Identity Matrix MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Identity Matrix - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संकल्पना:

यदि A और B दो आव्यूह हैं इस प्रकार कि  A के कॉलम की संख्या B की पंक्तियों की  संख्या के बराबर है। यदि A = [aij] एक m × n आव्यूह है और B =[bij] एक n × p आव्यूह है, तो गुणन AB , m × p क्रम का परिणामी आव्यूह है और इसे इस प्रकार परिभाषित किया जाता है:

\({\left( {AB} \right)_{ij}} = \;\mathop \sum \limits_{k = 1}^n {a_{ik}} \times {b_{kj}}\forall \;i = 1,\;2, \ldots ,m\;and\;j = 1,\;2,\; \ldots .,\;p\)

गणना:

दिया गया है: A \(= \;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ 1}\\ 4&{ 6} \end{array}} \right]\)

यहाँ, हमें k के मान का पता लगाना है इस प्रकार कि \({A^2} = kA - 2I\)

\({A^2}\; = \;A.A\; = \;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ 1}\\ 4&{ 6} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ 1}\\ 4&{ 6} \end{array}} \right]\;\\ = \;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {1\left( 1 \right)\; + \;\left( { 1} \right)\left( 4 \right)}&{1\left( { 1} \right)\; + \;\left( { 1} \right)\left( { 6} \right)}\\ {4\left( 1 \right)\; + \;\left( { 6} \right)\left( 4 \right)}&{4\left( { 1} \right)\; + \;\left( { 6} \right)\left( { 6} \right)} \end{array}} \right]\; = \;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 5&{ 7}\\ 28&{ 40} \end{array}} \right]\)

\({A^2}\; = \;kA - 2I\)

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 5&{ 7}\\ 28&{ 40} \end{array}} \right]\; = \;k\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ 1}\\ 4&{ 6} \end{array}} \right] - 2\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&1 \end{array}} \right]\\= \;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {k - 2}&{ k}\\ {4k}&{ 6k - 2} \end{array}} \right]\)

चूँकि दोनों आव्यूह समान हैं,उनके संगत अवयव भी समान होगें।

संगत अवयवों की तुलना करने पर:

4k = 28 ⇒ k = 7

∴ k का मान 7 है।

अवधारणा:

तत्समक आव्यूह एक वर्ग आव्यूह है जिसके विकर्ण के सभी अवयव 1 होते हैं तथा शेष अन्य सभी अवयव शून्य होते हैं, तत्समक आव्यूह   कहलाता है। 

इस प्रकार, वर्ग आव्यूह  A = [\(a_{ij}\)], यदि \(a_{ij}=\left\{\begin{matrix}1,if \hspace{3mm} i= j \\ 0,if \hspace{3mm} i\neq j \end{matrix}\right.\)

उ.दा., \(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\)

किसी भी प्राकृतिक संख्या n के लिए, In = Iij]nneeeIⁿ_{\(I^n = I\)}

गणना:

यहाँ,  A² =I

साथ ही A और i क्रमविनिमेय हैं, इसलिए हम (a+ b)n के प्रसार का उपयोग करके (A + I)n का प्रसार कर सकते हैं।

∴ (A – I)3 + (A + I)3 – 7A

= A³ - 3A² + 3A - I³ + A³ + 3A² + 3A + I² - 7A

= 2A³ + 6A - 7A

= 2A² ⋅A + 6A - 7A

= 2I ⋅A + 6A - 7A

= 2A + 6A - 7A

= 8A - 7A

= A

अवधारणा:

तत्समक आव्यूह एक वर्ग आव्यूह है जिसके विकर्ण के सभी अवयव 1 होते हैं तथा शेष अन्य सभी अवयव शून्य होते हैं, तत्समक आव्यूह   कहलाता है। 

