Discontinuity MCQ Quiz in తెలుగు - Objective Question with Answer for Discontinuity - ముఫ్త్ [PDF] డౌన్‌లోడ్ కరెన్

కాన్సెప్ట్:

f(x) x వద్ద నిరంతరంగా ఉంటుంది= a, if LHL = RHL = f(a)

 \(\rm\lim _{x \rightarrow a^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=lim _{x \rightarrow a} f(x)\)

 f(x) భేదమైనదిif LHD = RHD

\(\begin{array}{l} \rm L H D=\lim _{h \rightarrow 0^{-}} \frac{f(a-h)-f(a)}{-h} \\ \rm R H D=\lim _{h \rightarrow 0^{+}} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} \end{array}\)

మొదటి రకం యొక్క నిలిపివేత: ఫంక్షన్ యొక్క కుడి చేయి ఉనికిలో ఉన్నట్లయితే f(a)కి సమానం కానట్లయితే, f(x) అనేది x = a వద్ద కుడివైపు నుండి మొదటి రకం యొక్క నిలిపివేతను కలిగి ఉంటుంది.

రెండవ రకం యొక్క నిలిపివేత: f(x) x = a వద్ద f(x) యొక్క ఎడమ చేతి పరిమితి లేదా f(x యొక్క కుడి-చేతి పరిమితి కానట్లయితే, f(x) x = a వద్ద రెండవ రకమైన నిలిపివేతను కలిగి ఉంటుంది. x = a వద్ద ఉంది.

తొలగించగల నిలిపివేత: ఒక ప్రమేయం f(x) x = a వద్ద తొలగించగల నిలిపివేతను కలిగి ఉంటుందని చెప్పబడింది, x వద్ద ఎడమ చేతి పరిమితి 'a' పాయింట్‌కి సమానంగా ఉంటే x వద్ద 'a' పాయింట్‌కి కుడివైపు పరిమితి ఉంటుంది. కానీ వాటి సాధారణ విలువ f(a)కి సమానం కాదు.

సాధన:

\(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{\left| x \right|}}{x}}\\ {0,} \end{array}\begin{array}{*{20}{c}} {,x ≠ 0}\\ {x = 0} \end{array}} \right.\)

x ≠ 0 కొరకు,

f(x) = -x/x = -1,   if x < 0

f(x) = x/x = 1. if x > 0

ఇపుడు,

LHL = \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^- }f(x)=\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^- }-x/x=-1\)

RHL = \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^+ }f(x)=\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^+}x/x=1\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0 }f(x) = 0\)

నుండి,

LHL ≠ RHL

x = 0 వద్ద ప్రమేయం నిరంతరంగా లేదని మనం చెప్పగలం

x = 0 మాత్రమే, నిలిపివేత బిందువు.

నిర్వచనం ఆధారంగా, ప్రమేయం మొదటి రకమైన నిలిపివేతను కలిగి ఉంది.

వివరణ:

f(x) = [x] ఫలము యొక్క నిలిపివేత బిందువును కనుగొనడానికి, f(x) = [x] ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను గీయండి.

గరిష్ట పూర్ణాంకం ఫలము: (ఫ్లోర్ ఫంక్షన్)

f (x) = [x] ఫలముని గరిష్ట  పూర్ణాంకం ఫలము అంటారు మరియు దీని అర్థం x అంటే [x] ≤ x కంటే తక్కువ లేదా సమానమైన గరిష్ట పూర్ణాంకం.

[x] డొమైన్ R మరియు పరిధి I, ఇక్కడ R అనేది వాస్తవ సంఖ్యల సమితి మరియు I అనేది పూర్ణాంకాల సమితి.

గ్రాఫ్ నుండి, ప్రతి పూర్ణాంకం వద్ద ఫలము నిలిపివేయబడుతుందని మనం చెప్పగలం.

అందువల్ల, f(x) = [x] నిరంతరాయమైన ఫలము అనంతమైన పాయింట్ల వద్ద 

వివరణ:

f(x) = [x] ఫలము యొక్క నిలిపివేత బిందువును కనుగొనడానికి, f(x) = [x] ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను గీయండి.

