Baye's Theorem MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Baye's Theorem - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना

E₁ : थैला B₁ चुना गया

\(\begin{array}{lll} \mathrm{B}_{1} & \mathrm{~B}_{2} & \mathrm{~B}_{3} \\ 6 \mathrm{~W} 4 \mathrm{~B} & 4 \mathrm{~W} 6 \mathrm{~B} & 5 \mathrm{~W} 5 \mathrm{~B} \end{array}\)

E₂ : थैला B₂ चुना गया

E₃ : थैला B₃ चुना गया

A : निकाली गई गेंद सफ़ेद है

हमें \(P\left(\frac{E_{2}}{A}\right)\) ज्ञात करना है:

\(P\left(\frac{E_{2}}{A}\right)=\frac{P\left(E_{2}\right) P\left(\frac{A}{E_{2}}\right)}{P\left(E_{1}\right) P\left(\frac{A}{E_{1}}\right)+P\left(E_{2}\right) P\left(\frac{A}{E_{2}}\right)+P\left(E_{3}\right) P\left(\frac{A}{E_{3}}\right)}\)

= \(\frac{\frac{1}{3} \times \frac{4}{10}}{\frac{1}{3} \times \frac{6}{10}+\frac{1}{3} \times \frac{4}{10}+\frac{1}{3} \times \frac{5}{10}}=\frac{4}{15}\)

इसलिए, विकल्प 2 सही है। 

प्रयुक्त अवधारणा:

सप्रतिबंध प्रायिकता: P(A|B) = \(\frac{P(A \cap B)}{P(B)}\)

बेयस प्रमेय: P(A|B) = \(\frac{P(B|A) P(A)}{P(B)}\)

गणना:

दिया गया है:

A की सत्य बोलने की प्रायिकता = \(\frac{4}{5}\)

एक सिक्का उछाला जाता है। A रिपोर्ट करता है कि एक चित आया है।

मान लीजिए H वह घटना है जिसमें चित आता है।

मान लीजिए R वह घटना है जिसमें A रिपोर्ट करता है कि एक चित आया है।

P(H) = \(\frac{1}{2}\) (चित आने की प्रायिकता)

P(¬H) = \(\frac{1}{2}\) (चित नहीं आने, अर्थात, पट की प्रायिकता)

P(R|H) = \(\frac{4}{5}\) (यह प्रायिकता कि A चित रिपोर्ट करता है, दिया गया है कि चित था - A सत्य बोलता है)

P(R|¬H) = \(1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}\) (यह प्रायिकता कि A चित रिपोर्ट करता है, दिया गया है कि पट था - A झूठ बोलता है)

P(R) = P(R|H)P(H) + P(R|¬H)P(¬H)

P(R) = \(\frac{4}{5} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{4}{10} + \frac{1}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}\)

बेयस प्रमेय का उपयोग करने पर:

P(H|R) = \(\frac{P(R|H)P(H)}{P(R)}\)

P(H|R) = \(\frac{\frac{4}{5} \times \frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}\)

P(H|R) = \(\frac{4}{5}\)

इसलिए, विकल्प 2 सही है। 

दिया गया है:

3 कंपनियों से रेफ्रिजरेटर: C1 (25%), C2 (35%), C3 (40%).

दोषपूर्ण प्रतिशत: C1 (3%), C2 (2%), C3 (1%).

प्रयुक्त अवधारणा:

बेज़ प्रमेय: \(P(A|B) = \frac{P(B|A) \times P(A)}{P(B)}\)

जहाँ \(P(A|B)\), B दिए जाने पर A की प्रायिकता है, \(P(B|A)\), A दिए जाने पर B की प्रायिकता है, \(P(A)\), A की प्रायिकता है, और \(P(B)\), B की प्रायिकता है।

गणना:

मान लीजिए D एक घटना है कि एक रेफ्रिजरेटर दोषपूर्ण है।

\(P(C1) = 0.25\)

\(P(C2) = 0.35\)

\(P(C3) = 0.40\)

