frac{{\sqrt 3 - 1}}{{2\sqrt 2 }}\right)^2\)

⇒ \(\sin ^2θ + \cos ^2θ +2sinθ .cosθ = \left(\frac{{3 + 1-2\sqrt3.1}}{{8 }}\right)\)

⇒ \(1+2sinθ .cosθ = \frac{{4-2\sqrt3}}{{8 }}\)

⇒ \(2sinθ .cosθ = \frac{{4-2\sqrt3}}{{8 }}-1\)

⇒ \(2sinθ .cosθ = \frac{{4-2\sqrt3-8}}{{8 }}\)

⇒ \(sinθ .cosθ = \frac{{-(\sqrt3+2)}}{{8 }}\)

अब,

tan θ + cot θ = \(\rm \frac{sinθ}{cosθ}+\frac{cosθ}{sinθ}\)

⇒ \(\rm \frac{sin^2θ+cos^2θ}{sinθ.cosθ}\)

⇒ \(\rm \frac{1}{sinθ.cosθ}\)

⇒ \(\rm \frac{1}{\frac{{-(\sqrt3+2)}}{{8 }}}\)

⇒ \(\rm \frac{-8}{{{(\sqrt3+2)}}{}}\)

⇒ \(\rm \frac{-8(\sqrt3-2)}{{{(\sqrt3+2)(\sqrt3-2)}}{}}\)

⇒ \(\rm \frac{-8(\sqrt3-2)}{{{3-4}}{}}\)

⇒ \(\rm \frac{-8(\sqrt3-2)}{{{-1}}{}}\)

⇒ \(8\left( {\sqrt3 - 2} \right)\)

∴ अभीष्ट उत्तर \(8\left( {\sqrt3 - 2} \right)\) है।