इस प्रकार, वर्ग आव्यूह  A = [\(a_{ij}\)], यदि \(a_{ij}=\left\{\begin{matrix}1,if \hspace{3mm} i= j \\ 0,if \hspace{3mm} i\neq j \end{matrix}\right.\)

उ.दा., \(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\)

किसी भी प्राकृतिक संख्या n के लिए, In = Iij]nneeeIⁿ_{\(I^n = I\)}

गणना:

यहाँ,  A² =I

साथ ही A और i क्रमविनिमेय हैं, इसलिए हम (a+ b)n के प्रसार का उपयोग करके (A + I)n का प्रसार कर सकते हैं।

∴ (A – I)3 + (A + I)3 – 7A

= A³ - 3A² + 3A - I³ + A³ + 3A² + 3A + I² - 7A

= 2A³ + 6A - 7A

= 2A² ⋅A + 6A - 7A

= 2I ⋅A + 6A - 7A

= 2A + 6A - 7A

= 8A - 7A

= A

अवधारणा:

तत्समक आव्यूह: एक वर्ग आव्यूह जिसके विकर्ण के सभी अवयव 1 होते हैं तथा शेष अन्य सभी अवयव शून्य होते हैं तत्समक आव्यूह कहलाता है।

इस प्रकार, वर्ग आव्यूह  A = [a_ij] जहाँ \(a_{ij}=\left\{\begin{matrix}1,if \hspace{3mm} i= j \\ 0,if \hspace{3mm} i\neq j \end{matrix}\right.\)

उदाहरण\(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \), \(\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\) क्रमशः कोटि 2 और 3 के तत्समक आव्यूह हैं।

गणना:

यहॉं, A = \([a_{ij}]_{2\times2} \), जहाँ \(a_{ij}=\left\{\begin{matrix}0,if \hspace{3mm} i= j \\ 1,if \hspace{3mm} i\neq j \end{matrix}\right. \)

∴ A = \(\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \)

∴  A² 

= A⋅ A

= \(\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}⋅\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\)

= \(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\)

= I

अवधारणा:

तत्समक आव्यूह: एक वर्ग आव्यूह जिसके विकर्ण के सभी अवयव '1' होते हैं तथा शेष अन्य सभी अवयव शून्य होते हैं, तत्समक आव्यूह कहलाता है। 

 

अत: वर्ग आव्यूह A = [\(a_{ij}\)] वर्ग आव्यूह है, यदि \(a_{ij}=\left\{\begin{matrix}1,if \hspace{3mm} i= j \\ 0,if \hspace{3mm} i\neq j \end{matrix}\right.\)

गणना:

यहां, A = \(\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right]\)

∴ A² = A⋅A

= \(\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right]\cdot\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right]\)

= \(\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right]\), जो कोटि 2 का तत्समक आव्यूह है।

 

अवधारणा:

पहचान आव्यूह के गुण:

यदि A, n × n कोटि का वर्ग आव्यूह है

• AI = IA = A
• In = I        (जहाँ n ∈ N)

 

गणना:

दिया हुआ है कि

A2 = I

अब, A3 + (A + I)2 - 9A - I2 - A2

= A2. A + A2 + I2 + 2AI - 9A - I2 - A2

= I. A + I + I + 2AI - 9A - I - I       [∵ A2 = I और AI = IA = A]

= AI + 2AI - 9A 

= 3AI - 9A

= 3A - 9A

= - 6A

अवधारणा:

तत्समक आव्यूह एक वर्ग आव्यूह है जिसके विकर्ण के सभी अवयव 1 होते हैं तथा शेष अन्य सभी अवयव शून्य होते हैं, तत्समक आव्यूह   कहलाता है। 

इस प्रकार, वर्ग आव्यूह  A = [\(a_{ij}\)], यदि \(a_{ij}=\left\{\begin{matrix}1,if \hspace{3mm} i= j \\ 0,if \hspace{3mm} i\neq j \end{matrix}\right.\)

उ.दा., \(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\)

किसी भी प्राकृतिक संख्या n के लिए, In = Iij]nneeeIⁿ_{\(I^n = I\)}

गणना:

यहाँ,  A² =I

साथ ही A और i क्रमविनिमेय हैं, इसलिए हम (a+ b)n के प्रसार का उपयोग करके (A + I)n का प्रसार कर सकते हैं।

∴ (A – I)3 + (A + I)3 – 7A

= A³ - 3A² + 3A - I³ + A³ + 3A² + 3A + I² - 7A

= 2A³ + 6A - 7A

= 2A² ⋅A + 6A - 7A

= 2I ⋅A + 6A - 7A

= 2A + 6A - 7A

= 8A - 7A

= A

संकल्पना: 

विकर्ण आव्यूह:

कोई भी वर्ग आव्यूह जिसमें सभी घटक शून्य होते हैं सिवाय प्रमुख विकर्ण के, विकर्ण आव्यूह कहलाता है।

अर्थात् A = [aij]n × n एक विकर्ण आव्यूह है यदि aij = 0 के लिए i ,j के बराबर नहीं है।

तत्समक आव्यूह:

एक विकर्ण आव्यूह जिसमें सभी प्रमुख विकर्ण घटक 1 के बराबर होते हैं, एक तत्समक आव्यूह कहलाता है। इसे एकक आव्यूह के रूप में भी जाना जाता है, जबकि n कोटि के एक तत्समक आव्यूह को I या I_n द्वारा निरूपित किया जाता है।

गणना:

दिया गया है: \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin\alpha }&{ - \cos \alpha }\\ {\cos\alpha }&{\sin \alpha } \end{array}} \right]\)

यहाँ, हमें α का मान इस प्रकार ज्ञात करना है कि A एक तत्समक आव्यूह है।

अर्थात् A = I

\(⇒ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin α }&{ - \cos α }\\ {\cosα }&{\sin α } \end{array}} \right] = \;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&1 \end{array}} \right]\)

⇒ sin α = 1,

⇒ cos α = 0

⇒ α = 90°

∴ आवश्यक मान 90° है।

संकल्पना:

यदि A और B दो आव्यूह हैं इस प्रकार कि  A के कॉलम की संख्या B की पंक्तियों की  संख्या के बराबर है। यदि A = [aij] एक m × n आव्यूह है और B =[bij] एक n × p आव्यूह है, तो गुणन AB , m × p क्रम का परिणामी आव्यूह है और इसे इस प्रकार परिभाषित किया जाता है:

\({\left( {AB} \right)_{ij}} = \;\mathop \sum \limits_{k = 1}^n {a_{ik}} \times {b_{kj}}\forall \;i = 1,\;2, \ldots ,m\;and\;j = 1,\;2,\; \ldots .,\;p\)

गणना:

दिया गया है: A \(= \;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ 1}\\ 4&{ 6} \end{array}} \right]\)

यहाँ, हमें k के मान का पता लगाना है इस प्रकार कि \({A^2} = kA - 2I\)

\({A^2}\; = \;A.A\; = \;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ 1}\\ 4&{ 6} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ 1}\\ 4&{ 6} \end{array}} \right]\;\\ = \;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {1\left( 1 \right)\; + \;\left( { 1} \right)\left( 4 \right)}&{1\left( { 1} \right)\; + \;\left( { 1} \right)\left( { 6} \right)}\\ {4\left( 1 \right)\; + \;\left( { 6} \right)\left( 4 \right)}&{4\left( { 1} \right)\; + \;\left( { 6} \right)\left( { 6} \right)} \end{array}} \right]\; = \;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 5&{ 7}\\ 28&{ 40} \end{array}} \right]\)

\({A^2}\; = \;kA - 2I\)

