Question
Download Solution PDFमुख्य द्रव्यमान में स्प्रिंग के द्रव्यमान का 'n' गुना जोड़कर स्प्रिंग-द्रव्यमान निकाय की प्राकृतिक आवृत्ति की गणना के लिए स्प्रिंग के द्रव्यमान के प्रभाव पर विचार किया जा सकता है। 'n' का मान है:
Answer (Detailed Solution Below)
Detailed Solution
Download Solution PDFव्याख्या:
स्प्रिंग द्रव्यमान प्रणाली:
स्थिति 1: स्प्रिंग का द्रव्यमान नगण्य है
t = t0 पर, प्रणाली की ऊर्जा होगी
\(E = \frac{1}{2}k{x^2} + \frac{1}{2}m{v^2}\)
ऊर्जा संरक्षण प्रमेय के अनुसार:
\(\frac{{dE}}{{dt}} = 0\)
\(\frac{{dE}}{{dt}} = \frac{1}{2}\left( {k \times 2x\frac{{dx}}{{dt}}\;} \right) + \frac{1}{2}\left( {m \times 2 v \frac{{dv}}{{dt}}} \right)\)
\(kxv + mv\frac{{{d^2}x}}{{d{t^2}}} = 0\;\)
\(m\frac{{{d^2}x}}{{d{t^2}}} + kx = 0\)
इसे प्राकृतिक कंपन समीकरण से तुलना करने पर हमें मिलता है,
\({\omega _n} = \sqrt {\frac{k}{m}} \)
स्थिति 2: स्प्रिंग का भी द्रव्यमान है
मान लीजिये स्प्रिंग का द्रव्यमान ms है
\({\left( {KE} \right)_{spring}} = \frac{1}{2}\left( {\frac{{{m_s}}}{l}dy} \right){\left( {\frac{v}{l}y} \right)^2}\)
\({\left( {KE} \right)_{spring}} = \frac{1}{6}{m_s}{v^2}\)
t = t0 पर, प्रणाली की ऊर्जा होगी
\(E = \frac{1}{2}k{x^2} + \frac{1}{2}m{v^2} + \frac{1}{6}{m_s}{v^2}\)
\(E = \frac{1}{2}k{x^2} + \frac{1}{2}\left( {m + \frac{{{m_s}}}{3}} \right){v^2}\)
ऊर्जा संरक्षण प्रमेय के अनुसार:
\(\frac{{dE}}{{dt}} = 0\)
\(\frac{{dE}}{{dt}} = \frac{1}{2}\left( {k \times 2x\frac{{dx}}{{dt}}\;} \right) + \frac{1}{2}\left( {m + \frac{{{m_s}}}{3}} \right) \times 2v\frac{{dv}}{{dt}}\)
\(kxv + \left( {m + \frac{{{m_s}}}{3}} \right)v\frac{{{d^2}x}}{{d{t^2}}} = 0\)
\(\left( {m + \frac{{{m_s}}}{3}} \right)\frac{{{d^{2x}}}}{{d{t^2}}} + kx = 0\)
इसे प्राकृतिक कंपन समीकरण से तुलना करने पर हमें मिलता है,
\({\omega _n} = \sqrt {\frac{k}{{\left( {m + \frac{{{m_s}}}{3}} \right)}}} \)
अर्थात, जब प्राकृतिक आवृत्ति की गणना के लिए स्प्रिंग के द्रव्यमान को भी माना जाता है, तो स्प्रिंग-द्रव्यमान का 1/3 मुख्य द्रव्यमान में जोड़ा जाता है।
Last updated on May 26, 2025
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