Tangents and Normals MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Tangents and Normals - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना

x² + y² - 2x + 4y - 4 = 0

केंद्र (1, -2), r = 3

2x - 3y + 5 = 0 के सापेक्ष (1, -2) का प्रतिबिंब

\(\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{-3}=\frac{-2(2+6+5)}{13}=-2\)

x = -3, y = 4

वृत्त 'C' का समीकरण

C : (x+3)² + (y- 4)² = 9

\(\ell(\operatorname{arcAB})=\frac{1}{6} \times 2 \pi \mathrm{r}\)

⇒ \(\mathrm{r} \theta=\frac{1}{6} \times 2 \pi \mathrm{r}\)

⇒ \(\theta=\frac{\pi}{3}\)

(α + 6)² + (β - 4)² = 27

⇒ \(\frac{(\alpha+3)^{2} \pm(\beta-4)^{2}=9}{(\alpha+6)^{2}-(\alpha+3)^{2}=18}\)

⇒ 6α = -9

⇒ \(\alpha=\frac{-3}{2}, \beta=\left(4-\frac{3 \sqrt{3}}{2}\right)\)

∴ \(\beta-\sqrt{3} \alpha\)

\(\left(4-\frac{3 \sqrt{3}}{2}\right)+\frac{3 \sqrt{3}}{2}\)

= 4

इसलिए, विकल्प 4 सही है। 

गणना

दिया गया है:

वृत्त S: \(x^2 + y^2 - 14x + 6y + 33 = 0\)

वृत्त S': \(x^2 + y^2 - a^2 = 0\), \(a \in \mathbb{N}\)

4 उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ।

1) केंद्र और त्रिज्याएँ ज्ञात कीजिए:

S: \(x^2 + y^2 - 14x + 6y + 33 = 0\)

केंद्र: \(C_1(7, -3)\)

त्रिज्या: \(r_1 = \sqrt{7^2 + (-3)^2 - 33} = \sqrt{49 + 9 - 33} = \sqrt{25} = 5\)

S': \(x^2 + y^2 - a^2 = 0\)

केंद्र: \(C_2(0, 0)\)

त्रिज्या: \(r_2 = \sqrt{a^2} = a\)

2) केंद्रों के बीच की दूरी:

\(C_1C_2 = \sqrt{(7-0)^2 + (-3-0)^2} = \sqrt{49 + 9} = \sqrt{58}\)

3) 4 उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं के लिए, \(C_1C_2 > r_1 + r_2\):

⇒ \(\sqrt{58} > 5 + a\)

⇒ \(a < \sqrt{58} - 5\)

⇒ \(a < 7.61 - 5\)

⇒ \(a < 2.61\)

4) साथ ही, \(r_1 \ne r_2\), इसलिए \(a \ne 5\) है। 

5) चूँकि \(a \in \mathbb{N}\), \(a\) के संभावित मान 1 और 2 हैं।

∴ \(a\) के मानों की संभावित संख्या 2 है।

इसलिए, विकल्प 4 सही है। 

\((a, f(a))\equiv r\)

f'(x) f(x) का अवकलज है, स्पर्श रेखा का समीकरण

\( (y - f(a)) = f'(a) (x - a) \)

\(x = 0\) रखने पर,

\( y - f(a) = -af'(a) \)

\( y = f(a) - af'(a) \)

\( y_{p} = (0, f(a) - af'(a)) \)

\( py_{p} = \sqrt {a^{2} + (af'(a))^{2}} = 1 \)

\( a^{2} + a^{2} (f'(a))^{2} = 1 \)

\( (f'(a))^{2} = \dfrac {1 - a^{2}}{a^{2}} \)

\( \int (f'(x)) = \pm \int \sqrt { \dfrac {1 - x^{2}}{x^{2}} } \)

\( \sqrt {1 - x^{2}} = t \) रखने पर,

\( \Rightarrow y = \pm \int \dfrac {-t^{2} dt}{1 - t^{2}} = \pm \left ( t - \dfrac {1}{2} \ln \left | \dfrac {1 + t}{1 - t} \right | \right ) + c = \pm \left ( t - \dfrac {1}{2} \ln \dfrac {(1 + t)^{2}}{1 - t^{2}} \right ) + c = \pm \left ( \sqrt {1 - x^{2}} - \ln \dfrac {1 + \sqrt {1 - x^{2}}}{x} \right ) + c \)

\( \Rightarrow \) \( x = 1 \)  रखने पर, \( y = 0 \Rightarrow c = 0 \)

