Pythagorean Identities MCQ Quiz in বাংলা - Objective Question with Answer for Pythagorean Identities - বিনামূল্যে ডাউনলোড করুন [PDF]

প্রদত্ত:

10sin²θ + 6cos²θ = 7

0 < θ < 90°

অনুসৃত সূত্র:

sin²θ + cos²θ = 1

tanθ = sinθ / cosθ

গণনা:

ধরি sin²θ = x, তাহলে cos²θ = 1 - x

∴ 10x + 6(1 - x) = 7

∴ 10x + 6 - 6x = 7

∴ 4x = 1

∴ x = 1/4

∴ sin²θ = 1/4

∴ sinθ = 1/2

যেহেতু 0 < θ < 90°

∴ sinθ = 1/2

∴ cos²θ = 1 - (1/4)

∴ cos²θ = 3/4

∴ cosθ = √(3)/2

যেহেতু 0 < θ < 90°

∴ cosθ = √(3)/2

∴ tanθ = sinθ / cosθ

∴ tanθ = \(\frac{(1/2)}{(√(3)/2)}\)

∴ tanθ = 1/√(3)

সঠিক উত্তর বিকল্প 3

প্রদত্ত:

p sin A - cos A = 1

ব্যবহৃত সূত্র:

sin 90^∘ = 1

cos 90^∘ = 0

গণনা:

p sin A - cos A = 1

p এর মান বের করার জন্য A = 90^∘ ধরলে,

(p sin 90^∘ - cos 90^∘) = 1

p × 1 - 0 = 1

p = 1

A = 90° এবং p = 1 p² - (1 + p²) cos A এ বসালে:

p² - (1 + p²) cos A = 1² - (1 + 1²)cos 90°

⇒ 1 - (1 + 1) × 0 

⇒ 1 - 2 × 0 = 1 - 0 = 1

অতএব, p² - (1 + p²) cos A = 1.

Alternate Method

ব্যবহৃত ধারণা:

যদি cosecθ + cotθ = x হয়, তাহলে cosecθ - cotθ = 1/x

গণনা:

p sin A - cos A = 1

⇒ p sin A = 1 + cos A

⇒ p = (1 + cos A)/ sinA

⇒ p = cosec A + cot A

সুতরাং, cosec A - cot A = 1/p

এখন,

p + 1/p = 2 cosec A

p - 1/p = 2 cot A

সুতরাং, p² - (1 + p²) cos A

⇒ p2- p(1/p + p) cosA

⇒ p2 - p(2cosecA) cosA

⇒ p2- p (2/sin A) cosA

⇒ p2 - p (2 cotA)

⇒ p2 - p (p - 1/p)

⇒ p2 - p2 + 1 = 1

অতএব, সঠিক উত্তর হলো বিকল্প (1)। 

গণনা:

\(\frac{sec α + tan α}{sec α - tan α} = \frac{7}{4}\)

⇒ 4(sec α + tan α) = 7(sec α - tan α)

⇒ 4 sec α + 4 tan α = 7 sec α - 7 tan α

⇒ 4 tan α + 7 tan α = 7 sec α - 4 sec α

⇒ 11 tan α = 3 sec α

⇒ 11 \(\frac{sinα}{cosα}\) = 3 \(\frac{1}{cosα}\)

⇒ 11 sin α = 3

⇒ sin α = 3/11

এখন, Cosec α = 1/sin α = 1/(3/11) = 11/3

∴ সঠিক উত্তরটি হলো (3) নম্বর বিকল্প।

প্রদত্ত

 tan2α = \(\rm\frac{2 tan \alpha}{1-tan^{2}\alpha}\)

অনুসৃত সূত্র:

Tan 15° = Tan(45 – 30)°

ত্রিকোণমিতি সূত্র দ্বারা, আমরা জানি,

Tan (A – B) = (Tan A – Tan B) /(1 + Tan A Tan B)

গণনা

অতএব, আমরা লিখতে পারি,

tan(45 – 30)° = tan 45° – tan 30°/1+ tan 45° tan 30°

এখন তালিকা থেকে tan 45° এবং tan 30° এর মান রাখলে আমরা পাব;

tan(45 – 30)° = (1 – 1/√3)/ (1 + 1.1/√3)

tan (15°) = √3 – 1/ √3 + 1

= 1.732 - 1/1.732 + 1

= 0.732/2.732

= 0.268

সুতরাং, tan (15°) এর মান হল 0.268

প্রদত্ত:

Sec θ + tan θ = 3

ব্যবহৃত সূত্র:

Sec² θ - tan² θ = 1 অথবা (sec θ - tan θ) x (Sec θ + tan θ) = 1

গণনা:

(sec θ - tan θ) (sec θ + tan θ) = 1

sec θ - tan θ = 1/3 ....(1)

sec θ + tan θ = 3 ....(2) (প্রদত্ত)

সমীকরণ (1) এবং (2) সমাধান করে

⇒ Sec θ = 10/6 = 5/3

⇒ cos θ = 3/5 (cos θ = (1/sec θ)

∴ সঠিক উত্তর হল 3/5

প্রদত্ত:

sec θ + tan θ = 5

অনুসৃত ধারণা:

যদি sec θ + tan θ = y হয়,

তাহলে sec θ - tan θ = 1/y

গণনা:

sec θ + tan θ = 5  ----- (1)

তাহলে,

sec θ - tan θ = 1/5 ------- (2)

সমীকরণ (1) এবং (2) কে বিয়োগ করার পর

⇒ (sec θ + tan θ) - (sec θ - tan θ) = (5 - 1/5)

⇒ sec θ + tan θ - sec θ + tan θ = 24/5

⇒ 2 × tan θ = 24/5

⇒ tan θ = 12/5

∴ সঠিক উত্তর হল 12/5

প্রদত্ত:

{(3Sinθ - Cosθ)/(Cosθ + Sinθ)} = 1

গণনা:

আমাদের একটি ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ আছে

{(3Sinθ - Cosθ)/(Cosθ + Sinθ)} = 1

লব এবং হরকে sin θ দ্বারা ভাগ করলে আমরা পাই

⇒ [{(3sinθ - cosθ)/Sinθ}/{(cosθ + sinθ)/sinθ}] = 1

⇒ {(3 - cotθ)/(cotθ + 1)} = 1

⇒ 3 - cotθ = 1 + cotθ

⇒ 2cotθ = 2

cotθ = 1

মান 1।

প্রদত্ত

 tan2α = \(\rm\frac{2 tan \alpha}{1-tan^{2}\alpha}\)

অনুসৃত সূত্র:

Tan 15° = Tan(45 – 30)°

ত্রিকোণমিতি সূত্র দ্বারা, আমরা জানি,

Tan (A – B) = (Tan A – Tan B) /(1 + Tan A Tan B)

গণনা

অতএব, আমরা লিখতে পারি,

tan(45 – 30)° = tan 45° – tan 30°/1+ tan 45° tan 30°

এখন তালিকা থেকে tan 45° এবং tan 30° এর মান রাখলে আমরা পাব;

tan(45 – 30)° = (1 – 1/√3)/ (1 + 1.1/√3)

tan (15°) = √3 – 1/ √3 + 1

= 1.732 - 1/1.732 + 1

= 0.732/2.732

= 0.268

সুতরাং, tan (15°) এর মান হল 0.268

প্রদত্ত:

\(\rm \left(\frac{1}{\sin θ}+\frac{1}{\tan θ}\right)\rm \left(\frac{1}{\sin θ}-\frac{1}{\tan θ}\right)\)

অনুসৃত​ সূত্র:

(A2 - B2) = (A + B) × (A - B)

Cosec2 θ - cot2 θ = 1

গণনা:

\(\rm \left(\frac{1}{\sin θ}+\frac{1}{\tan θ}\right)\rm \left(\frac{1}{\sin θ}-\frac{1}{\tan θ}\right)\)

⇒ (cosec θ + cot θ) × (cosec θ - cot θ)

⇒ Cosec2 θ - cot2 θ

⇒ 1

∴ সঠিক উত্তর হল 1

অনুসৃত সূত্র 

(a + b)² = a² + b² + 2ab

গণনা 

sec θ + cos θ = 32

উভয় পক্ষের বর্গ করে:

(sec θ + cos θ)² = sec2 θ+ cos2 θ + 2 sec θ cos θ

⇒ 1024 - 2 = sec2 θ+ cos2 θ 

⇒ sec2 θ+ cos2 θ = 1022

মান হল 1022

ব্যবহৃত সূত্র:

1 - sin² θ = cos² θ

1/sin θ = cosec θ

cos θ/sin θ = cot θ

গণনা:

\(\sqrt{\frac{1+\cos θ}{1-\cos θ}}\)

⇒ \(\sqrt{\frac{1+\cos θ}{1-\cos θ}\times\frac{1+\cos θ}{1+\cos θ}} \)

⇒ \(\sqrt{\frac{(1+\cos θ)^2}{1^2-\cos^2 θ}} \)

⇒ (1 + cosθ)/sinθ

⇒ (1/sin θ) + (cos θ/sin θ)

⇒ cosec θ + cot θ

∴ সঠিক উত্তরটি হল 3.

প্রদত্ত:

Sec θ + tan θ = 3

ব্যবহৃত সূত্র:

Sec² θ - tan² θ = 1 অথবা (sec θ - tan θ) x (Sec θ + tan θ) = 1

গণনা:

(sec θ - tan θ) (sec θ + tan θ) = 1

sec θ - tan θ = 1/3 ....(1)

sec θ + tan θ = 3 ....(2) (প্রদত্ত)

সমীকরণ (1) এবং (2) সমাধান করে

⇒ Sec θ = 10/6 = 5/3

⇒ cos θ = 3/5 (cos θ = (1/sec θ)

∴ সঠিক উত্তর হল 3/5

প্রদত্ত:

Sec θ + 1/cos θ = 2

অনুসৃত ধারণা:

গণনা:

প্রশ্নানুসারে:

Sec θ + 1/cos θ = 2

Sec θ + sec θ = 2

সুতরাং, θ = 0°

এখন θ এর মান সমীকরণে বসালে:

⇒ Sec⁵⁵ θ + 1/sec⁵⁵ θ

⇒ Sec55 0° + 1/sec55 0°

⇒ 1 + 1 = 2

∴ সঠিক উত্তর হল 2

অনুসৃত সূত্র:

1 - sin² θ = cos² θ

Sec θ × cos θ = 1

গণনা:

Sec θ × √{1 - sin2 θ}

⇒ Sec θ × √{cos2 θ} 

⇒ Sec θ × cos θ = 1

∴ সঠিক উত্তর হল 1

প্রদত্ত:

Cos² θ = 3/4

অনুসৃত সূত্র:

Cos 30° = Sin 60° = √3/2

গণনা:

Cos2 θ = 3/4

⇒ cos θ = √(3/4) = √3/2

⇒ cos θ  = cos 30° 

⇒ θ = 30° 

sin (θ + 30°) =  sin (30° + 30°)

⇒ sin 60° = √3/2

∴ সঠিক উত্তর হল √3/2