\(P(D|C1) = 0.03\)

\(P(D|C2) = 0.02\)

\(P(D|C3) = 0.01\)

\(P(D) = P(D|C1)P(C1) + P(D|C2)P(C2) + P(D|C3)P(C3)\)

\(P(D) = (0.03 \times 0.25) + (0.02 \times 0.35) + (0.01 \times 0.40)\)

\(P(D) = 0.0075 + 0.0070 + 0.0040 = 0.0185\)

अब, बेज़ प्रमेय का उपयोग करने पर:

\(P(C2|D) = \frac{P(D|C2) \times P(C2)}{P(D)}\)

\(P(C2|D) = \frac{0.02 \times 0.35}{0.0185}\)

\(P(C2|D) = \frac{0.0070}{0.0185}\)

\(P(C2|D) = \frac{70}{185} = \frac{14}{37}\)

इसलिए, विकल्प 3 सही है। 

अवधारणा:

मान लें कि E ₁ , E ₂ , …..,En एक यादृच्छिक प्रयोग से जुड़ी n परस्पर अपवर्जी और समग्र घटनाएँ हैं, और S को प्रतिदर्श समष्टि मान लें। मान लें कि A एक ऐसी घटना है जो E₁ या E₂ या … या En में से किसी एक के साथ इस प्रकार घटित होती है कि P(A) ≠ 0 है। फिर

\(P\left( {{E_i}\;|\;A} \right) = \frac{{P\left( {{E_i}} \right)\; \times \;P\left( {A\;|\;{E_i}} \right)}}{{\mathop \sum \nolimits_{i\; = 1}^n P\left( {{E_i}} \right) \times P\left( {A\;|\;{E_i}} \right)}},\;i = 1,\;2,\; \ldots .\;,\;n\)

गणना:

E₁ = प्लांट I टेलीविजन बनाता है।

E₂ = प्लांट II टेलीविजन बनाता है।

S = टेलीविजन मानक गुणवत्ता का है।

P(E1) = \(\frac{70}{100}\) = \(\frac{7}{10}\)

P(E2) = \(\frac{30}{100}\) = \(\frac{3}{10}\)

अब, P(S | E1) = \(\frac{80}{100}\) = \(\frac{8}{10}\) और P(S | E2) = \(\frac{90}{100}\) = \(\frac{9}{10}\)

∴ P(टेलीविजन प्लांट II से है, यह मानक गुणवत्ता का है)

= P(E2 | S) = \(\frac{P(S|E_2)P(E_2)}{P(S|E_1)P(E_1)+P(S|E_2)P(E_2)}\)

= \(\frac{\frac{9}{10}\times\frac{3}{10}}{\frac{8}{10}\times\frac{7}{10}+\frac{9}{10}\times\frac{3}{10}}\)

= \(\frac{27}{56+27}\)

= \(\frac{27}{83}\)

∴ यह प्लांट II से आया है, ​इसकी प्रायिकता \(\frac{27}{83}\) है।

सही उत्तर विकल्प 2 है।

अवधारणा:

मान लें कि E ₁ , E ₂ ,…, En _n एक प्रतिदर्श समष्टि S से जुड़ी घटनाओं का एक समूह है, जहाँ सभी घटनाओं E ₁ , E ₂ ,…, En _n के घटित होने की प्रायिकता शून्य नहीं है और वे S का एक विभाजन बनाते हैं। मान लें कि A, S से जुड़ी कोई घटना है, तो बेयस प्रमेय से,

P(Ei/A) = \({P(E_i)P(A|E_i)\over\sum_{k=1}^nP(E_k)P(A|E_k)}\)

स्पष्टीकरण:

मान लीजिए b: काली, r: लाल

\(\begin{matrix} A & B & C \\\ 7r, 5b & 5r, 7b & 6r, 6b \end{matrix}\)

