एक बीमा कंपनी ने 2000 स्कूटर चालक, 4000 कार चालक और 6000 ट्रक चालक का बीमा किया। एक स्कूटर चालक, कार चालक और ट्रक चालक वाली एक दुर्घटना की प्रायिकता क्रमशः  0.01, 0.03 और 0.15 हैं। एक बीमाकृत व्यक्ति की दुर्घटना होती है। तो प्रायिकता क्या है कि व्यक्ति एक स्कूटर चालक है?

संकल्पना:

माना कि A₁, A₂, …. , A_nप्रतिदर्श समष्‍टि S की पारस्परिक रूप से विशिष्ट और पूर्ण घटना है और A वह घटना है जो किसी घटना के साथ हो सकता है, तो 

• \({\rm{P}}\left( {\frac{{{{\rm{A}}_{\rm{i}}}}}{{\rm{A}}}} \right) = \frac{{{\rm{P}}\left( {{{\rm{A}}_{\rm{i}}}} \right){\rm{P}}\left( {\frac{{\rm{A}}}{{{{\rm{A}}_{\rm{i}}}}}} \right)}}{{\mathop \sum \nolimits_{{\rm{i}} = 1}^{\rm{n}} {\rm{P}}\left( {{{\rm{A}}_{\rm{i}}}} \right){\rm{P}}\left( {\frac{{\rm{A}}}{{{{\rm{A}}_{\rm{i}}}}}} \right)}}\)

गणना:

माना कि E घटना है कि व्यक्ति की दुर्घटना होती है। 

माना कि E₁ स्कूटर चालक है, E₂ एक कार चालक है और E₃ एक ट्रक चालक है।

P (E₁) = 2000/12000 = 1/6

P (E₂) = 4000/12000 = 1/3

P (E₃) = 6000/12000 = 1/2

साथ ही,

P (E|E₁) = उस घटना की प्रायिकता है जिसमें स्कूटर चालक दुर्घटना में शामिल है। = 0.01

P (E|E₂) = उस घटना की प्रायिकता है जिसमें कार चालक दुर्घटना में शामिल है। = 0.03

P (E|E₃) = उस घटना की प्रायिकता है जिसमें ट्रक चालक दुर्घटना में शामिल है। = 0.15

बेयस प्रमेय का प्रयोग करके,

वह प्रायिकता जिसमें प्राप्त संख्या वास्तव में चार है। 

\({\rm{P}}\left( {{\rm{E}}1{\rm{|E}}} \right) = \frac{{{\rm{P}}\left( {{\rm{E}}1} \right){\rm{P}}\left( {{\rm{E|E}}1} \right)}}{{{\rm{P}}\left( {{\rm{E}}1} \right){\rm{P}}\left( {{\rm{E|E}}1} \right) + {\rm{\;P}}\left( {{\rm{E}}2} \right){\rm{P}}\left( {{\rm{E|E}}2} \right) + \; + {\rm{\;P}}\left( {{\rm{E}}3} \right){\rm{P}}({\rm{E}}|{\rm{E}}3)}}\)

\(\Rightarrow {\rm{P}}\left( {{\rm{E}}1{\rm{|E}}} \right) = \frac{{\frac{1}{6}{\rm{\;}} \times {\rm{\;}}0.01}}{{\frac{1}{6} \times {\rm{\;}}0.01 + \frac{1}{3}{\rm{\;}} \times {\rm{\;}}0.03{\rm{\;}} + {\rm{\;}}\frac{1}{2}{\rm{\;}} \times {\rm{\;}}0.15{\rm{\;}}}} = \frac{1}{{52}}\)