किसी बाहरी बिंदु P से वृत्त के बिंदु A और B पर स्पर्श रेखा को सीधी रेखाओं x2 - 3y2 - 2x + 1 = 0 के युग्म द्वारा दर्शाया जाता है। यदि O वृत्त का केंद्र है तो ∠ AOB होगा

संकल्पना:

1. संपर्क के बिंदु पर स्पर्शरेखा त्रिज्या के लंबवत होती है।

2. दो रेखाओं के बीच का कोण: प्रवणता m1 और m2 वाली रेखाओं के बीच का कोण निम्न द्वारा ज्ञात किया जाता है

\(\tan \theta = \;\left| {\frac{{{m_2} - {m_1}}}{{1 + \;{m_1}\;{m_2}}}} \right|\)

3. चतुर्भुज के आंतरिक कोणों का योग = 360° 

गणना:

दिया गया है, बिंदु A और B पर वृत्त की स्पर्श रेखा को सीधी रेखाओं PA और PB के युग्म द्वारा दर्शाया जाता है

x2 - 3y2 - 2x + 1 = 0 -----(1)

समीकरण (1) से

x2 - 3y2 - 2x + 1 = 0

⇒ (x - 1)2 = 3y2

⇒ x - 1 = ± √3y

इसलिए, स्पर्शरेखा PA और PB के समीकरण हैं

x + √3y - 1 = 0    ----(2)

x - √3y - 1 = 0    ----(3)

हम जानते हैं कि रेखा ax + by + c = 0 की प्रवणता -a/b है। इसलिए,

रेखा (2) और (3) की प्रवणता -1/√3 और 1/√3 है

इसलिए, स्पर्शरेखा PA और PB के बीच कोण

\(\theta \ =\ tan^{-1}[\frac{\frac{1}{\sqrt 3}\ -\ (\frac{-1}{\sqrt 3})}{1\ +\ (\frac{1}{\sqrt 3})(\frac{-1}{\sqrt 3})}]\)

\(⇒ \theta \ =\ tan^{-1}(\sqrt 3)\ =\ 60^∘\)

हम जानते हैं कि,

∠ O + ∠ A + ∠ P + ∠ B = 360∘ 

⇒ ∠ O = 360∘ - 180∘ - 60∘ 

⇒ ∠ O = 120∘

अत: विकल्प 4 सही है।