चित्र (A) में, द्रव्यमान '2m' द्रव्यमान 'm' पर स्थिर है, जो स्प्रिंग स्थिरांक k के दो स्प्रिंग से जुड़ा है। चित्र (B) में, द्रव्यमान 'm' स्प्रिंग स्थिरांक 'k' और '2k' के दो स्प्रिंग से जुड़ा है। यदि (A) और (B) में द्रव्यमान 'm' को क्षैतिज रूप से 'x' दूरी तक विस्थापित किया जाता है और फिर छोड़ा जाता है, तो (A) और (B) के संगत समय अवधि T1 और T2 निम्नलिखित संबंध का पालन करते हैं।

अवधारणा:

सरल आवर्त गति (SHM): स्प्रिंग से जुड़े और अपनी साम्यावस्था से विस्थापित द्रव्यमान की गति को सरल आवर्त गति (SHM) के रूप में वर्णित किया जा सकता है।

SHM की आवृत्ति T सूत्र द्वारा दी गई है:

सूत्र: \(( T = 2\pi \sqrt{\frac{m_{\text{eff}}}{k_{\text{eff}}}} )\)

जहां:

• \(m_{\text{eff}} \) = प्रभावी द्रव्यमान।
• \( k_{\text{eff}} \) = प्रभावी स्प्रिंग स्थिरांक।

गणना:

सिस्टम (A) के लिए:

सिस्टम में द्रव्यमान m होता है जिस पर अतिरिक्त द्रव्यमान 2m स्थिर होता है, और यह दोनों तरफ स्प्रिंग स्थिरांक k के दो स्प्रिंग से जुड़ा होता है।

• सिस्टम का प्रभावी द्रव्यमान द्रव्यमानों का योग है:\( m_{\text{eff}} = m + 2m = 3m \)
• चूँकि दो स्प्रिंग समानांतर में जुड़े हुए हैं (दोनों द्रव्यमान m पर एक साथ कार्य करते हैं), प्रभावी स्प्रिंग स्थिरांक है: \(( k_{\text{eff}} = k + k = 2k ).\)
• इस सिस्टम के लिए समय अवधि ( T₁) है: \( T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{3m}{2k}} \)

सिस्टम (B) के लिए:

सिस्टम में द्रव्यमान m होता है जो दोनों तरफ स्प्रिंग स्थिरांक k और 2k के दो स्प्रिंग से जुड़ा होता है।

• चूँकि दो स्प्रिंग समानांतर में जुड़े हुए हैं, प्रभावी स्प्रिंग स्थिरांक है: \( k_{\text{eff}} = k + 2k = 3k \)
• प्रभावी द्रव्यमान m रहता है।
• इस सिस्टम के लिए समय अवधि T₂ है: \( T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{3k}} \)

⇒ \(\frac{T_1}{T_2}=\frac{3}{\sqrt{2}}\)

∴ सही विकल्प 1 है