किसी भी कलश का चयन करने के तरीके = P(A) = P(B) = P(C) = 1/3

काली गेंद के कलश A से होने की प्रायिकता P(A/b) = \(5\over 12\) है।

काली गेंद के कलश B से होने की प्रायिकता P(B/b) = \(7\over 12\) है तथा

काली गेंद के कलश C से होने की प्रायिकता P(C/b) = \(6\over 12\) है।

कुल प्रायिकता = \(\frac{1}{3}\cdot \frac{5}{12}+\frac{1}{3}\cdot \frac{7}{12}+\frac{1}{3}\cdot \frac{6}{12}\)

इसलिए अभीष्ट प्रायिकता

P(b|A) \(=\frac{\frac{1}{3}\cdot \frac{5}{12}}{\frac{1}{3}\cdot \left[ \frac{5}{12}+\frac{7}{12}+ \frac{6}{12}\right]}=\frac{5}{18}\)

विकल्प (2) सही है।

संकल्पना:

कुल प्रायिकता का नियम:

• यदि E₁, E₂, E₃, ⋯ प्रतिदर्श समष्‍टि S का एक भाग है, तो किसी घटना A के लिए हमारे पास निम्न है

\(\Rightarrow P\;\left( A \right) = \mathop \sum \limits_{i\; = \;1} P\left( {{E_i}} \right)\;P\left( {\frac{A}{{{E_i}}}} \right)\)

गणना:

दिया गया है:

थैले में 3 सफ़ेद और 2 काले गेंद हैं, दूसरे थैले में 5 सफ़ेद और 3 काले गेंद हैं। 

माना कि E₁, E₂ और A नीचे दर्शाये गए रूप में तीन घटनाएं हैं:

E₁ = पहले थैले का चयन करना 

E₂ = दूसरे थैले का चयन करना 

A = एक सफ़ेद गेंद निकालना

अब, थैले को यादृच्छिकता से चुना जाता है;

∴ P (E₁) = P (E₂) = 1/2

अब,

थैला 1 से सफ़ेद गेंद निकलने की प्रायिकता = P (A/ E₁) = 3/5

थैला 2 से सफ़ेद गेंद निकलने की प्रायिकता = P (A/ E₂) = 5/8

कुल प्रायिकता के नियम का प्रयोग करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

आवश्यक प्रायिकता P (A) = P (E₁) P (A/ E₁) + P (E₂) P (A/ E₂) = (1/2) × (3/5) + (1/2) × (5/8)

अवधारणा:

मान लें कि E ₁ , E ₂ ,…, En _n एक प्रतिदर्श समष्टि S से जुड़ी घटनाओं का एक समूह है, जहाँ सभी घटनाओं E ₁ , E ₂ ,…, En _n के घटित होने की प्रायिकता शून्य नहीं है और वे S का एक विभाजन बनाते हैं। मान लें कि A, S से जुड़ी कोई घटना है, तो बेयस प्रमेय से,

P(Ei/A) = \({P(E_i)P(A|E_i)\over\sum_{k=1}^nP(E_k)P(A|E_k)}\)

स्पष्टीकरण:

मान लीजिए b: काली, r: लाल

\(\begin{matrix} A & B & C \\\ 7r, 5b & 5r, 7b & 6r, 6b \end{matrix}\)

किसी भी कलश का चयन करने के तरीके = P(A) = P(B) = P(C) = 1/3

काली गेंद के कलश A से होने की प्रायिकता P(A/b) = \(5\over 12\) है।

काली गेंद के कलश B से होने की प्रायिकता P(B/b) = \(7\over 12\) है तथा

काली गेंद के कलश C से होने की प्रायिकता P(C/b) = \(6\over 12\) है।

कुल प्रायिकता = \(\frac{1}{3}\cdot \frac{5}{12}+\frac{1}{3}\cdot \frac{7}{12}+\frac{1}{3}\cdot \frac{6}{12}\)

इसलिए अभीष्ट प्रायिकता

P(b|A) \(=\frac{\frac{1}{3}\cdot \frac{5}{12}}{\frac{1}{3}\cdot \left[ \frac{5}{12}+\frac{7}{12}+ \frac{6}{12}\right]}=\frac{5}{18}\)

विकल्प (2) सही है।

E₁, E₂ और E₃ क्रमशः बॉक्स A, B, C चुनने की घटनाओं को इंगित करते हैं और A घटना है कि यादृच्छिक रूप से चुने गए स्क्रू दोषपूर्ण है।

फिर,

P(E1) = P(E2) = P(E3) = 1/3,

\({\rm{P}}\left( {{\rm{A}}/{{\rm{E}}_1}} \right) = \frac{1}{5}\)

\({\rm{P}}\left( {\frac{{\rm{A}}}{{{{\rm{E}}_2}}}} \right) = \frac{1}{6} \Rightarrow {\rm{P}}\left( {{\rm{A}}/{{\rm{E}}_3}} \right) = \frac{1}{7}\)

फिर, बेय के प्रमेय द्वारा, आवश्यक प्रायिकता

= P(E1/A)

गणना: 

मान लीजिए कि E₁ वह घटना है जिसमें A और B दोनों समस्या को हल करते हैं।

∴ P(E₁) = \(\frac{1}{4}\times \frac{1}{3}\) = \(\frac{1}{12}\)

माना E₂ घटना है कि A और B दोनों को समस्या का गलत हल मिलता है। 

∴ P(E₂) = \(\frac{2}{3}\times \frac{3}{4}\) = \(\frac{1}{2}\)

मान लीजिए E समान उत्तर प्राप्त करने की घटना है।

⇒ P(E/E₁) = 1

सामान्य त्रुटि की प्रायिकता \(\frac{1}{20}\) दी गई है। 

P(E/E₂) = \(\frac{1}{20}\)

हमें निम्न ज्ञात करने की जरूरत है P(E₁/E) = \(\frac{P(E_1\cap E)}{P(E)}\)

⇒  \(\frac{P(E_1\cap E)}{P(E)}\) = \(\frac{P(E_1)\cdot P(E/E_1)}{P(E_1)\cdot P(E/E_1)+P(E_2)\cdot P(E/E_2)}\)

= \(\frac{\frac{1}{12}\cdot 1}{\frac{1}{12}\cdot 1+\frac{1}{2}\times\frac{1}{20}}\) 

= \(\frac{10}{13}\)

∴ प्रायिकता 10/13 है।​

सही उत्तर विकल्प 4 है।

संकल्पना:

बेय का प्रमेय:

माना कि E1, E2, ….., En यादृच्छिक प्रयोग के साथ संबंधित n परस्पर अपवर्जी और निश्शेष घटनाएं है और माना कि S प्रतिदर्श समष्‍टि है। 

माना कि A कोई घटना है जो E1 या E2 या … या En में से किसी एक के साथ इस प्रकार घटित होती है जिससे P(A) ≠ 0 है। 

तो \(\rm P\left( {{E_i}\;|\;A} \right) = \frac{{P\left( {{E_i}} \right)\; \times \;P\left( {A\;|\;{E_i}} \right)}}{{\mathop \sum \nolimits_{i\; = 1}^n P\left( {{E_i}} \right) \times P\left( {A\;|\;{E_i}} \right)}},\;i = 1,\;2,\; \ldots .\;,\;n\)

गणना:

माना कि E₁: वह उत्तर जनता है। 

E2: वह उत्तर नहीं जनता है। 

X: वह सही उत्तर प्राप्त करता है। 

इसलिए, P (E1) = 90% = \(\frac {9}{10}\)

P (E2) = \(1- \frac {9}{10} = \frac {1}{10}\) 

P (X | E1)  = 1

P (X | E2)  = \(\frac 1 4\)

चूँकि हम जानते हैं कि बेय के प्रमेय के अनुसार:

 \(\rm P\left( {{E_i}\;|\;A} \right) = \frac{{P\left( {{E_i}} \right)\; \times \;P\left( {A\;|\;{E_i}} \right)}}{{\mathop \sum \nolimits_{i\; = 1}^n P\left( {{E_i}} \right) \times P\left( {A\;|\;{E_i}} \right)}},\;i = 1,\;2,\; \ldots .\;,\;n\)

