यदि एक सरल लोलक के गोलक का द्रव्यमान बढ़ा दिया जाए तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही है?

संकल्पना:

सरल लोलक:

• जब एक बिंदु द्रव्यमान एक अविभाज्य तार से जुड़ा होता है और निश्चित समर्थन से निलंबित होता है तो इसे एक सरल लोलक कहा जाता है।
• एक सरल लोलक के आवर्तकाल को एक पूर्ण दोलन को समाप्त करने के लिए लोलक द्वारा लिए गए समय के रूप में परिभाषित किया गया है।

\(⇒ T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}\)

• उपरोक्त सूत्र केवल छोटे कोणीय विस्थापन के लिए मान्य है।
• चूँकि गोलक की गति L लंबाई के वृत्त के अनुदिश है और केंद्र समर्थन बिंदु पर है, अरीय त्वरण इस प्रकार दिया गया है,

⇒ aR = ω2L

• अरीय त्वरण नेट अरीय बल T' - mg.cos द्वारा प्रदान किया जाता है।
• स्पर्शरेखा त्वरण mg.sinθ द्वारा प्रदान किया जाता है।
• समर्थन के बारे में टोक़ पूरी तरह से एक बल के स्पर्शरेखा घटक द्वारा प्रदान किया जाता है और इसे इस प्रकार दिया जाता है,

⇒ τ = -L.(mg.sin θ)

• ऋणात्मक चिन्ह दर्शाता है कि यह प्रत्यानयन बलाघूर्ण है जो कोणीय विस्थापन को कम करता है।

जहां, T = दोलन का आवर्तकाल, L = लोलक की लंबाई, m = गोलक का द्रव्यमान, θ = ऊर्ध्वाधर अक्ष के साथ तार द्वारा बनाया गया कोण और g = गुरुत्वाकर्षण त्वरण

व्याख्या:

• हम जानते हैं कि एक सरल लोलक का आवर्तकाल इस प्रकार दिया जाता है,

\(⇒ T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}\)     -----(1)

•  समीकरण 1 से यह स्पष्ट है कि एक सरल लोलक का आवर्तकाल गोलक के द्रव्यमान से स्वतंत्र होता है।
• अतः जब एक सरल लोलक के गोलक का द्रव्यमान बढ़ा दिया जाता है, तो उसका आवर्तकाल नहीं बदलेगा।
• हम जानते हैं कि समर्थन के बारे में एक सरल लोलक के लिए बहाल टोक़ इस प्रकार दिया गया है,

⇒ τ = -L.(mg.sin θ)

⇒ τ ∝ m     -----(2)

जहां, T = दोलन का आवर्तकाल, L = लोलक की लंबाई, m = गोलक का द्रव्यमान, θ = ऊर्ध्वाधर अक्ष के साथ तार द्वारा बनाया गया कोण और g = गुरुत्वाकर्षण त्वरण

• समीकरण 2 से यह स्पष्ट है कि एक सरल लोलक का प्रत्यावर्तन बल आघूर्ण गोलक के द्रव्यमान के समानुपाती होता है।
• इसलिए यदि एक सरल लोलक के गोलक का द्रव्यमान बढ़ा दिया जाए, तो उसका प्रत्यानयन बलाघूर्ण भी बढ़ जाएगा। अत: विकल्प 3 सही है।

अतिरिक्त जानकारी

• एक सरल लोलक के आयाम को साम्य अवस्था से एक तरफ तक लोलक द्वारा तय की गई अधिकतम दूरी के रूप में परिभाषित किया जाता है।
• एक सरल लोलक की लंबाई को निलंबन के बिंदु से गोलक के केंद्र के बीच की दूरी के रूप में परिभाषित किया जाता है।
• स्पर्शरेखा त्वरण के रूप में दिया जाता है,

\(\Rightarrow \alpha=-\frac{mgL}{I}\sinθ=-\frac{g}{L}\sinθ\)

 जहां I = जडत्व आघूर्ण, और θ = ऊर्ध्वाधर के साथ तार द्वारा बनाया गया कोण

• अब यदि θ छोटा है, तो sin θ का अनुमान θ से लगाया जा सकता है और स्पर्शरेखा त्वरण इस प्रकार दिया जाता है,

\(\Rightarrow \alpha=-\frac{mgL}{I}θ=-\frac{g}{L}θ\)