Dimensional and Model Analysis MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Dimensional and Model Analysis - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संप्रत्यय:

माच कोण \( \mu \) माच संख्या \( M \) से संबंधित है:

\( \sin \mu = \frac{1}{M} \Rightarrow M = \frac{1}{\sin 30^\circ} = 2 \)

ध्वनि की गति:

\( a = \sqrt{\gamma R T} = \sqrt{1.4 \cdot 287 \cdot 300} \approx 347.15~\text{m/s} \)

गोली का वेग:

\( V = M \cdot a = 2 \cdot 347.15 \approx 694.3~\text{m/s} \approx 280\sqrt{6} \)

व्याख्या:

फ्राउड मॉडल नियम

परिभाषा: फ्राउड मॉडल नियम द्रव यांत्रिकी में प्रयुक्त एक समानता नियम है जो मॉडल और प्रोटोटाइप में द्रव प्रवाह घटनाओं के अध्ययन और तुलना के लिए उपयोग किया जाता है। यह मुख्य रूप से गुरुत्वाकर्षण बलों से जुड़े मामलों में लागू होता है, जैसे कि मुक्त सतह प्रवाह, जहाज मॉडलिंग और खुले चैनल प्रवाह। यह नियम कहता है कि गतिशील समानता सुनिश्चित करने के लिए मॉडल और प्रोटोटाइप के बीच जड़त्वीय बलों का गुरुत्वाकर्षण बलों के अनुपात सुसंगत होना चाहिए।

कार्य सिद्धांत: फ्राउड मॉडल नियम इस सिद्धांत पर आधारित है कि फ्राउड संख्या (Fr), जो जड़त्वीय बलों का गुरुत्वाकर्षण बलों के अनुपात है, मॉडल और प्रोटोटाइप दोनों के लिए समान रहनी चाहिए। फ्राउड संख्या इस प्रकार दी गई है:

फ्राउड संख्या \(F_r = \frac{V}{\sqrt{gL}}\)

जहाँ:

• v: द्रव का वेग
• g: गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण
• L: अभिलाक्षणिक लंबाई

गतिशील समानता तब प्राप्त होती है जब मॉडल और प्रोटोटाइप के लिए फ्राउड संख्या समान होती है:

\(\frac{V_m}{\sqrt {L_m g_m}} = \frac{V_p}{\sqrt{L_p g_p}}\)

इससे, वेग, समय, बल और शक्ति जैसी विभिन्न भौतिक राशियों के बीच संबंध प्राप्त किए जा सकते हैं।

बल का पैमाना अनुपात = (लंबाई का पैमाना अनुपात)³

यह समझने के लिए कि यह सही क्यों है, आइए फ्राउड मॉडल नियम के तहत बल और लंबाई के बीच संबंध का विश्लेषण करें:

बल संबंध:

द्रव प्रवाह में कार्य करने वाला बल आमतौर पर जड़त्वीय बलों और गुरुत्वाकर्षण बलों द्वारा निर्धारित किया जाता है। फ्राउड मॉडल नियम के अनुसार, मॉडल और प्रोटोटाइप के बीच बल पैमाने के अनुपात को इस प्रकार व्युत्पन्न किया जा सकता है:

• जड़त्वीय बल द्रव्यमान x त्वरण के समानुपाती होता है।
• द्रव्यमान आयतन के समानुपाती होता है, जो लंबाई के घन (l³) के साथ स्केल करता है।
• त्वरण, फ्राउड समानता के तहत, g (गुरुत्वाकर्षण त्वरण) के समानुपाती होता है, जो नहीं बदलता है।

इसलिए, बल (F) का पैमाना अनुपात लंबाई (l) के घन के पैमाने के अनुपात के समानुपाती है:

बल का पैमाना अनुपात = (लंबाई का पैमाना अनुपात)³

जब किसी मॉडल और प्रोटोटाइप की तुलना की जाती है जहाँ प्रमुख बल गुरुत्वाकर्षण है, तो फ्राउड मॉडल नियम लागू होता है। यह नियम इस सिद्धांत पर आधारित है कि जड़त्वीय बलों का गुरुत्वाकर्षण बलों के अनुपात मॉडल और प्रोटोटाइप दोनों के लिए समान होना चाहिए। फ्राउड संख्या (Fr) एक आयामहीन संख्या है जो जड़त्वीय बल की गुरुत्वाकर्षण बल से तुलना करती है और इसे इस प्रकार दिया जाता है:

Fr = V / √(gL)

जहाँ:

• V = वेग
• g = गुरुत्वाकर्षण त्वरण
• L = अभिलाक्षणिक लंबाई (जैसे पानी की गहराई)

फ्राउड मॉडल नियम गुरुत्वाकर्षण के प्रमुख बल होने पर मॉडल और प्रोटोटाइप के बीच गतिशील समानता सुनिश्चित करता है। यह हाइड्रोलिक मॉडल और मुक्त-सतह प्रवाह वाले द्रव गतिकी में विशेष रूप से महत्वपूर्ण है, जैसे जहाजों, स्पिलवे और नदी मॉडलिंग के डिजाइन में।

दिए गए विकल्पों का विश्लेषण

1. 1) माच मॉडल नियम (गलत)

   • माच मॉडल नियम उन परिदृश्यों के लिए उपयोग किया जाता है जहाँ संपीड्यता प्रभाव महत्वपूर्ण होते हैं, और गतिशील समानता के लिए माच संख्या (ध्वनि की गति के लिए प्रवाह वेग का अनुपात) का उपयोग किया जाता है। यह मुख्य रूप से गुरुत्वाकर्षण बलों से संबंधित नहीं है।

2. 2) ऑयलर मॉडल नियम (गलत)

   • ऑयलर मॉडल नियम उन परिदृश्यों पर लागू होता है जहाँ दाब बल प्रमुख होते हैं, और ऑयलर संख्या (जड़त्वीय बलों के लिए दाब बलों का अनुपात) का उपयोग किया जाता है। यह नियम उन स्थितियों के लिए उपयुक्त नहीं है जहाँ गुरुत्वाकर्षण प्रमुख बल है।

3. 3) वेबर मॉडल नियम (गलत)

   • वेबर मॉडल नियम पृष्ठ तनाव बलों से संबंधित है और इसका उपयोग केशिका तरंगों और बूंद निर्माण जैसी घटनाओं का अध्ययन करते समय किया जाता है। इसमें वेबर संख्या शामिल है, जो जड़त्वीय बलों का पृष्ठ तनाव बलों के अनुपात है, और गुरुत्वाकर्षण-प्रमुख स्थितियों के लिए लागू नहीं है।

4. 4) फ्राउड मॉडल नियम (सही)

   • फ्राउड मॉडल नियम विशेष रूप से उन परिदृश्यों के लिए उपयोग किया जाता है जहाँ गुरुत्वाकर्षण बल प्रमुख होते हैं। यह समान फ्राउड संख्या बनाए रखकर मॉडल और प्रोटोटाइप के बीच गतिशील समानता सुनिश्चित करता है। यह इसे दी गई स्थिति के लिए उपयुक्त विकल्प बनाता है।

संप्रत्यय:

स्पिलवे पर खुले चैनल प्रवाह के लिए, हेड एक लंबाई पैरामीटर है और फ्राउड मॉडल नियमों में ज्यामितीय समानता के नियम का पालन करता है। इसलिए हेड (H) के लिए पैमाना अनुपात है:

\( H_m = \frac{H_p}{\sqrt{L_r}} \)

जहाँ:

• \(H_m\) = मॉडल में हेड
• \(H_p\) = प्रोटोटाइप में हेड = 1.6 मीटर
• \(L_r\) = लंबाई पैमाना अनुपात = 50

दिया गया है:

• प्रोटोटाइप हेड = 1.6 मीटर
• मॉडल पैमाना अनुपात = 1:50

गणना:

फ्राउड के मॉडल नियम के अनुसार:

\( H_m = \frac{H_p}{L_r} = \frac{1.6}{50} = 0.032 \, \text{m} \)

व्याख्या:

बकिंघम का π प्रमेय:

• यह कहता है कि "यदि किसी विमीय रूप से समघात समीकरण में 'n' चर हैं और यदि इन चरों में 'm' मूल (प्राथमिक) आयाम शामिल हैं, तो चरों को (n-k) आयामहीन पदों में समूहीकृत किया जा सकता है"। ये आयामहीन पद π-पद कहलाते हैं।
• हम द्रव यांत्रिकी में [M L T] मूल राशियों का उपयोग करते हैं। इस पद्धति का रेले की विधि पर लाभ यह है कि यह हमें विश्लेषण से पहले ही बता देता है कि कितने आयामहीन समूहों की अपेक्षा की जानी है।
• प्रत्येक आयामहीन π-पद कुल n चरों में से m चरों को शेष (n-k) चरों में से एक के साथ मिलाकर बनाया जाता है अर्थात प्रत्येक π-पद में (k + 1) चर होते हैं।
• ये k चर जो प्रत्येक π-पद में बार-बार आते हैं, परिणामस्वरूप आवर्ती चर कहलाते हैं और चरों में से चुने जाते हैं जैसे कि वे सभी मूल आयामों को एक साथ शामिल करते हैं और वे स्वयं एक आयामहीन पैरामीटर नहीं बनाते हैं।
• विमीय विश्लेषण में बकिंघम π प्रमेय कहता है कि यदि किसी भौतिक प्रक्रिया में n चर और k मूल आयाम शामिल हैं, तो निर्मित किए जा सकने वाले आयामहीन समूहों (π पदों) की संख्या n - k है।

धारणा:

फ़्रॉड संख्या जड़त्व बल से गुरुत्वाकर्षण बल का अनुपात है।

\(\text{Froude }\!\!~\!\!\text{ number}=\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\sqrt{\frac{\text{Inertia force }\!\!~\!\!\text{ }}{\text{Gravitational force }\!\!~\!\!\text{ }}}\)

फ़्रॉड संख्या के अनुप्रयोग निम्नवत हैं:

• इसका प्रयोग नदी के प्रवाह, खुले चैनलों का प्रवाह, अधिप्लव मार्ग, बोट द्वारा निर्मित सतही तरंग गति की स्थितियों में किया जाता है
• इसका उपयोग प्रवाह वर्गीकरण के लिए किया जा सकता है

महत्वपूर्ण बिंदु:

\(\text{Reynold's number}=\frac{\text{Inertia force}}{\text{Viscous force}}\)

\(\text{Euler }\!\!~\!\!\text{ number}=\sqrt{\frac{\text{Inertia force}}{\text{Pressure force}}}\)

\(\text{Weber }\!\!~\!\!\text{ number}=\sqrt{\frac{\text{Inertia force}}{\text{Surface Tension force}}}\)

\(\text{Mach }\!\!~\!\!\text{ number}=\sqrt{\frac{\text{Inertia force}}{\text{Compressibility force}}}\)

अवधारणा:

एकांक चाल यानी एकांक दाबोच्यता के अधीन टरबाइन की चाल,

\({{\rm{N}}_{\rm{a}}} = \frac{{\rm{N}}}{{\sqrt {\rm{H}} }}\)

दिया गया है: P = 400 kW, H1 = 81 m, N1 = 225 rpm और H2 = 64 m

ज्ञात करना है: N2 = ?

गणना:

\(\frac{{{{\rm{N}}_1}}}{{\sqrt {{{\rm{H}}_1}} }} = \frac{{{{\rm{N}}_2}}}{{\sqrt {{{\rm{H}}_2}} }} \Rightarrow \frac{{225}}{{\sqrt {81} }} = \frac{{{{\rm{N}}_2}}}{{\sqrt {64} }}\)

\(\Rightarrow {{\rm{N}}_2} = 200 \ rpm\)

वर्णन:

वेबर संख्या:

वेबर संख्या गतिशील दबाव (अर्थात जड़त्व बल) से सतह के तनाव के कारण दाब का अनुपात है।

\({W_e} = \sqrt {\frac{{inertia\;force}}{{surface\;tension}}} = \frac{V}{{\sqrt {\sigma /\rho L} }}\) \(\frac{V}{{\sqrt {\sigma /\rho L} }}\)

Additional Information

नीचे दी गई तालिका में अन्य महत्वपूर्ण आयाम रहित संख्याओं का वर्णन किया गया है:

स्पष्टीकरण:

विमा:

घनत्व (ρ) = [ML^-3]

कोणीय वेग(ω) = [T^-1]

गतिक वेग (μ) = [ML^-1T^-1]

अभिलक्षण व्यास (D) = [L]

बकिंघम π -विधि द्वारा:

π = [ρ^a, ω^b, D^c] μ 

जहाँ,

π = विमारहित संख्या

π = [ML^-3]^a [T^-1]^b [L]^c [ML^-1T^-1]

दोनों पक्षों की विमा को बराबर करने पर;

a = -1

b = -1

c = -2

μ/ρωD² विमारहित पद है।

अवधारणा:

• आयाम: जब किसी व्युत्पन्न राशी को मूलभूत राशियों के संदर्भ में व्यक्त किया जाता है तो इसे मौलिक राशियों के विभिन्न घातों के गुणनफल के रूप में लिखा जाता है।
• दी गई भौतिक मात्रा को व्यक्त करने के लिए जिन घातों को मौलिक राशी में उठाया जाना चाहिए, वे इसके आयाम कहलाते हैं।
• बिना आयामों वाली राशि सामान्यतः दो समान आयामों वाली राशि का अनुपात होती है जो एक दूसरे की इकाई को रद्द कर देगी। इस प्रकार उनकी कोई इकाई नहीं होती है।
• कोण: इसे चाप की लंबाई और त्रिज्या के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है यानी,\(Angle\;\left( \theta \right) = \frac{{length\;of\;arc\;\left( l \right)}}{{radius\;\left( r \right)}}\)

\( \Rightarrow \theta = \frac{{\left[ {{M^0}L{T^0}} \right]}}{{\left[ {{M^0}L{T^0}} \right]}} = 1\)

∴ कोण एक आयाम रहित राशी है

• विकृति: इसे लंबाई में परिवर्तन के लिए मूल लंबाई के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है। यानी

\(Strain = \frac{{change\;in\;length\;\left( {{\rm{\Delta }}l} \right)}}{{original\;length\;\left( l \right)}}\)

\( \Rightarrow Strain = \frac{{\left[ {{M^0}L{T^0}} \right]}}{{\left[ {{M^0}L{T^0}} \right]}} = 1\)

∴ विकृति एक आयामहीन राशी है

• विशिष्ट गुरुत्व: यह किसी पदार्थ के घनत्व के लिए किसी दिए गए संदर्भ सामग्री के घनत्व का अनुपात है यानी

\(Specific\;gravity\;\left( \rho \right) = \frac{{Density\;of\;the\;object\;\left( {{\rho _{object}}} \right)}}{{Density\;of\;water\;\left( {{\rho _{water}}} \right)}}\)

\( \Rightarrow Specific\;gravity = \frac{{\left[ {M{L^3}{T^0}} \right]}}{{\left[ {M{L^3}{T^0}} \right]}} = 1\)

∴ विशिष्ट गुरुत्व एक आयामहीन राशी है

व्याख्या:

उपरोक्त चर्चा से हम कह सकते हैं कि:

• कोण चाप की लंबाई और त्रिज्या का अनुपात है। चूंकि दोनों में लंबाई का आयाम है इसलिए कोण एक आयाम रहित मात्रा है। तो विकल्प 1 इस प्रकार है।
• विकृति: इसे लंबाई में परिवर्तन के लिए मूल लंबाई के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है। चूंकि दोनों के लंबाई के आयाम है इसलिए विकृति एक आयामहीन मात्रा है। तो विकल्प 2 इस प्रकार है।
• विशिष्ट गुरुत्व: यह किसी पदार्थ के घनत्व को दिए गए संदर्भ सामग्री के घनत्व का अनुपात है। चूंकि दोनों में घनत्व का आयाम है इसलिए विशिष्ट गुरुत्व एक आयामहीन मात्रा है। तो विकल्प 3 इस प्रकार है।

जैसा कि दिए गए तीन विकल्प सही हैं।

तो सही विकल्प 4 है।

व्याख्या:

बकिंघम का पाई प्रमेय:

मान लीजिए, एक भौतिक घटना का वर्णन n स्वतंत्र चरों की संख्या द्वारा किया जाता है जैसे: x1, x2, x3, ..., xn

इस घटना को विश्लेषणात्मक रूप से नियंत्रित चर के एक अंतर्निहित कार्यात्मक संबंध द्वारा व्यक्त किया जा सकता है:

f(x1, x2, x3, ……………, xn) = 0

अब यदि k इन n चरों में शामिल द्रव्यमान, लंबाई, समय, तापमान आदि जैसे मौलिक/प्राथमिक आयामों की संख्या हो, तो बकिंघम के पाई प्रमेय के अनुसार -

इस घटना का वर्णन (n - m) स्वतंत्र आयामहीन/गैर-आयामी समूहों जैसे π1, π2, ..., πn-m, के संदर्भ में किया जा सकता है, जहां p शब्द, आयाम रहित पैरामीटर का प्रतिनिधित्व करते हैं और कई के विभिन्न संयोजनों को शामिल करते हैं समस्या को परिभाषित करने वाले n स्वतंत्र चरों में से आयामी चर।