\(\therefore \rm P{\rm{(}}{E_2}\;{\rm{|}}X) = \frac{{\frac{1}{10} \cdot \frac{1}{{4}}}}{{\left[ {\frac{9}{10} \cdot 1 + \;\frac{1}{10} \cdot \frac{1}{{4}}} \right]}} = \frac{{1}}{{37}}\;\)

संकल्पना:

माना कि A1, A2, …., An नमूना स्थान S की n पारस्परिक रूप से अपवर्जित और निःशेष घटनाएं है और A एक घटना है जो किसी भी घटना के साथ घटित हो सकती है

• \(P\left( \frac{{{A}_{i}}}{A} \right)=\frac{P\left( {{A}_{i}} \right)P\left( \frac{A}{{{A}_{i}}} \right)}{\mathop{\sum }_{i=1}^{n}PP\left( {{A}_{i}} \right)P\left( \frac{A}{{{A}_{i}}} \right)}\)

गणना:

माना कि A वह घटना है जो व्यक्ति रिपोर्ट करता है कि संख्या चार प्राप्त की गई है।

माना कि E₁ ऐसी घटना है जो चार प्राप्त हुआ है और E₂ इसकी पूरक घटना है।

फिर, P (E1) = चार होने की प्रायिकता = 1/6

P (E₂) = चार न होने की प्रायिकता = 1 - P (E₁) = 1 - 1/6 = 5/6

इसके अलावा, P (A|E1) = व्यक्ति चार रिपोर्ट करता है और यह वास्तव में चार होने की प्रायिकता है = 2/3

P (A|E2) = व्यक्ति चार रिपोर्ट करता है और यह वास्तव में चार न होने की प्रायिकता है = 1/3

बेयस प्रमेय का उपयोग करके

प्राप्त संख्या वास्तव में एक चार होने की प्रायिकता है।

\(P\left( {E1{\rm{|}}A} \right) = \frac{{P\left( {E1} \right)P(A|E1)}}{{P\left( {E1} \right)P\left( {A{\rm{|}}E1} \right) + P\left( {E2} \right)P(A|E2)}}\)

संकल्पना:

बेज प्रमेय:

माना कि E1, E2, ….., En यादृच्छिक प्रयोग के साथ संबंधित n परस्पर अपवर्जित और निशेष घटना है और माना कि S प्रतिदर्श समष्‍टि है। माना कि A कोई घटना है जो E1 या E2 या … या En में से किसी एक साथ होती है जिससे P(A) ≠ 0 है। तो

\(P\left( {{E_i}\;|\;A} \right) = \frac{{P\left( {{E_i}} \right)\; \times \;P\left( {A\;|\;{E_i}} \right)}}{{\mathop \sum \nolimits_{i\; = 1}^n P\left( {{E_i}} \right) \times P\left( {A\;|\;{E_i}} \right)}}\)

i = 1, 2, ..., n

गणना:

माना कि E₁ थैला A से चयन की घटना है, E₂ थैला B से चयन की घटना है और X एक लाल गेंद निकालने की घटना है। 

P (E₁) = P (E₂) = 1/2

P (X | E₁) = P (थैला A से लाल गेंद निकालना) = 4/8 = 1/2

उसीप्रकार, P (X | E₂) = P (थैला B से लाल गेंद निकालना) = 2/8 = 1/4

यहाँ, हमें थैला A से एक गेंद निकालने की प्रायिकता ज्ञात करनी है, दिया गया है कि गेंद लाल रंग में है अर्थात् P (E₁ | X)

चूँकि हम जानते हैं कि बेज प्रमेय के अनुसार:

\(P{\rm{(}}{E_1}\;{\rm{|}}X) = \frac{{P\left( {{E_1}} \right) \cdot P\;\left( {X\;|\;{E_1}} \right)}}{{\left[ {P\left( {{E_1}} \right) \cdot P\;\left( {X\;|\;{E_1}} \right) + \;P\left( {{E_2}} \right) \cdot P\;\left( {X\;|\;{E_2}} \right)} \right]}}\;\)

\(P{\rm{(}}{E_1}\;{\rm{|}}X) = \frac{{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{2}}}}{{\left[ {\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \;\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{4}}} \right]}} = \frac{{2}}{{3}}\;\)

धारणा:

बेयस के प्रमेय के अनुसार, यदि एकाधिक घटनाएँ A_i अन्य घटना B के साथ एक सम्पूर्ण सेट बनाती है।

\(P\left( {{A_i}/B} \right) = \frac{{{\rm{P}}\left( {{\rm{B}}/{{\rm{A}}_{\rm{i}}}} \right){\rm{P}}\left( {{{\rm{A}}_{\rm{i}}}} \right)}}{{P\left( B \right)}}\)

जहाँ, \(P\left( B \right) = \mathop \sum \limits_{i = 1}^n {\rm{P}}\left( {{\rm{B}}/{{\rm{A}}_{\rm{i}}}} \right){\rm{P}}\left( {{{\rm{A}}_{\rm{i}}}} \right)\)

गणना:

माना कि P(A) बोक्स A में से गेंद चयन करने की प्रायिकता है

P(A) = 1/2

माना कि P(B) बोक्स B में से गेंद चयन करने की प्रायिकता है

P(B) = 1/2

P(R) लाल गेंद प्राप्त करने की प्रायिकता है।

यह मानते हुए कि हम बोक्स A में से गेंद का चयन कर रहे हैं, मान लीजिए कि P(R/A) लाल गेंद प्राप्त करने की प्रायिकता है।

\(P\left( {R/A} \right) = \frac{3}{5}\)

यह मानते हुए कि हम बोक्स B में से गेंद का चयन कर रहे हैं, मान लीजिए कि P(R/B) लाल गेंद प्राप्त करने की प्रायिकता है।

\(P\left( {R/B} \right) = \frac{5}{9}\)

कुल प्रायिकता से,

P(R) = P(R/A) P(A) + P(R/B) P(B)

\(= \left( {\frac{3}{5} \times \frac{1}{2}} \right) + \left( {\frac{5}{9} \times \frac{1}{2}} \right) = \frac{{26}}{{45}}\)

यह मानते हुए कि बोक्स B में से गेंद का चयन किया गया है, मान लीजिए कि P(B/R)  चयनित लाल गेंद की प्रायिकता है,

\(P\left( {B/R} \right) = \frac{{{\rm{P}}\left( {\frac{{\rm{R}}}{{\rm{B}}}} \right){\rm{P}}\left( {\rm{B}} \right)}}{{P\left( R \right)}} = \frac{{\frac{5}{9} \times \frac{1}{2}}}{{\frac{{26}}{{45}}}} = \frac{{25}}{{52}}\)

संकल्पना:

बेज प्रमेय:

माना कि E1, E2, ….., En यादृच्छिक प्रयोग के साथ संबंधित n परस्पर अपवर्जित और निशेष घटना है और माना कि S प्रतिदर्श समष्‍टि है। माना कि A कोई घटना है जो E1 या E2 या … या En में से किसी एक साथ होती है जिससे P(A) ≠ 0 है। तो

\(P\left( {{E_i}\;|\;A} \right) = \frac{{P\left( {{E_i}} \right)\; \times \;P\left( {A\;|\;{E_i}} \right)}}{{\mathop \sum \nolimits_{i\; = 1}^n P\left( {{E_i}} \right) \times P\left( {A\;|\;{E_i}} \right)}},\;i = 1,\;2,\; \ldots .\;,\;n\)

गणना:

माना कि घटना B1, B2 और B3 निम्न रूप में परिभाषित है:

B1 : बीमाकृत व्यक्ति हल्के वाहन का चालक है। 

B2 : बीमाकृत व्यक्ति मध्यम वाहन का चालक है। 

B3 : बीमाकृत व्यक्ति भारी वाहन का चालक है।

माना कि घटना E 'बीमाकृत व्यक्ति की दुर्घटना हो जाती है' है। 

⇒P (B₁) = 2000/12000 = 1/6, P  (B₂) = 4000/12000 = 1/3 और P (B₃) = 6000/12000 = 1/2

उसीप्रकार, P (E | B1) = 0.01, P (E | B2) = 0.03 और P (E | B3) = 0.15 ------(दिया गया है)

यहाँ, हमें P (B₂ | E)  का मान ज्ञात करना है :

चूँकि हम जानते हैं कि बेज प्रमेय के अनुसार:\(P\left( {{E_i}\;|\;A} \right) = \frac{{P\left( {{E_i}} \right)\; \times \;P\left( {A\;|\;{E_i}} \right)}}{{\mathop \sum \nolimits_{i\; = 1}^n P\left( {{E_i}} \right) \times P\left( {A\;|\;{E_i}} \right)}},\;i = 1,\;2,\; \ldots .\;,\;n\)

\( \Rightarrow P{\rm{(}}{B_2}\;{\rm{|}}E) = \frac{{P\left( {{B_2}} \right) \cdot P\;\left( {E\;|\;{B_2}} \right)}}{{\left[ {P\left( {{B_1}} \right) \cdot P\;\left( {E\;|\;{B_1}} \right) + \;P\left( {{B_2}} \right) \cdot P\;\left( {E\;|\;{B_2}} \right) + P\left( {{B_3}} \right) \cdot P\;\left( {E\;|\;{B_3}} \right)} \right]}}\;\)

\( \Rightarrow P{\rm{(}}{B_2}\;{\rm{|}}E) = \frac{3}{{26}}\)

संकल्पना:

E = घटना जहाँ एक आदमी रिपोर्ट करता है कि यह सम है

E1 = सम संख्या को चुनने की घटना

E2 = विषम संख्या को चुनने की घटना

खोजने के लिए: यह वास्तव में सम होने की प्रायिकता P(E1|E)

P(E1|E) = \(\rm \dfrac {P(E|E_1).P(E_1)}{P(E|E_1).P(E_1)+P(E|E_2).P(E_2)}\)

गणना:

दिया गया, एक आदमी 3 में से 2 बार सच बोलता है। वह S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} समुच्चय में से एक प्राकृतिक संख्या चुनता है और रिपोर्ट करता है कि यह सम है।

E1 = सम संख्या को चुनने की घटना

E2 = विषम संख्या को चुनने की घटना

⇒P (E1) = \(\dfrac 3 7\)

⇒P (E2) = \(\dfrac 4 7\)

E = घटना जहाँ एक आदमी रिपोर्ट करता है कि यह सम है

एक आदमी 3 में से 2 बार सच बोलता है।

⇒P (E|E₁) = \(\dfrac 2 3\)

⇒P (E|E2) = \(\dfrac 1 3\)

खोजने के लिए: यह वास्तव में सम होने की प्रायिकता P(E1|E)

P(E1|E) = \(\rm \dfrac {P(E|E_1).P(E_1)}{P(E|E_1).P(E_1)+P(E|E_2).P(E_2)}\)

⇒P(E1|E) = \(\rm \dfrac {(\dfrac 2 3).(\dfrac 3 7)}{(\dfrac 2 3).(\dfrac 3 7)+(\dfrac 1 3).(\dfrac 4 7)}\)

⇒P(E1|E) = \(\rm \dfrac 6 {10}\)

⇒⇒P(E1|E) = \(\rm \dfrac 3 5\)

इसलिए, एक आदमी 3 में से 2 बार सच बोलता है। वह S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} समुच्चय में से एक प्राकृतिक संख्या चुनता है और रिपोर्ट करता है कि यह सम है। यह वास्तव में सम होने की प्रायिकता \(\rm \dfrac 3 5\) है