गणना

बिंदु \( (a, a) \) वृत्त \( (1, 1), 2\sqrt { 2 } \) के बाहर स्थित है।

\( \therefore S' > 0 \)

या \( 2a^{2} - 4a - 6 > 0 \) या \( a^{2} - 2a - 3 > 0 \)

\( (a + 1)(a - 3) > 0 \)

\( \therefore a < -1 \) या \( a > 3 \)

यदि \( \theta \) स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण है, तो आकृति से

\( \tan \dfrac { \theta }{ 2 } = \dfrac { r }{ \sqrt { S' }} = \dfrac { 2\sqrt { 2 }}{ \sqrt { 2a^{2} - 4a - 6 }} (g) ..... (2) \)

चूँकि \( \dfrac { \pi }{ 3 } < \theta < \pi \Rightarrow \dfrac { \pi }{ 6 } < \dfrac { \theta }{ 2 } < \dfrac { \pi }{ 2 } \)

\( \tan \dfrac { \pi }{ 6 } < \tan \dfrac { \theta }{ 2 } < \tan \dfrac { \pi }{ 2 } \)

\( \therefore \tan \dfrac { \theta }{ 2 } \) \( \left ( \dfrac { 1 }{ \sqrt { 3 }}, \infty \right ) \) में स्थित है।

\( \therefore \dfrac { 2\sqrt { 2 }}{ \sqrt { 2a^{2} - 4a - 6 }} > \dfrac { 1 }{ \sqrt { 3 }} \) \( (2) \) द्वारा

या \( a^{2} - 2a - 15 < 0 \) या \( (a + 3)(a - 5) < 0 \)

\( \therefore -3 < a < 5 .....(3) \)

अतः \( (1) \) और \( (3) \) से, हमें प्राप्त होता है

\( a \epsilon (-3, -1) \cup (3, 5) \)

अतः विकल्प 4 सही है। 

संकल्पना:

वक्र y = f(x) के लिए स्पर्श रेखा का ढलान m = \(\rm dy\over dx\) है। 

लम्बवत का ढलान = \(\rm -{1\over m}\) = \(\rm -{1\over {dy\over dx}}\)

गणना:

दिया गया है वक्र y2 - 3x3 + 2 = 0

x के संबंध में समीकरण का अवकलन करने पर 

⇒ 2y\(\rm dy\over dx\) - 9x2 + 0 = 0

⇒ 2y   = 9x2

(1, -1) पर ढलान 

2(-1) \(\rm dy\over dx\) = 9 (1)

⇒ -2\(\rm dy\over dx\) = 9

⇒ \(\rm dy\over dx\) = -4.5

स्पर्श रेखा का ढलान (m) = \(\rm {dy\over dx}\)

∴ m = -4.5

संकल्पना:

यदि बिंदु वृत्त के अंदर है तो किसी भी स्पर्श रेखा को नहीं खिंचा जा सकता है।

यदि बिंदु वृत्त पर है तो केवल एक स्पर्श रेखा को खिंचा जा सकता है।

यदि बिंदु वृत्त के बाहर है तो अधिकतम दो स्पर्श रेखाओं को वृत्त पर खिंचा जा सकता है।

गणना:

दिया गया बिंदु (2, 6) और वृत्त का समीकरण x2 + y2 = 40 है।

अब, x2 + y2 - 40 = 0

इस समीकरण में (2, 6) रखने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

22 + 62 – 40 = 4 + 36 – 40 = 40 – 40 = 0

इसलिए, बिंदु (2, 6) वृत्त पर है।

अतः केवल एक स्पर्श रेखा को खिंचा जा सकता है। 

अवधारणा:

वक्र के लिए स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात करने के चरण:

f(x) का पहला अवकलज ज्ञात कीजिए। 

स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात करने के लिए बिंदु-ढलान सूत्र का प्रयोग कीजिए। 

बिंदु-ढलान सामान्य रूप है: y - y₁=m(x - x₁), जहाँ m = स्पर्श रेखा की ढलान = \(\rm \frac {dy}{dx}\) 

गणना:

दिया गया वक्र है: x3 + y2 + 3y + x = 0

x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

3x² + 2y\(\rm dy\over dx\) + 3\(\rm dy\over dx\) + 1 = 0

(2y + 3)\(\rm dy\over dx\) = -3x² - 1

\(\rm dy\over dx\) = \(\rm -{3x^2+1\over2y+3}\)

(2, -1) पर 

\(\rm dy\over dx\) = \(\rm -{3(2)^2+1\over2(-1)+3}\)

\(\rm dy\over dx\) = \(-{12+1\over 1}\) = -13

स्पर्श रेखा का समीकरण निम्नलिखित है:

(y - (-1)) = -13(x - 2)

y + 1 = -13x + 26

y + 13x - 25 = 0

दिया गया है:

दो वृत्त एक दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श कर रहे हैं और जिनकी त्रिज्याएँ 4 और 6 सेमी हैं।

प्रयुक्त सूत्र:

उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा की लंबाई = (केंद्र से केंद्र की त्रिज्या का योग)² - (c1 -  c2)2

गणना:

c1 = 6 सेमी और c2 = 4 सेमी

PQ स्पर्शरेखा की लंबाई है।

PQ = √(6 + 4)2 - (6 - 4)2

⇒ PQ = √(100 - 4)

⇒ PQ = √96

⇒ PQ = 4√6

∴ स्पर्श रेखा की लम्बाई 4√6 है।

अवधारणा :

यदि रेखा y = mx + c वृत्त x2 + y2 = a2  की स्पर्श रेखा है

तो c2 = ± a2  (1 + m2)

m के संदर्भ में स्पर्शरेखा

वृत्त की स्पर्श रेखा x2 + y2 + = a2 की प्रवणता के पदों में समीकरण ज्ञात करना

माना वृत्त का समीकरण x2 + y2 + = a2      ----(1)

माना (1) की स्पर्श रेखा का समीकरण y = mx + c ---- (2) है

(1) और (2) को एक साथ हल करने पर हमें x2 + (mx + c)2 = a2  प्राप्त होता है

या (1 + m2) x2 + 2mcx + ( c2 - a2) = 0      ----(3)

(2) यदि (3) के समान मूल हों तो (1) की स्पर्श रेखा है।

यानी 4m2c2 - 4 (1 + m2) (c2 -a2) = 0

[∵ सारणिक = 0]

या m2c2 - c2 + a2 - m2c2 + m2a2 =0 या c2 = a2 (1 + m2)  ± a  \(\sqrt {1 + {m^2}} \)

(2) में प्रतिस्थापित करने पर हम देखते हैं कि (1) की स्पर्श रेखा का समीकरण है

\(y = mx + a\sqrt {1 + {m^2}} or\,y = mx - a\sqrt {1 + {m^2}} \)

m का मान जो भी हो।

प्रेक्षण : इससे यह भी पता चलता है कि y = mx +c x2 + y2 = a2 की स्पर्श रेखा है, यदि दोनों में से कोई एक:

\(C = a\sqrt {1 + {m^2}} ~or~\,C = - a\sqrt {1 + {m^2}} \)

जो स्पर्शोन्मुख स्थिति है।

संकल्पना:

दो वृत्तों के केंद्रों के बीच की दूरी उनकी त्रिज्या के अंतर की तुलना में कम है, तो यहाँ कोई उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा नहीं है। 

गणना:

पहले वृत्त का समीकरण x2 + y2   ​= 16 है जिसे निम्न रूप में पुनः लिखा जा सकता है: x2 + y2  ​= 4²

इसलिए, पहले वृत्त का केंद्र (0,0) और त्रिज्या = 4 

दूसरे वृत्त का समीकरण x2 + y2 - 2y = 0 है जिसे निम्न रूप में पुनः लिखा जा सकता है: x2 + (y-1)² = 1² 

इसलिए, दूसरे वृत्त का केंद्र: (0,1) और त्रिज्या = 1 है। 

इसलिए, केंद्रों के बीच की दूरी \(d = \sqrt {{0^2} + {1^2}} = 1\)

दो वृत्तों की त्रिज्या के बीच का अंतर = |4 - 1| = 3

चूँकि हम देख सकते हैं कि, केंद्रों के बीच की दूरी < उनके त्रिज्या का अंतर

हम यह भी जानते हैं कि यदि दो वृत्त के केंद्रों के बीच की दूरी उनकी त्रिज्या के अंतर की तुलना में कम है, तो यहाँ कोई उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा नहीं है। 

इसलिए, दो दिए गए वृत्तों के बीच की कोई उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा नहीं है। 

अतः विकल्प D सही उत्तर है। 

संकल्पना:

वृत्त x² + y² = a²  के बाहरी बिंदु (x1, y1) से स्पर्श रेखा की लम्बाई को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है,\(\rm \sqrt{x_1^2+y_1^2-a^2}\)

गणना:

दिया गया है: वृत्त का समीकरण 

\(\rm 2x^2+2y^2=8\)

⇒ \(\rm x^2+y^2=4\)

बाहरी बिंदु (5, 2)