धारणा:

फ़्रॉड संख्या जड़त्व बल और गुरुत्वाकर्षण बल का अनुपात है।

\(\text{Froude }\!\!~\!\!\text{ number}=\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\sqrt{\frac{\text{Inertia force }\!\!~\!\!\text{ }}{\text{Gravitational force }\!\!~\!\!\text{ }}}\)

फ़्रॉड संख्या के अनुप्रयोग निम्नवत हैं:

• इसका प्रयोग नदी के प्रवाह, खुले चैनलों का प्रवाह, अधिप्लव मार्ग, बोट द्वारा निर्मित सतही तरंग गति की स्थितियों में किया जाता है
• इसका उपयोग प्रवाह वर्गीकरण के लिए किया जा सकता है

Important Points

\(\text{Reynold's number}=\frac{\text{Inertia force}}{\text{Viscous force}}\)

\(\text{Euler }\!\!~\!\!\text{ number}=\sqrt{\frac{\text{Inertia force}}{\text{Pressure force}}}\)

\(\text{Weber }\!\!~\!\!\text{ number}=\sqrt{\frac{\text{Inertia force}}{\text{Surface Tension force}}}\)

\(\text{Mach }\!\!~\!\!\text{ number}=\sqrt{\frac{\text{Inertia force}}{\text{Compressibility force}}}\)

स्पष्टीकरण:

क्रांतिक प्रवाह

इसे उस प्रवाह के रूप में परिभाषित किया जाता है जिस पर विशिष्ट ऊर्जा न्यूनतम होती है या क्रांतिक गहराई के अनुरूप प्रवाह को क्रांतिक प्रवाह के रूप में परिभाषित किया जाता है।

क्रांतिक गहराई के साथ क्रांतिक वेग का संबंध है:

\({V_c} = \sqrt {g \times {h_c}} \)

\(\frac{{{V_c}}}{{\sqrt {g \times {h_c}} }} = Froude\;number = 1\)

क्रांतिक प्रवाह के लिए फ़्रॉड संख्या 1 है।

शांत प्रवाह या धारा प्रवाह या उप-क्रांतिक प्रवाह

• जब किसी चैनल में प्रवाह की गहराई क्रांतिक गहराई (hc) से अधिक होती है तो प्रवाह को उप-क्रांतिक प्रवाह कहा जाता है।
• उप-क्रांतिक प्रवाह के लिए फ़्रॉड संख्या 1 से कम है।

मूसलाधार प्रवाह या शूटिंग प्रवाह या अति-क्रांतिकप्रवाह

• जब किसी चैनल में प्रवाह की गहराई क्रांतिकगहराई (hc) से कम होती है तो प्रवाह को अति-क्रांतिकप्रवाह कहा जाता है।
• अति-क्रांतिकप्रवाह के लिए फ़्रॉड संख्या 1 से अधिक है।

संकल्पना:

फ्राउड माॅडल नियम :

जड़त्व बल के अतिरिक्त गुरुत्वाकर्षण बल ही एकमात्र प्रमुख बल है, जो गति को नियंत्रित करता है।

(F_r)_model = (F_r)_prototype

या,

\(\frac{{{V_m}}}{{\sqrt {{g_m}{L_m}} }} = \frac{{{V_p}}}{{\sqrt {{g_p}{L_p}} }}\)

\(\frac{{{V_r}}}{{\sqrt {{g_r}{L_r}} }} = 1\)

\({V_r} = \sqrt {{g_r}{L_r}}\)

चूँकि,ज्यादातर मामलों में g_r = 1है, तब

V_r = √L_r ………(i)

∵ वेग= दूरी/समय

तो, V_r = L_r/T_r

T_r = L_r/V_r = L_r/√L_r = √L_r

या

\(\frac{{{T_m}}}{{{T_p}}} = \sqrt {\frac{{{L_m}}}{{{L_p}}}}\)

गणना:

दियाा गया है,

L_r = 1/36, T_m = 3 hour

∵ हम जानते हैं कि, T_r = √L_r

\(\frac{3}{{{T_p}}} = \sqrt {\frac{1}{{36}}}\)

⇒ T_p = 18 घण्टे

वर्णन: