मुख्य द्रव्यमान में स्प्रिंग के द्रव्यमान का 'n' गुना जोड़कर स्प्रिंग-द्रव्यमान निकाय की प्राकृतिक आवृत्ति की गणना के लिए स्प्रिंग के द्रव्यमान के प्रभाव पर विचार किया जा सकता है। 'n' का मान है:

व्याख्या:

स्प्रिंग द्रव्यमान प्रणाली:

स्थिति 1: स्प्रिंग का द्रव्यमान नगण्य है

t = t₀ पर, प्रणाली की ऊर्जा होगी

\(E = \frac{1}{2}k{x^2} + \frac{1}{2}m{v^2}\)

ऊर्जा संरक्षण प्रमेय के अनुसार:

\(\frac{{dE}}{{dt}} = 0\)

\(\frac{{dE}}{{dt}} = \frac{1}{2}\left( {k \times 2x\frac{{dx}}{{dt}}\;} \right) + \frac{1}{2}\left( {m \times 2 v \frac{{dv}}{{dt}}} \right)\)

\(kxv + mv\frac{{{d^2}x}}{{d{t^2}}} = 0\;\)

\(m\frac{{{d^2}x}}{{d{t^2}}} + kx = 0\)

इसे प्राकृतिक कंपन समीकरण से तुलना करने पर हमें मिलता है,

\({\omega _n} = \sqrt {\frac{k}{m}} \)

स्थिति 2: स्प्रिंग का भी द्रव्यमान है

मान लीजिये स्प्रिंग का द्रव्यमान m_s है

\({\left( {KE} \right)_{spring}} = \frac{1}{2}\left( {\frac{{{m_s}}}{l}dy} \right){\left( {\frac{v}{l}y} \right)^2}\)

\({\left( {KE} \right)_{spring}} = \frac{1}{6}{m_s}{v^2}\)

t = t₀ पर, प्रणाली की ऊर्जा होगी

\(E = \frac{1}{2}k{x^2} + \frac{1}{2}m{v^2} + \frac{1}{6}{m_s}{v^2}\)

\(E = \frac{1}{2}k{x^2} + \frac{1}{2}\left( {m + \frac{{{m_s}}}{3}} \right){v^2}\)

ऊर्जा संरक्षण प्रमेय के अनुसार:

\(\frac{{dE}}{{dt}} = 0\)

\(\frac{{dE}}{{dt}} = \frac{1}{2}\left( {k \times 2x\frac{{dx}}{{dt}}\;} \right) + \frac{1}{2}\left( {m + \frac{{{m_s}}}{3}} \right) \times 2v\frac{{dv}}{{dt}}\)

\(kxv + \left( {m + \frac{{{m_s}}}{3}} \right)v\frac{{{d^2}x}}{{d{t^2}}} = 0\)

\(\left( {m + \frac{{{m_s}}}{3}} \right)\frac{{{d^{2x}}}}{{d{t^2}}} + kx = 0\)

इसे प्राकृतिक कंपन समीकरण से तुलना करने पर हमें मिलता है,

\({\omega _n} = \sqrt {\frac{k}{{\left( {m + \frac{{{m_s}}}{3}} \right)}}} \)

अर्थात, जब प्राकृतिक आवृत्ति की गणना के लिए स्प्रिंग के द्रव्यमान को भी माना जाता है, तो स्प्रिंग-द्रव्यमान का 1/3 मुख्य द्रव्यमान में जोड़ा जाता है।