Fluid Kinematics MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Fluid Kinematics - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संप्रत्यय:

2D प्रवाह के लिए, धारा रेखा का समीकरण दिया गया है:

\( \frac{dx}{u} = \frac{dy}{v} \)

दिया गया है:

\( u = -y^2, \quad v = -6x \)

इसलिए,

\( \frac{dx}{-y^2} = \frac{dy}{-6x} \Rightarrow \frac{dx}{y^2} = \frac{dy}{6x} \)

तिर्यक गुणा करने पर:

\( 6x \, dx = y^2 \, dy \)

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:

\( \int 6x \, dx = \int y^2 \, dy \Rightarrow 3x^2 = \frac{y^3}{3} + C \)

3 से गुणा करने पर:

\( 9x^2 - y^3 = C \)

बिंदु (1,1) का उपयोग करने पर:

\( 9(1)^2 - (1)^3 = 8 \Rightarrow C = 8 \)

सिद्धांत:

2D असंपीड्य प्रवाह के लिए, सांतत्य समीकरण अवश्य ही मान्य होना चाहिए:

\( \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = 0 \)

विकल्प 3 के लिए जाँच:

\( u = x + y,\; v = x - y \)

\( \frac{\partial u}{\partial x} = 1,\; \frac{\partial v}{\partial y} = -1 \)

\( \Rightarrow \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = 1 - 1 = 0 \)

संप्रत्यय:

एक फलन \( \phi(x, y) \) एक मान्य स्थितिज फलन होता है यदि इसके मिश्रित द्वितीय-क्रम आंशिक अवकलज समान हों:

\( \frac{\partial^2 \phi}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 \phi}{\partial y \partial x} \)

विकल्प की जाँच:

\( \phi(x, y) = y^3 - 3x^2y \)

\( \frac{\partial \phi}{\partial x} = -6xy \Rightarrow \frac{\partial^2 \phi}{\partial x \partial y} = -6x \)

\( \frac{\partial \phi}{\partial y} = 3y^2 - 3x^2 \Rightarrow \frac{\partial^2 \phi}{\partial y \partial x} = -6x \)

चूँकि मिश्रित आंशिक अवकलज समान हैं, इसलिए फलन एक मान्य स्थितिज फलन है।

संप्रत्यय:

दो आयामी प्रवाह क्षेत्र में किसी विशिष्ट बिंदु पर वेग निर्धारित करने के लिए, हमें दिए गए वेग क्षेत्र समीकरण का विश्लेषण करने और इसे निर्दिष्ट बिंदु और समय पर मूल्यांकन करने की आवश्यकता है।

दिया गया है:

• बिंदु निर्देशांक: (1, 2)
• समय: 2 सेकंड

चरण 1: वेग क्षेत्र समीकरण की पहचान करें

समस्या में एक वेग क्षेत्र समीकरण का उल्लेख है, लेकिन यह दिए गए सामग्री में स्पष्ट रूप से प्रदान नहीं किया गया है। आमतौर पर, एक दो आयामी वेग क्षेत्र को इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:

\(\vec{V} = u(x,y,t)\hat{i} + v(x,y,t)\hat{j}\)

जहाँ u और v क्रमशः x और y दिशाओं में वेग घटक हैं।

चरण 2: (1, 2) और t = 2s पर वेग घटकों का मूल्यांकन करें

विशिष्ट वेग क्षेत्र समीकरण के बिना, हम सटीक वेग घटकों की गणना नहीं कर सकते हैं। हालाँकि, समस्या बहुविकल्पीय विकल्प प्रदान करती है, यह सुझाव देती है कि गणना इन मानों में से एक की ओर ले जाती है।

चरण 3: वेग परिमाण की गणना करें

वेग वेक्टर का परिमाण इस प्रकार दिया गया है:

\(|\vec{V}| = \sqrt{u^2 + v^2}\)

व्याख्या:

द्रव गतिकी में एकसमान लेकिन अस्थायी प्रवाह

• द्रव गतिकी में, एकसमान प्रवाह एक ऐसे प्रवाह को संदर्भित करता है जिसमें अंतरिक्ष में किसी दिए गए बिंदु पर द्रव का वेग स्थिति के साथ परिवर्तित नहीं होता है। हालाँकि, एक अस्थायी प्रवाह में, वेग समय के साथ बदल सकता है। इसलिए, एक एकसमान लेकिन अस्थायी प्रवाह वह है जहाँ किसी दिए गए क्षण पर अंतरिक्ष में प्रत्येक बिंदु पर द्रव का वेग समान होता है लेकिन समय के साथ बदल सकता है।
• एक एकसमान लेकिन अस्थायी प्रवाह में, प्राथमिक विशेषता यह है कि प्रवाह पैरामीटर (जैसे, वेग, दबाव) किसी भी क्षण किसी दिए गए क्रॉस-सेक्शन में प्रत्येक बिंदु पर समान होते हैं।
• हालांकि, ये पैरामीटर समय बीतने के साथ बदल सकते हैं।
• इस प्रकार का प्रवाह अक्सर उन स्थितियों में देखा जाता है जहाँ प्रवाह को प्रभावित करने वाली बाहरी स्थितियाँ समय के साथ बदलती हैं, जैसे कि बदलती हवा की गति या उतार-चढ़ाव वाली दबाव की स्थिति।

धुआँ एकसमान रूप से ऊपर उठ रहा है लेकिन समय के साथ वेग में परिवर्तनशील है।

• यह विकल्प सही ढंग से एक एकसमान लेकिन अस्थायी प्रवाह को दर्शाता है। धुआँ एकसमान रूप से ऊपर उठता है, जिसका अर्थ है कि किसी भी क्षण किसी दिए गए ऊँचाई पर किसी भी क्षैतिज क्रॉस-सेक्शन में इसका वेग सुसंगत होता है। हालाँकि, धुएँ का वेग समय के साथ बदलता है, यह दर्शाता है कि प्रवाह अस्थायी है। यह चिमनी के तापमान में परिवर्तन, हवा की गति में बदलाव, या धुएँ के वेग को प्रभावित करने वाले अन्य बाहरी कारकों के कारण हो सकता है।

धारणा:

धारा रेखा के अनुदिश प्रवाह के लिए त्वरण निम्न रूप में दिया जाता है

यदि V = f(s, t)

तो \(dV = \frac{{\partial V}}{{\partial s}}ds + \frac{{\partial V}}{{\partial t}}dt\)

\(a = \frac{{dV}}{{dt}} = \;\frac{{\partial V}}{{\partial s}} \times \frac{{ds}}{{dt}} + \frac{{\partial V}}{{\partial t}}\) 

स्थिर प्रवाह के लिए \(\frac{{\partial V}}{{\partial t}} = 0\)

फिर \(a = \frac{{\partial V}}{{\partial s}} \times \frac{{ds}}{{dt}}\) 

चूँकि V = f(s) केवल स्थिर प्रवाह के लिए इसलिए \(\frac{{\partial v}}{{\partial s}} = \frac{{dv}}{{ds}}\)

इसलिए \(a = V \times \frac{{dV}}{{ds}}\)

गणना:

दिया हुआ, V_A = 2 m/s, V_B = 5 m/s, और दूरी s = 1 m

\(\frac{{dV}}{{ds}} = \frac{{\left( {5 - 2} \right)}}{1} = 3\)

तो B पर द्रव का त्वरण है

\({a_B} = {V_B} \times \frac{{dV}}{{ds}} = 5 \times 3 = 15\)

संकल्पना:

जलावर्त प्रवाह:

किसी घुमावदार पथ में तरल पदार्थ की गति को जलावर्त प्रवाह के रूप में जाना जाता है। 

जब कुछ द्रव्य वाले एक बेलनाकार पात्र को इसके ऊर्ध्वाधर अक्ष के चारों ओर घुमाया जाता है, तो जलावर्त प्रवाह का पालन द्रव्य द्वारा किया जायेगा। 

जलावर्त गति दो प्रकार के होते हैं:

1. बलात् जलावर्त:

• बलात् जलावर्त में तरल पदार्थ बाहरी बलाघूर्ण के प्रभाव के तहत वक्र पर गतिमान होता है। 
• बाहरी बलाघूर्ण के कारण बलात् जलावर्त घूर्णी प्रवाह होता है। 
• चूँकि यहाँ ऊर्जा का निरंतर व्यय होता है, इसलिए बरनौली का समीकरण बलात् जलावर्त के लिए मान्य नहीं है। 
• बलात् जलावर्त के लिए v = rω लागू है। 
• उदाहरण:
  • टरबाइन के वाहक के माध्यम से पानी का प्रवाह। 
  • वाशिंग मशीन में पानी का घूर्णन। 

2. मुक्त जलावर्त:

• जब किसी बाहरी बलाघूर्ण की आवश्यकता तरल पदार्थ को घुमाने के लिए नहीं होती है, तो इस प्रकार के प्रवाह को मुक्त जलावर्त कहा जाता है। 
• चूँकि मुक्त जलावर्त में कोई बलाघूर्ण नहीं होता है, इसलिए मुक्त जलावर्त अघूर्णी प्रवाह होता है। 
• मुक्त जलावर्त के लिए संवेग का आघूर्ण स्थिरांक अर्थात् vr = स्थिरांक होता है।
• उदाहरण:
  • एक पात्र के निचले भाग पर प्रदान किये गए छिद्र के माध्यम से द्रव्य का प्रवाह 
  • बाथटब का रिसाव। 

जलावर्त प्रवाह लागू बलाघूर्ण के आधार पर घूर्णी और अघूर्णी प्रवाह दोनों होता है।

व्याख्या:

असंपीड्य प्रवाह: यह उस प्रकार का प्रवाह है जिसमें द्रव प्रवाह के लिए घनत्व स्थिर रहता है। तरल पदार्थ आमतौर पर असंपीड्य होते हैं जबकि गैसें संपीडित होती हैं।

गणितीय रूप से, ρ = स्थिरांक।

ये पटलीय या उपद्रव, बाहरी या आंतरिक हो सकते हैं।

पटलीय या उपद्रव प्रवाह को असंपीड्य माना जाता है यदि घनत्व स्थिर है या प्रवाह को संपीड़ित करने में द्रव कम ऊर्जा के साथ फैलता है। इसलिए अलग-अलग घनत्व (असंपीड़ित) प्रवाह वाला प्रवाह पटलीय या उपद्रव हो सकता है।

 Additional Information

संपीडित प्रवाह: वह प्रवाह जिसमें द्रव का घनत्व एक बिंदु से दूसरे बिंदु पर बदलता है या द्रव के लिए घनत्व स्थिर नहीं होता है

गणितीय रूप से, संपीड़ित प्रवाह के लिए ρ ≠ स्थिरांक

व्याख्या:

वेग विभव फलन

• इस फलन को किसी प्रवाह में स्थान और समय के फलन के रूप में इस प्रकार परिभाषित किया जाता है जिससे किसी भी दिशा के संबंध में इस फलन का ऋणात्मक अवकलन उस दिशा में तरल पदार्थ का वेग प्रदान करता है।

वेग विभव फलन के गुण:

• यदि वेग विभव (ϕ) मौजूद है तो प्रवाह होगा।
• प्रवाह के लिए वेग विभव फलन मौजूद है तो प्रवाह अघूर्णी होना चाहिए।
• यदि वेग विभव (ϕ) लैप्लस समीकरण को संतुष्ट करता है तो यह संभावित स्थिर असंपीड्य अघूर्णी प्रवाह का प्रतिनिधित्व करता है।

अतिरिक्त जानकारी

धारा फलन:

• यह स्थान और समय का अदिश फलन है।
• किसी भी दिशा के संबंध में धारा फलन का आंशिक अवकलज उस दिशा के लंबवत वेग का घटक देता है। इसलिए यह एक प्रवाह के लिए स्थिर रहता है
• धारा फलन केवल दो-आयामी प्रवाह के लिए परिभाषित करता है जो स्थिर और असंगत है|

धारा फलन के गुण:

1. यदि ψ मौजूद है तो यह निरंतरता समीकरण का अनुसरण करता है और प्रवाह घूर्णी या अघूर्णी हो सकता है।

2. यदि ψ लाप्लास समीकरण को संतुष्ट करता है तो प्रवाह अघूर्णी होगा।

वर्णन:

किसी प्रवाह के कुल त्वरण को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

\(\frac{D\vec V}{Dt}=\frac{\partial\vec V}{\partial t}+u\frac{\partial\vec V}{\partial x}+v\frac{\partial\vec V}{\partial y}+w\frac{\partial\vec V}{\partial z}\)

कुल अवकल,

\(\frac{D}{Dt}=\frac{\partial}{\partial t}+u\frac{\partial}{\partial x}+v\frac{\partial}{\partial y}+w\frac{\partial}{\partial z}\)

कुल अवकल D/Dt को समय के संबंध में पदार्थ या तात्त्विक अवकलज के रूप में जाना जाता है। 

दाएँ पक्ष में पहले पद \(\frac{\partial}{\partial t}\) को अस्थायी या स्थानीय अवकलज के रूप में जाना जाता है जो एक निर्दिष्ट स्थिति पर समय के साथ परिवर्तन की दर को व्यक्त करता है। 

दाएँ पक्ष में अंतिम तीन पद \(u\frac{\partial}{\partial x}+v\frac{\partial}{\partial y}+w\frac{\partial}{\partial z}\) को संवहनी अवकलज के रूप में जाना जाता है जो क्षेत्र की स्थिति में परिवर्तन के कारण होने वाले परिवर्तन की समय दर को दर्शाता है। 

स्पष्टीकरण:

मुक्त जलावर्त

जब तरल पिंड बिना किसी बाहरी बलाघूर्ण के अक्ष के चारों ओर गति करता है तो उसे मुक्त जलावर्त के रूप में जाना जाता है और मुक्त जलावर्त गति एक अघूर्णी प्रवाह होता है।

बलकृत जलावर्त

जब एक अक्ष के चारों ओर एक नियत कोणीय वेग पर तरल पिंड के घूर्णन के लिए एक बाहरी बल की आवश्यकता हो, तो यह बलकृत जलावर्त के रूप में जाना जाता है।

जलावर्त प्रवाह के आधारभूत समीकरणों पर विचार करके मुक्त जलावर्त प्रवाह के लिए स्थिति की व्युत्पत्ति के लिए बर्नौली का समीकरण मान्य होगा, जो अंततः प्रवाह को अघूर्णी सिद्ध करता है (बर्नौली समीकरण की अवधारणाओं में से एक)।

अवधारणा:

निरंतरता समीकरण: यह द्रव्यमान प्रवाह दर का संरक्षण है।

• ρ1A1V1 =  ρ1A1V1

असंपीड्य तरल के लिए घनत्व स्थिर होगा, इस प्रकार निरंतरता समीकरण निम्न होगा:

• A1V1 = A2V2  

जहां, A1, A2 = क्रमशः खंड 1 और 2 के क्षेत्र, V1, V2 = क्रमशः खंड 1 और 2 के वेग

द्रव की प्रवाह दर Q = AV के बराबर है।

गणना:

दिया हुआ:

क्षेत्र: A1 = 0.25 m2, A2 = 0.1 m2.

प्रवाह दर: Q = 0.1 m3/s.

Q = A1V1 = A2V2 

\(V_1 = \frac{Q}{A_1} = \frac{0.1}{0.25} = 0.4\ m/s\)

\(V_2 = \frac{Q}{A_2} = \frac{0.1}{0.1} = 1\ m/s\)

∴ घटते पाइप में प्रवाह का वेग 1 m/s है

संकल्पना:

जलावर्त प्रवाह:

किसी घुमावदार पथ में तरल पदार्थ की गति को जलावर्त प्रवाह के रूप में जाना जाता है। 

जब कुछ द्रव्य वाले एक बेलनाकार पात्र को इसके ऊर्ध्वाधर अक्ष के चारों ओर घुमाया जाता है, तो जलावर्त प्रवाह का पालन द्रव्य द्वारा किया जायेगा। 

जलावर्त गति दो प्रकार के होते हैं:

1. बलात् जलावर्त:

• बलात् जलावर्त में तरल पदार्थ बाहरी बलाघूर्ण के प्रभाव के तहत वक्र पर गतिमान होता है। 
• बाहरी बलाघूर्ण के कारण बलात् जलावर्त घूर्णी प्रवाह होता है। 
• चूँकि यहाँ ऊर्जा का निरंतर व्यय होता है, इसलिए बरनौली का समीकरण बलात् जलावर्त के लिए मान्य नहीं है। 
• बलात् जलावर्त के लिए v = rω लागू है। 
• उदाहरण:
  • टरबाइन के वाहक के माध्यम से पानी का प्रवाह। 
  • वाशिंग मशीन में पानी का घूर्णन। 

