खोखले गोले और ठोस गोले का जड़त्व आघूर्ण और द्रव्यमान बराबर है तो उनकी त्रिज्या का अनुपात क्या है?

अवधारणा:

जड़त्व आघूर्ण:

• एक स्थिर अक्ष के अनुरूप एक कठोर निकाय का जड़त्व आघूर्ण को निकाय का गठन करने वाले कणों के द्रव्यमान और घूर्णन अक्ष के बीच की दूरी के वर्ग के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया गया है।
• एक कण का जड़त्व आघूर्ण है-

I = mr2

जहां r = घूर्णन अक्ष से कण की लंबवत दूरी

• कई कणों (असतत वितरण) से बने निकाय का जड़त्व आघूर्ण है-

I = m1r12 + m2r22 + m3r32 + m4r42 + -------

व्याख्या:

दिया गया है:

I_s = I_h = I (मान लीजिये) और  ठोस गोले का द्रव्यमान = खोखले गोले का द्रव्यमान

• गोले के व्यास के अनुरूप द्रव्यमान 'M' और त्रिज्या 'R₁' के एक ठोस गोले का जड़त्व आघूर्ण इस प्रकार है-

\(⇒ I_s =\frac{2}{5}MR_1^2\)        -------- (1)

• गोले के व्यास के अनुरूप द्रव्यमान 'M' और त्रिज्या 'R₂' के एक खोखले गोले का जड़त्व आघूर्ण इस प्रकार है-

\(⇒ I_h =\frac{2}{3}MR_2^2\)        -------- (2)

समीकरण 1 और 2 को बराबर रखने पर-

⇒ Is = Ih

\(⇒ \frac{2}{5}MR_1^2=\frac{2}{3}MR_2^2\)

\(\Rightarrow \frac{R_2}{R_1}=\sqrt{\frac{3}{5}}\)