Evaluation of Limits MCQ Quiz in తెలుగు - Objective Question with Answer for Evaluation of Limits - ముఫ్త్ [PDF] డౌన్‌లోడ్ కరెన్

గణన:

ఇచ్చినది, \(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1-\cos 2 x) \sin 5 x}{x^2 \sin 3 x}\)

= \(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1-\cos 2 x) \sin 5 x \cdot x}{x^3 \cdot \sin 3 x}\)

= \(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 \sin ^2 x}{x^2} \cdot \frac{\sin 5 x}{x} \cdot \frac{x}{\sin 3 x}\)

= \(2\left(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}\right)^2 \cdot 5\left(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 5 x}{5 x}\right) \cdot \frac{1}{3}\left(\frac{1}{\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 3 x}{3 x}}\right)\)

= 2 x 1 x 5 x 1 x \(\frac{1}{3}\) x 1

= \(\frac{10}{3}\)

కాబట్టి, పరిమితి విలువ \(\frac{10}{3}\).

సరైన సమాధానం ఎంపిక 1.

ఇచ్చినది:

\(\rm \displaystyle \lim_{θ\rightarrow 0}\frac{1-\cos m θ}{1-\cos nθ}\)

భావన:

పరిమితి భావనను ఉపయోగించండి.

\(\rm \lim_{x\rightarrow0}\frac{sinx}{x}=1\)

మరియు సూత్రం \(\rm cos2θ=1-2sin^2θ\)

గణన:

\(\rm \displaystyle \lim_{θ\rightarrow 0}\frac{1-\cos m θ}{1-\cos nθ}\)

\(\rm \displaystyle =\lim_{θ\rightarrow 0}\frac{1-(1-2\sin^2 \frac{m θ}{2})}{1-(1-2\sin^2 \frac{nθ}{2})}\)

\(\rm \displaystyle =\lim_{θ\rightarrow 0}\frac{2\sin^2 \frac{m θ}{2}}{2\sin^2 \frac{nθ}{2}}\)

\(\rm \displaystyle =\frac{\lim_{θ\rightarrow 0}\sin^2 \frac{m θ}{2}}{\lim_{θ\rightarrow 0}\sin^2 \frac{nθ}{2}}\)

m²θ/n²θ తో గుణించి భాగించండి

\(\rm =\frac{m^2θ}{n^2θ}=\frac{m^2}{n^2}\)

కాబట్టి 4వ ఎంపిక సరైనది.

కాన్సెప్ట్ :

L' హాస్పిటల్ నియమం:

• ఈ పద్ధతిలో, ముందుగా, మనం పరిమితిని భర్తీ చేసిన తర్వాత ఫంక్షన్ యొక్క రూపం \(\frac{0}{0}\;or\frac{\infty }{\infty }\) అని చెక్ చేయాలి.
• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) = \frac{0}{0}\;or\frac{\infty }{\infty }\) అప్పుడు \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) = l \ne \frac{0}{0}\) ఇక్కడ l అనేది పరిమిత విలువ
• f(x) అనేది హేతుబద్ధమైన ఫంక్షన్ అయితే, లవం మరియు హారంను కారకం చేయండి, సాధారణ కారకాలను రద్దు చేయండి మరియు x = aని భర్తీ చేయడం ద్వారా f(x) ఫంక్షన్ పరిమితిని అంచనా వేయండి.

ఉపయోగించిన ఫార్ములా:

\(\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}\)

\(\frac{d}{dx}\sqrt x=\frac{1}{2\sqrt x}\)

లెక్కింపు:

y = \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{x-1}{\sqrt{x+3}-2}\)

x = 1 వద్ద, ఫంక్షన్ 0/0 నుండి ఇవ్వడాన్ని మనం చూడవచ్చు. అందుకే,

L' హాస్పిటల్ నియమాన్ని వర్తింపజేయండి

⇒ y = \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{\frac{d}{dx}(x-1)}{\frac{d}{dx}(\sqrt{x+3}-2)}\)