2. मुक्त जलावर्त:

• जब किसी बाहरी बलाघूर्ण की आवश्यकता तरल पदार्थ को घुमाने के लिए नहीं होती है, तो इस प्रकार के प्रवाह को मुक्त जलावर्त कहा जाता है। 
• चूँकि मुक्त जलावर्त में कोई बलाघूर्ण नहीं होता है, इसलिए मुक्त जलावर्त अघूर्णी प्रवाह होता है। 
• मुक्त जलावर्त के लिए संवेग का आघूर्ण स्थिरांक अर्थात् vr = स्थिरांक होता है।
• उदाहरण:
  • एक पात्र के निचले भाग पर प्रदान किये गए छिद्र के माध्यम से द्रव्य का प्रवाह 
  • बाथटब का रिसाव। 

जलावर्त प्रवाह लागू बलाघूर्ण के आधार पर घूर्णी और अघूर्णी प्रवाह दोनों होता है।

सामान्य सातत्य समीकरण:

\(\begin{array}{l} \frac{{\partial \left( {\rho u} \right)}}{{\partial x}} + \frac{{\partial \left( {\rho v} \right)}}{{\partial y}} + \frac{{\partial \left( {\rho w} \right)}}{{\partial z}} + \frac{{\partial \rho }}{{\partial t}} = 0\\ \frac{{\partial \rho }}{{\partial t}} + \vec \nabla.\left( {\rho \vec V} \right) = 0 \end{array}\)

असंपीड्य व स्थिर प्रवाह के लिए:

\(\frac{{\partial u}}{{\partial x}} + \frac{{\partial v}}{{\partial y}} + \frac{{\partial w}}{{\partial z}} = 0\)

\(\vec \nabla \cdot {\rm{\vec V}} = 0\)

∴ प्रवाह को स्थिर व असंपीड्य होना आवश्यक है।

अवधारणा:

कोई भी क्षेत्र जो नीचे दिए गए निरंतरता समीकरण को संतुष्ट करता है उसे प्रवाह क्षेत्र माना जाता है

\(\frac{{\partial u}}{{\partial x}} + \frac{{\partial v}}{{\partial y}} + \frac{{\partial w}}{{\partial z}} = 0\)

जहाँ u, v, ω प्रवाह के वेग क्षेत्र के x, y और z घटक हैं।

आगे; प्रवाह को घूर्णी कहा जाता है यदि वेग सदिश का कर्ल (यानी \(\nabla \times \vec U\)) शून्य के बराबर नहीं है, अन्यथा प्रवाह अघूर्णी है।

यानी अगर \(\nabla \times \vec U = 0\) तो प्रवाह अघूर्णी है।

गणना:

दिया हुआ:

\(\vec U = \left( {g{x^3}} \right)i + \left( {6{x^2}y} \right)\hat I\)

चूंकि दिए गए के x और y दिशा में घटक है और 'z' दिशा में कोई घटक नहीं है, इसलिए यह 2D वेग क्षेत्र है।

इसके अलावा \(\vec u = 2{x^3}\;\& \;U = 6{x^2}y\)

\(\frac{{\partial u}}{{\partial x}} = 6{x^2}\;;\frac{{\partial u}}{{\partial y}} = 6\;x^2\)

चूँकि \(\frac{{\partial u}}{{\partial x}} + \frac{{\partial v}}{{\partial y}} = 6{x^2} + 6\;x^2 \ne 0 \Rightarrow \) प्रवाह नहीं है।

चूंकि, दिए गए वेग सदिश निरंतरता समीकरण को संतुष्ट नहीं करता है, इसलिए यह प्रवाह का प्रतिनिधित्व नहीं करता है या प्रवाह संभव नहीं है।

इसके अलावा कोई प्रवाह नहीं है, इसलिए प्रवाह घूर्णी है या अघूर्णी यह कहने का कोई अर्थ नहीं है।