लघुत्तम समापवर्त्य MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for LCM - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

दिया गया है:

पहला लाइटशिप प्रत्येक 24 सेकंड में चमकता है।

दूसरा लाइटशिप प्रत्येक 60 सेकंड में चमकता है।

तीसरा लाइटशिप प्रत्येक 132 सेकंड में चमकता है।

तीनों एक साथ सुबह 8:00 बजे चमकते हैं।

प्रयुक्त सूत्र:

यह ज्ञात करने के लिए कि अगली बार तीनों लाइटशिप एक साथ कब चमकेंगे, तीनों समयावधियों का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करें।

अगला समय = प्रारंभिक समय + (सेकंड में समयावधियों का LCM)।

गणना:

24, 60 और 132 का LCM ज्ञात करें:

अभाज्य गुणनखंड:

24 = 2³ × 3

60 = 2² × 3 × 5

132 = 2² × 3 × 11

LCM = सभी अभाज्य गुणनखंडों की उच्चतम घात = 2³ × 3 × 5 × 11

⇒ LCM = 8 × 3 × 5 × 11

⇒ LCM = 1320 सेकंड

1320 सेकंड को मिनट में बदलें:

1320 ÷ 60 = 22 मिनट

अगला चमक समय = सुबह 8:00 बजे + 22 मिनट

⇒ सुबह 8:22 बजे

तीनों लाइटशिप अगली बार सुबह 8:22 बजे एक साथ चमकेंगे।

दिया गया है:

पहली अलार्म घड़ी का अंतराल = 72 सेकंड

दूसरी अलार्म घड़ी का अंतराल = 80 सेकंड

पहली बार एक साथ बजना =  6:00 am

प्रयुक्त सूत्र:

एक साथ अगली बार बजने का समय = अंतरालों का ल.स.प.(लघुत्तम समापवर्त्य)

गणनाएँ:

ल.स.प.(72, 80) = ?

अभाज्य गुणनखंड:

72 = 2³ × 3²

80 = 2⁴ × 5

⇒ ल.स.प.= 2⁴ × 32 × 5

⇒ ल.स.प.= 720 सेकंड

⇒ 720 ÷ 60 = 12 मिनट

⇒ अगली बार एक साथ बजना = 6:00 am+ 12 मिनट

⇒ अगली बार एक साथ बजना = 6:12 am

∴ सही उत्तर विकल्प (4) है।

दिया गया है:

संख्याएँ 21/22 और 23/24 हैं।

प्रयुक्त सूत्र:

भिन्नों का LCM = \(\dfrac{\text{LCM of numerators}}{\text{HCF of denominators}}\)

गणना:

अंशों (21 और 23) का LCM:

चूँकि 21 और 23 दोनों अभाज्य हैं, इसलिए उनका LCM = 21 × 23 = 483 है।

हरों (22 और 24) का HCF:

22 का अभाज्य गुणनखंड = 2 × 11

24 का अभाज्य गुणनखंड = 2 × 2 × 2 × 3

HCF = 2

भिन्नों का LCM = \(\dfrac{\text{LCM of numerators}}{\text{HCF of denominators}}\)

⇒ \(\dfrac{483}{2}\)

इसलिए, सही उत्तर विकल्प (4) है।

दिया गया है:

दो भिन्नों 30/31 और 32/33 का LCM ज्ञात कीजिए।

प्रयुक्त सूत्र:

भिन्नों का LCM = \(\dfrac{\text{LCM of numerators}}{\text{HCF of denominators}}\)

गणनाएँ:

अंश: 30 और 32

हर: 31 और 33

अंशों का LCM (30 और 32):

अभाज्य गुणनखंड:

30 = 2 × 3 × 5

32 = 2⁵

LCM = 2⁵ × 3 × 5 = 480

हरों का HCF (31 और 33):

अभाज्य गुणनखंड:

31 = 31 (अभाज्य संख्या)

33 = 3 × 11

कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है, इसलिए HCF = 1

⇒ LCM = \(\dfrac{\text{LCM of numerators}}{\text{HCF of denominators}}\)

⇒ LCM = \(\dfrac{480}{1}\)

⇒ LCM = 480

∴ सही उत्तर विकल्प (2) है।

दिया गया:

पहले व्यक्ति द्वारा एक चक्र पूरा करने में लिया गया समय = 120 सेकंड

दूसरे व्यक्ति द्वारा एक चक्र पूरा करने में लिया गया समय = 150 सेकंड

तीसरे व्यक्ति द्वारा एक चक्र पूरा करने में लिया गया समय = 80 सेकंड

प्रयुक्त सूत्र:

यह पता लगाने के लिए कि तीनों व्यक्ति आरंभिक बिंदु पर कब मिलेंगे, हमें एक चक्र पूरा करने में लगने वाले समय का LCM (लघुत्तम समापवर्त्य) निकालना होगा।

गणना:

अभाज्य गुणनखंड:

120 = 2³ × 3 × 5

150 = 2 × 3 × 5²

80 = 2⁴ × 5

LCM = प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की उच्चतम घात:

एल.सी.एम. = 2⁴ × 3 × 5² = 16 × 3 × 25 = 1200 सेकंड

∴ तीनों व्यक्ति 1200 सेकंड (या 20 मिनट) बाद प्रारंभिक बिंदु पर मिलेंगे।

दिया गया है:

चार घंटियों के बजने का समय 12 सेकंड, 15 सेकंड, 20 सेकंड, 30 सेकंड है।

गणना:

चार घंटियों के बजने का समय 12 सेकंड, 15 सेकंड, 20 सेकंड, 30 सेकंड है।

अब हमें समय अंतराल पर लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) लेना होगा।

⇒ (12, 15, 20, 30) का LCM = 60

8 घंटे में कुल सेकंड = 8 × 3600 = 28800

घंटी के बजने की संख्या = 28800/60

⇒ घंटी के बजने की संख्या = 480

यदि प्रारंभ में चार घंटियाँ एक साथ बजती हैं।

⇒ 480 + 1 

∴ घंटियां 8 घंटे में 481 बार बजतीं है।

Mistake Pointsएक साथ घंटियाँ बजने लगती हैं, पहली बार घंटी के बजने को भी गिनना पड़ता है, पहली बार के बाद से घंटी के बजने की संख्या है।

दिया है:

म.स.प. = 24

ल.स.प. = 168

संख्याओं का अनुपात = 1 ∶ 7.

सूत्र:

संख्याओं का गुणनफल = ल.स.प. × म.स.प.

गणना:

माना कि संख्याएं x और 7x हैं।

x × 7x = 24 × 168

⇒ x² = 24 × 24

⇒ x = 24

∴ बड़ी संख्या = 7x = 24 × 7 = 168

दिया है:

550 और 700 के बीच की संख्या इस प्रकार है कि जब उन्हें 12, 16 और 24 से विभाजित किया जाता है, तो प्रत्येक दशा में शेष 5 है। 

प्रयुक्त अवधारणा:

LCM लघुतम समापवर्त्य ज्ञात करने की विधि है।

गणना:

⇒ 12, 16 और 24 का लघुत्तम समापवर्त्य = 48

550 से बड़े 48 के गुणज जिनका शेषफल 5 है।

⇒ पहली संख्या = 48 x 12 + 5 = 581

⇒ दूसरी संख्या = 48 x 13 + 5 = 629

⇒ तीसरी संख्या = 48 x 14 + 5 = 677

⇒ इन संख्याओं का योग = 581 + 629 + 677 = 1887

⇒ अतः, संख्याओं का योग 1887 है।

Shortcut Trick विकल्प विलोपन विधि: शेषफल 5 को हर संख्या से घटाने का तात्पर्य है कि विकल्प 15 में हमें घटाना है क्योंकि तीनों संख्याओं का योग दिया हुआ है।

इस स्थिति में केवल 3, कोई संभावित स्थिति नहीं है।

इसलिए हमें 15 घटाना है और फिर 16 और 3 की विभाज्यता की जांच करनी है।

प्रयुक्त अवधारणा:

भिन्न का लघुत्तम समापवर्त्य = अंश का लघुत्तम समापवर्त्य/हर का महत्तम समापवर्तक

गणना:

\(\frac{2}{4}, \frac{5}{6}, \frac{10}{8}\)=  \(\frac{1}{2}, \frac{5}{6}, \frac{5}{4}\)

⇒ (1, 5, 5) का लघुत्तम समापवर्त्य = 5

⇒ (2, 6, 4) का महत्तम समापवर्तक = 2

⇒ \(\dfrac{LCM\; of\;(1,5,5)}{HCF\;of\;(2,4,6)}\) = 5/2

∴ सही उत्तर 5/2 है।

Mistake Points कृपया ध्यान दें कि लघुत्तम समापवर्त्य का मतलब न्यूनतम उभयनिष्ठ गुणज होता है। लघुत्तम समापवर्त्य वह सबसे छोटी संख्या है जो दी गई सभी संख्याओं (2/4, 5/6, 10/8) से पूरी तरह विभाजित हो जाती है।

इस प्रकार के प्रश्नों में, सुनिश्चित करें कि आप उनके सूत्रों का उपयोग करने से पहले भिन्नों को उनके न्यूनतम रूपों में लिख दें, अन्यथा, आपको गलत उत्तर मिल सकता है।

यदि हम भिन्नों को उनके निम्नतम रूपों में नहीं लिखते हैं तो लघुत्तम समापवर्त्य 5 है लेकिन इन 3 संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य 5/2 है।

दिया गया है:

दी गई संख्याएँ = 0.126, 0.36 और 0.96

प्रयुक्त अवधारणा:

भिन्नों का लघुत्तम समापवर्त्य = \({ LCM (Numerators) \over HCF (Denominators)}\)

गणना:

0.126 = \({126 \over 1000}\)

0.36 = \({36 \over 100} \)

0.96 = \({96 \over 100}\)

(\({126 \over 1000}\), \({36 \over 100} \), \({96 \over 100}\)) का लघुत्तम समापवर्त्य = \({ LCM (126, 36, 96) \over HCF (1000, 100, 100)}\) = \({2016 \over 100}\)

(0.126, 0.36, 0.96) का लघुत्तम समापवर्त्य = 20.16

∴ 0.126, 0.36 और 0.96 का लघुत्तम समापवर्त्य 20.16 है।

दिया हुआ है:

7, 2, 10, 4, 3, 12, 8, 4, 6, 4

प्रयुक्त सूत्र:

बहुलक - बहुलक वह मान है जो किसी आंकड़े समुच्चय में सबसे अधिक बार दिखाई देता है।

माध्य = आंकड़ो का योग/आंकड़ो की संख्या

माध्यिका = {(n/2)th + (n/2 + 1)th}/2, जब आंकड़े समुच्चय सम है 

गणना:

7, 2, 10, 4, 3, 12, 8, 4, 6, 4

सबसे पहले आंकड़े आरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर

⇒ 2, 3, 4, 4, 4, 6, 7, 8, 10, 12

बहुलक वह मान है जो किसी आंकड़े समुच्चय में सबसे अधिक बार दिखाई देता है।

⇒ बहुलक = 4

माध्य = आंकड़ो का योग/आंकड़ो की संख्या

⇒ (2 + 3 + 4 + 4 + 4 + 6 + 7 + 8 + 10 + 12)/10

⇒ 60/10

⇒ 6

माध्यिका = जब आंकड़े समुच्चय सम है = {(n/2)th + (n/2 + 1)th}/2

⇒ {(10/2)th + (10/2 + 1)th}/2

⇒ (5th + 6th)/2

⇒ 10/2

⇒ 5

माध्यिका, माध्य और बहुलक का लघुत्तम समापवर्तक

⇒ 5, 6, 4 का लघुत्तम समापवर्तक

⇒ 3 × 4 × 5

⇒ 60

∴ माध्यिका, माध्य और बहुलक का लघुत्तम समापवर्तक 60 है।

दिया गया मान: 12, 15 और 25 से विभाजित होने वाली संख्या

अवधारणा:

संख्या 12, 15, और 25 का लघुत्तम समापवर्त्य है। किसी संख्या को 9 से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल, उसके अंकों के योग को 9 से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल के बराबर होता है।

गणना:

⇒ 12, 15 और 25 का लघुत्तम समापवर्त्य 300 है। 300 से विभाजित होने वाली सबसे छोटी 6 अंकों की संख्या 100200 है।

⇒ 100200 के अंकों का योग = 1 + 0 + 0 + 2 + 0 + 0 = 3

⇒ 3 को 9 से विभाजित करने पर शेषफल = 3

अतः, 6 अंकों की सबसे छोटी संख्या को 12, 15 और 25 से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल 3 है।

Alternate Method 12, 15 और 25 का ल.स.प. = 300

और

300 × 334 = 100200

तो, 6 अंकों की सबसे छोटी संख्या जो 12, 15 और 25 से विभाज्य है = 100200

जब 100200 को 9 से विभाजित किया जाता है तो शेषफल होता है:

100200 = 9 × 11133 + 3

शेषफल = 3

गणना:

16 = 2 × 2 × 2 × 2 

10 = 2 × 5

12 = 2 × 2 × 3

27 = 3 × 3 × 3

लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 5 = 2160

शेषफल 9 छोड़ने से पहले, आवश्यक संख्या 2169 है।

2169/13 = 166.84

इसलिए, यह 13 से विभाज्य नहीं है।

2160 × 2 = 4320 + 9 = 4329

⇒ 4329 ÷ 13 = 333

सही संख्या 4329 है।

अंकों का योग = 4 + 3 + 2 + 9

∴ इन अंकों का योग 18 है।

दिया गया है:

हमें 400-600 की सीमा में संख्याओं का योग इस प्रकार ज्ञात करना है कि वे प्रत्येक 6, 12 और 16 से विभाज्य हों।

अवधारणा:

लघुत्तम समापवर्तक (सबसे छोटा उभयनिष्ठ गुणनखंड)

गणना:

लघुत्तम समापवर्तक (6, 12, 16) = 48

अभीष्ट संख्याएँ 48k के रूप में होंगी, जहाँ k एक प्राकृत संख्या है।

k के लिए = 9, 48k = 48 × 9 = 432

k के लिए = 10, 48k = 48 × 10 = 480

k के लिए = 11, 48k = 48 × 11 = 528

k के लिए = 12, 48k = 48 × 12 = 576

∴ इन 4 संख्याओं यानि 432, 480, 528 और 576 का योग 2016 है।

दिया गया है:

6 घंटियों के बजने का अंतराल = क्रमशः 2, 4, 6, 8, 10 और 12 सेकंड

अवधारणा:

दो या दो से अधिक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य सबसे छोटा सार्व गुणज होता है

गणना:

माना घंटी बजने की कुल संख्या

2, 4, 6, 8, 10, और 12 का लघुत्तम समापवर्त्य = 120 सेकंड = \({120\over 60}\ =\ 2\ minutes \)

वे बजना शुरू करेंगी = 1 + \({30\over 2}\) = 1 + 15 = 16

∴ अभीष्ट परिणाम 16 होगा।