పైన చర్చించిన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం ద్వారా

⇒ y = \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{1}{{\frac{1}{2\sqrt{(x+3)}}}-0}\)

పరిమితిని తీసుకోవడం ద్వారా

⇒ y = \(\frac{1}{\frac{1}{4}}\) = 4

∴ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{x-1}{\sqrt{x+3}-2}\) = 4

ఇవ్వబడినవి:

log 2 = 0.3010

log 3 = 0.4771

ఉపయోగించిన ఫార్ములా:

log (x × y) = log x + log y

లెక్కింపు:

log 6 = log (2.3)

⇒ log (2.3) = log 2 + log 3

⇒ log (2.3) = 0.3010 + 0.4771 = 0.7781

∴ log 6 = 0.7781.

Given:

log10 (x - 9) + log10 x = 1

Concept Used:

log_b (M) + log_b (N) = log_b(MN)

Calculations:

log10 (x - 9) + log10 x = 1

⇒ log10 (x - 9)(x) = 1

⇒ log10 (x - 9)(x) = log₁₀10

⇒ x² - 9x - 10 = 0 

⇒ x² - 10x + x - 10 = 0

⇒ x(x - 10) + 1(x - 10) = 0 

⇒ (x + 1)(x - 10) = 0 

⇒ x = -1 and x = 10 

∴ option 4 is correct 

ఇచ్చినది:

\(\rm \displaystyle \lim_{θ\rightarrow 0}\frac{1-\cos m θ}{1-\cos nθ}\)

భావన:

పరిమితి భావనను ఉపయోగించండి.

\(\rm \lim_{x\rightarrow0}\frac{sinx}{x}=1\)

మరియు సూత్రం \(\rm cos2θ=1-2sin^2θ\)

గణన:

\(\rm \displaystyle \lim_{θ\rightarrow 0}\frac{1-\cos m θ}{1-\cos nθ}\)

\(\rm \displaystyle =\lim_{θ\rightarrow 0}\frac{1-(1-2\sin^2 \frac{m θ}{2})}{1-(1-2\sin^2 \frac{nθ}{2})}\)

\(\rm \displaystyle =\lim_{θ\rightarrow 0}\frac{2\sin^2 \frac{m θ}{2}}{2\sin^2 \frac{nθ}{2}}\)

\(\rm \displaystyle =\frac{\lim_{θ\rightarrow 0}\sin^2 \frac{m θ}{2}}{\lim_{θ\rightarrow 0}\sin^2 \frac{nθ}{2}}\)

m²θ/n²θ తో గుణించి భాగించండి

\(\rm =\frac{m^2θ}{n^2θ}=\frac{m^2}{n^2}\)

కాబట్టి 4వ ఎంపిక సరైనది.

సిద్ధాంతం:

\(\rm \lim_{x\rightarrow a}\)f(x) పరిమితంగా ఉనికిలో ఉంది మరియు \(\rm \lim_{x\rightarrow a}\) g(x) పరిమితంగా ఉనికిలో ఉంది. అప్పుడు \(\rm \lim_{x\rightarrow a}\) [f(x)+g(x)] = \(\rm \lim_{x\rightarrow a}\)f(x) + \(\rm \lim_{x\rightarrow a}\)g(x)

వివరణ:

\(\rm \lim_{x\rightarrow a}\)f(x)=L మరియు \(\rm \lim_{x\rightarrow a}\)g(x) =M

అప్పుడు, \(\rm \lim_{x\rightarrow a}\)[f(x)+g(x)] = \(\rm \lim_{x\rightarrow a}\)f(x) + \(\rm \lim_{x\rightarrow a}\)g(x) = L+M

కాబట్టి, (1) ఎంపిక సరైనది

కాన్సెప్ట్ :

L' హాస్పిటల్ నియమం:

• ఈ పద్ధతిలో, ముందుగా, మనం పరిమితిని భర్తీ చేసిన తర్వాత ఫంక్షన్ యొక్క రూపం \(\frac{0}{0}\;or\frac{\infty }{\infty }\) అని చెక్ చేయాలి.
• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) = \frac{0}{0}\;or\frac{\infty }{\infty }\) అప్పుడు \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) = l \ne \frac{0}{0}\) ఇక్కడ l అనేది పరిమిత విలువ
• f(x) అనేది హేతుబద్ధమైన ఫంక్షన్ అయితే, లవం మరియు హారంను కారకం చేయండి, సాధారణ కారకాలను రద్దు చేయండి మరియు x = aని భర్తీ చేయడం ద్వారా f(x) ఫంక్షన్ పరిమితిని అంచనా వేయండి.