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 5&{ 7}\\ 28&{ 40} \end{array}} \right]\; = \;k\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ 1}\\ 4&{ 6} \end{array}} \right] - 2\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&1 \end{array}} \right]\\= \;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {k - 2}&{ k}\\ {4k}&{ 6k - 2} \end{array}} \right]\)

चूँकि दोनों आव्यूह समान हैं,उनके संगत अवयव भी समान होगें।

संगत अवयवों की तुलना करने पर:

4k = 28 ⇒ k = 7

∴ k का मान 7 है।

संकल्पना:

यदि A और B दो आव्यूह है इस प्रकार कि A के स्तंभों की संख्या B की पंक्तियों की संख्या के बराबर होती है। यदि A = [aij] एक m × n आव्यूह और B = [bij] एक n × p आव्यूह है,तो गुणनफल AB, m × p कोटि का परिणामी आव्यूह है और इसे निम्न रुप से परिभाषित किया जाता है:

\(\rm {\left( {AB} \right)_{ij}} = \;\mathop \sum \limits_{k = 1}^n {a_{ik}} \times {b_{kj}}\forall \;i = 1,\;2, \ldots ,m\;and\;j = 1,\;2,\; \ldots .,\;p\)

गणना:

दिया गया है: A \(= \;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ 2}\\ 4&{ 5} \end{array}} \right]\)

यहाँ, हमें k का मान इस प्रकार ज्ञात करना है कि \(\rm {A^2} = kA - 2I\)

\({A^2}\; = \;A.A\; = \;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ 2}\\ 4&{ 5} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ 2}\\ 4&{ 5} \end{array}} \right]\;\\ = \;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {2\left( 2 \right)\; + \;\left( { 2} \right)\left( 4 \right)}&{2\left( { 2} \right)\; + \;\left( { 2} \right)\left( { 5} \right)}\\ {4\left( 2 \right)\; + \;\left( { 5} \right)\left( 4 \right)}&{4\left( { 2} \right)\; + \;\left( { 5} \right)\left( { 5} \right)} \end{array}} \right]\; = \;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 12&{ 14}\\ 28&{ 33} \end{array}} \right]\)

\({A^2}\; = \;kA - 2I\)

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 12&{ 14}\\ 28&{ 33} \end{array}} \right]\; = \;k\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ 2}\\ 4&{ 5} \end{array}} \right] - 2\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&1 \end{array}} \right] \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 12&{ 14}\\ 28&{ 33} \end{array}} \right]\; \\= \;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {2k - 2}&{ 2k}\\ {4k}&{ 5k - 2} \end{array}} \right]\)

चूँकि दोनों आव्यूह समान हैं,उनके संगत घटक भी समान होगें। 

संगत घटकों की तुलना करने पर:

4k = 28 

⇒ k = 7

∴ k का मान 7 है।

अवधारणा:

तत्समक आव्यूह: एक वर्ग आव्यूह जिसके विकर्ण के सभी अवयव '1' होते हैं तथा शेष अन्य सभी अवयव शून्य होते हैं, तत्समक आव्यूह कहलाता है। 

 

अत: वर्ग आव्यूह A = [\(a_{ij}\)] वर्ग आव्यूह है, यदि \(a_{ij}=\left\{\begin{matrix}1,if \hspace{3mm} i= j \\ 0,if \hspace{3mm} i\neq j \end{matrix}\right.\)

गणना:

यहां, A = \(\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right]\)

∴ A² = A⋅A

= \(\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right]\cdot\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right]\)

= \(\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right]\), जो कोटि 2 का तत्समक आव्यूह है।

 

संकल्पना: 

विकर्ण आव्यूह:

कोई भी वर्ग आव्यूह जिसमें सभी घटक शून्य होते हैं सिवाय प्रमुख विकर्ण के, विकर्ण आव्यूह कहलाता है।

अर्थात् A = [aij]n × n एक विकर्ण आव्यूह है यदि aij = 0 के लिए i ,j के बराबर नहीं है।

तत्समक आव्यूह:

एक विकर्ण आव्यूह जिसमें सभी प्रमुख विकर्ण घटक 1 के बराबर होते हैं, एक तत्समक आव्यूह कहलाता है। इसे एकक आव्यूह के रूप में भी जाना जाता है, जबकि n कोटि के एक तत्समक आव्यूह को I या In द्वारा निरूपित किया जाता है।

गणना:

दिया गया है: \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin\alpha }&{ - \cos \alpha }\\ {\cos\alpha }&{\sin \alpha } \end{array}} \right]\)

यहाँ, हमें α का मान इस प्रकार ज्ञात करना है कि A एक तत्समक आव्यूह है।

अर्थात् A = I

\(⇒ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin α }&{ - \cos α }\\ {\cosα }&{\sin α } \end{array}} \right] = \;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&1 \end{array}} \right]\)

⇒ sin α = 1,

⇒ cos α = 0

⇒ α = 90°

∴ आवश्यक मान 90° है।

अवधारणा:

तत्समक आव्यूह: एक वर्ग आव्यूह जिसके विकर्ण के सभी अवयव 1 होते हैं तथा शेष अन्य सभी अवयव शून्य होते हैं तत्समक आव्यूह कहलाता है।

इस प्रकार, वर्ग आव्यूह  A = [a_ij] जहाँ \(a_{ij}=\left\{\begin{matrix}1,if \hspace{3mm} i= j \\ 0,if \hspace{3mm} i\neq j \end{matrix}\right.\)

उदाहरण\(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \), \(\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\) क्रमशः कोटि 2 और 3 के तत्समक आव्यूह हैं।

गणना:

यहॉं, A = \([a_{ij}]_{2\times2} \), जहाँ \(a_{ij}=\left\{\begin{matrix}0,if \hspace{3mm} i= j \\ 1,if \hspace{3mm} i\neq j \end{matrix}\right. \)

∴ A = \(\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \)

∴  A² 

= A⋅ A

= \(\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}⋅\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\)

= \(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\)

= I

अवधारणा:

पहचान आव्यूह के गुण:

यदि A, n × n कोटि का वर्ग आव्यूह है

• AI = IA = A
• In = I        (जहाँ n ∈ N)

 

गणना:

दिया हुआ है कि

A2 = I

अब, A3 + (A + I)2 - 9A - I2 - A2

= A2. A + A2 + I2 + 2AI - 9A - I2 - A2

= I. A + I + I + 2AI - 9A - I - I       [∵ A2 = I और AI = IA = A]

= AI + 2AI - 9A 

= 3AI - 9A

= 3A - 9A

= - 6A

अवधारणा:

तत्समक आव्यूह एक वर्ग आव्यूह है जिसके विकर्ण के सभी अवयव 1 होते हैं तथा शेष अन्य सभी अवयव शून्य होते हैं, तत्समक आव्यूह   कहलाता है। 

इस प्रकार, वर्ग आव्यूह  A = [\(a_{ij}\)], यदि \(a_{ij}=\left\{\begin{matrix}1,if \hspace{3mm} i= j \\ 0,if \hspace{3mm} i\neq j \end{matrix}\right.\)

उ.दा., \(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\)

किसी भी प्राकृतिक संख्या n के लिए, In = Iij]nneeeIⁿ_{\(I^n = I\)}

गणना:

यहाँ,  A² =I

साथ ही A और i क्रमविनिमेय हैं, इसलिए हम (a+ b)n के प्रसार का उपयोग करके (A + I)n का प्रसार कर सकते हैं।

∴ (A – I)3 + (A + I)3 – 7A

= A³ - 3A² + 3A - I³ + A³ + 3A² + 3A + I² - 7A

= 2A³ + 6A - 7A

= 2A² ⋅A + 6A - 7A

= 2I ⋅A + 6A - 7A

= 2A + 6A - 7A

= 8A - 7A

= A