∴ स्पर्श रेखा की लम्बाई = \(\rm \sqrt{(5)^2+(2)^2-4}=\sqrt{25+4-4}=5\) इकाई

अतः विकल्प (3) सही है।

संकल्पना:

केंद्र (a,b) और त्रिज्या r वाले वृत्त का समीकरण निम्न है

(x - a)2 + (y - b)2 = r2 

जिन बिंदुओं से होकर वृत्त गुजरता है वे इस समीकरण को संतुष्ट करते हैं।

गणना:

माना वृत्त का समीकरण

(x - a)² + (y - b)² = r² __(1)

जैसे ही वृत्त मूल बिन्दु से होकर गुजरता है,

⇒ (0 - a)2 + (0 - b)2 = r2 

⇒  r2 = a2 + b2 

इसे (1) में रखकर,

वृत्त का समीकरण बन जाता है  (x - a)2 + (y - b)2 = a2 + b2 __(2)

चूँकि वृत्त निर्देशांक अक्षों पर धनात्मक अंतःखंड 4 और 6 बना रहा है,,

⇒वृत्त (4,0) और (0,6) से होकर गुजरता है

(4,0) को (2) में रखें

⇒ (4 - a)2 + (0 - b)2 = a2 + b2

⇒ 16 - 8a + a2 + b2 = a2 + b2

⇒ 16 = 8a या a = 2

और (0,6) को (2) में रखने पर,

⇒ (0 - a)2 + (6 - b)2 = a2 + b2

⇒ a2 + 36 - 12b + b2 = a2 + b2

⇒ 36 = 12b या b = 3

अत: वृत्त का केंद्र = (2,3)

विकल्पों में से, यह रेखा 3x − 4y + 6 = 0 से होकर गुजरती है
∴ सही विकल्प (3) है।

अवधारणा:

किसी भी बिंदु (x, y) पर वक्र की स्पर्शरेखा की ढलान \(\rm\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}\) द्वारा दी जाती है।

गणना:

हम जानते हैं कि स्पर्शरेखा की ढलान,

\(\rm\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}\) = \(\rm \frac{3x}{y^{2}}\)

⇒ y2 dy = 3x dx 

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर, हम प्राप्त करते हैं

\(\rm \int y^{2}dy = \int 3x \ dx\)

⇒ \(\rm \frac{y^{3}}{3} = \frac{3}{2}x^{2} +C\) .... (i)

दिया गया है कि वक्र बिंदु (-2, 3) से होकर गुजरता है, इस प्रकार, x = -2 और y = 3 को (i) रखने पर, हम प्राप्त करते हैं

\(\rm \frac{27}{3} = \frac{12}{2} + C\)

 ⇒ C = 3 

C = 3 को (i) में रखने पर, हम प्राप्त करते हैं

\(\rm \frac{y^{3}}{3} = \frac{3}{2}x^{2} +3\) है

वक्र का आवश्यक समीकरण है।

सही विकल्प 2 है।

संकल्पना:

अंतराल (a, b) में वक्र y(x) की लंबाई (L) इसप्रकार दी गई है:

\(L = \mathop \smallint \limits_a^b \sqrt {\left[ {1 + {{\left( {\frac{{dy}}{{dx}}} \right)}^2}} \right]dx } \) -----(1)​​

गणना:

दिया हुआ:

y(x) = x3/2

(a, b) = (0, 1)

\(\frac{{dy\left( x \right)}}{{dx}} = \frac{3}{2}\;{x^{\frac{1}{2}}}\)

समीकरण (1) से

\(I = \mathop \smallint \limits_a^b \sqrt {\left[ {1 + \;\left( {\frac{9}{4}x} \right)} \right]} dx\)

\( = \frac{1}{2}\mathop \smallint \limits_0^1 \sqrt {\left( {4 + 9x} \right).dx} \)

माना कि, u = 4 + 9x

\(\frac{{\partial u}}{{\partial x}} = 9 = \frac{1}{9}\smallint du = dx\)

\(L = \left( {\frac{1}{2}} \right)\left( {\frac{1}{9}} \right)\mathop \smallint \limits_4^{13} \left( {\sqrt u } \right).du\)

\(L = \;\left( {\frac{1}{2}} \right)\left( {\frac{1}{9}} \right)\left( {\frac{2}{3}} \right){\left[ {{4^{\frac{3}{2}}}} \right]_4}^{13}\)

\(L = \frac{1}{{27}}[\left( {13{)^{\frac{3}{2}}} - {{\left( 4 \right)}^{\frac{3}{2}}}} \right]\)

\(L = \frac{1}{{27}}\left( {{{\left( {13} \right)}^{\frac{3}{2}}} - 8} \right)\)