एक धारा फलन ψ = 2xy द्वारा दिया गया है। (3, 4) पर वेग का परिमाण कितना होगा?

संकल्पना:

धारा फलन:

इसे स्थान और काल के अदिश फलन के रूप में इस प्रकार परिभाषित किया जाता है, जिससे किसी भी दिशा के संबंध में इसका आंशिक अवकलज उस दिशा के समकोण पर वेग घटक प्रदान करता है।

इसे ψ द्वारा दर्शाया जाता है और यह केवल दो-आयामी प्रवाह के लिए परिभाषित है।

\(v = \frac{{\partial \psi }}{{\partial x}};u = - \frac{{\partial \psi }}{{\partial y}}\)

धारा फलन के गुण:

• यदि धारा फलन मौजूद होता है, तो यह तरल पदार्थ के प्रवाह की एक संभव स्थिति है जो घूर्णी या अघूर्णी हो सकती है
• यदि धारा फलन लाप्लास समीकरण अर्थात \(\frac{{{\partial ^2}\psi }}{{\partial {x^2}}} + \frac{{{\partial ^2}\psi }}{{\partial {y^2}}} = 0\) को संतुष्ट करता है, तो यह अघूर्णी प्रवाह की एक स्थिति है

गणना:

माना कि u और v द्रव वेग के क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर घटक हैं।

दिया हुआ है कि, ψ = 2xy

हम जानते हैं कि:

\({\rm{u}} = - \frac{{\partial {\rm{\psi}}}}{{\partial {\rm{y}}}} = - 2{\rm{x}}\)

और

\({\rm{v}} = + \frac{{\partial {\rm{\psi}}}}{{\partial {\rm{x}}}} = 2{\rm{y}}\)

वेग, = ui + vj

\(\vec v\) = (-2x) i + (2y) j

बिंदु (3, 4) पर यानि x = 3 और y = 4 पर वेग है:

\(\vec v\) = - 6i + 8j

या \(\left| {{\rm{\vec v}}} \right| = {\rm{v}} = \sqrt {{{\left( { - 6} \right)}^2} + {{\left( 8 \right)}^2}} = 10{\rm{m}}/{\rm{s}}\)