ఉపయోగించిన ఫార్ములా:

\(\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}\)

\(\frac{d}{dx}\sqrt x=\frac{1}{2\sqrt x}\)

లెక్కింపు:

y = \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{x-1}{\sqrt{x+3}-2}\)

x = 1 వద్ద, ఫంక్షన్ 0/0 నుండి ఇవ్వడాన్ని మనం చూడవచ్చు. అందుకే,

L' హాస్పిటల్ నియమాన్ని వర్తింపజేయండి

⇒ y = \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{\frac{d}{dx}(x-1)}{\frac{d}{dx}(\sqrt{x+3}-2)}\)

పైన చర్చించిన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం ద్వారా

⇒ y = \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{1}{{\frac{1}{2\sqrt{(x+3)}}}-0}\)

పరిమితిని తీసుకోవడం ద్వారా

⇒ y = \(\frac{1}{\frac{1}{4}}\) = 4

∴ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{x-1}{\sqrt{x+3}-2}\) = 4

ఇవ్వబడినవి:

log 2 = 0.3010

log 3 = 0.4771

ఉపయోగించిన ఫార్ములా:

log (x × y) = log x + log y

లెక్కింపు:

log 6 = log (2.3)

⇒ log (2.3) = log 2 + log 3

⇒ log (2.3) = 0.3010 + 0.4771 = 0.7781

∴ log 6 = 0.7781.

గణన:

ఇచ్చినది, \(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1-\cos 2 x) \sin 5 x}{x^2 \sin 3 x}\)

= \(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1-\cos 2 x) \sin 5 x \cdot x}{x^3 \cdot \sin 3 x}\)

= \(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 \sin ^2 x}{x^2} \cdot \frac{\sin 5 x}{x} \cdot \frac{x}{\sin 3 x}\)

= \(2\left(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}\right)^2 \cdot 5\left(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 5 x}{5 x}\right) \cdot \frac{1}{3}\left(\frac{1}{\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 3 x}{3 x}}\right)\)

= 2 x 1 x 5 x 1 x \(\frac{1}{3}\) x 1

= \(\frac{10}{3}\)

కాబట్టి, పరిమితి విలువ \(\frac{10}{3}\).

సరైన సమాధానం ఎంపిక 1.

ఇవ్వబడినది:

f(x) = logx (log x)

లెక్కింపు:

మన దగ్గర ఉంది,

f(x) = logx(logx)

⇒ \(f(x) = \frac{log(logx)}{logx}\)

'x'కి సంబంధించి రెండు వైపులా డిఫరెన్షియేషన్ చేయగా,

⇒ \(f'(x) = \frac{(logx)\frac{d}{dx}log(logx) - log(logx)\frac{d}{dx}logx}{(logx)^2}\)

⇒ \(f'(x) = \frac{logx(\frac{1}{logx}.\frac{1}{x}) - log(logx).\frac{1}{x}}{(logx)^2}\)

⇒ \(f'(x) = \frac{\frac{1}{x} - \left[\frac{log(logx)}{x}\right]}{(logx)^2}\)

ఇప్పుడు, x = e ఉంచండి,

⇒ \(f'(e) = \frac{\frac{1}{e} - \frac{(log\ log\ e)}{e}}{(log\ e)^2}\)

⇒ \(f'(e) = \frac{1}{e}\) [∵ log e = 1]

∴ x = e వద్ద ఫంక్షన్ విలువ \(\frac{1}{e}\)