గరిష్ట పూర్ణాంకం ఫలము: (ఫ్లోర్ ఫంక్షన్)

f (x) = [x] ఫలముని గరిష్ట  పూర్ణాంకం ఫలము అంటారు మరియు దీని అర్థం x అంటే [x] ≤ x కంటే తక్కువ లేదా సమానమైన గరిష్ట పూర్ణాంకం.

[x] డొమైన్ R మరియు పరిధి I, ఇక్కడ R అనేది వాస్తవ సంఖ్యల సమితి మరియు I అనేది పూర్ణాంకాల సమితి.

గ్రాఫ్ నుండి, ప్రతి పూర్ణాంకం వద్ద ఫలము నిలిపివేయబడుతుందని మనం చెప్పగలం.

అందువల్ల, f(x) = [x] నిరంతరాయమైన ఫలము అనంతమైన పాయింట్ల వద్ద 

కాన్సెప్ట్:

f(x) x వద్ద నిరంతరంగా ఉంటుంది= a, if LHL = RHL = f(a)

 \(\rm\lim _{x \rightarrow a^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=lim _{x \rightarrow a} f(x)\)

 f(x) భేదమైనదిif LHD = RHD

\(\begin{array}{l} \rm L H D=\lim _{h \rightarrow 0^{-}} \frac{f(a-h)-f(a)}{-h} \\ \rm R H D=\lim _{h \rightarrow 0^{+}} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} \end{array}\)

మొదటి రకం యొక్క నిలిపివేత: ఫంక్షన్ యొక్క కుడి చేయి ఉనికిలో ఉన్నట్లయితే f(a)కి సమానం కానట్లయితే, f(x) అనేది x = a వద్ద కుడివైపు నుండి మొదటి రకం యొక్క నిలిపివేతను కలిగి ఉంటుంది.

రెండవ రకం యొక్క నిలిపివేత: f(x) x = a వద్ద f(x) యొక్క ఎడమ చేతి పరిమితి లేదా f(x యొక్క కుడి-చేతి పరిమితి కానట్లయితే, f(x) x = a వద్ద రెండవ రకమైన నిలిపివేతను కలిగి ఉంటుంది. x = a వద్ద ఉంది.

తొలగించగల నిలిపివేత: ఒక ప్రమేయం f(x) x = a వద్ద తొలగించగల నిలిపివేతను కలిగి ఉంటుందని చెప్పబడింది, x వద్ద ఎడమ చేతి పరిమితి 'a' పాయింట్‌కి సమానంగా ఉంటే x వద్ద 'a' పాయింట్‌కి కుడివైపు పరిమితి ఉంటుంది. కానీ వాటి సాధారణ విలువ f(a)కి సమానం కాదు.

సాధన:

\(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{\left| x \right|}}{x}}\\ {0,} \end{array}\begin{array}{*{20}{c}} {,x ≠ 0}\\ {x = 0} \end{array}} \right.\)

x ≠ 0 కొరకు,

f(x) = -x/x = -1,   if x < 0

f(x) = x/x = 1. if x > 0

ఇపుడు,

LHL = \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^- }f(x)=\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^- }-x/x=-1\)

RHL = \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^+ }f(x)=\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^+}x/x=1\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0 }f(x) = 0\)

నుండి,

LHL ≠ RHL

x = 0 వద్ద ప్రమేయం నిరంతరంగా లేదని మనం చెప్పగలం

x = 0 మాత్రమే, నిలిపివేత బిందువు.

నిర్వచనం ఆధారంగా, ప్రమేయం మొదటి రకమైన నిలిపివేతను కలిగి ఉంది.

వివరణ:

f(x) = [x] ఫలము యొక్క నిలిపివేత బిందువును కనుగొనడానికి, f(x) = [x] ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను గీయండి.

గరిష్ట పూర్ణాంకం ఫలము: (ఫ్లోర్ ఫంక్షన్)

f (x) = [x] ఫలముని గరిష్ట  పూర్ణాంకం ఫలము అంటారు మరియు దీని అర్థం x అంటే [x] ≤ x కంటే తక్కువ లేదా సమానమైన గరిష్ట పూర్ణాంకం.

[x] డొమైన్ R మరియు పరిధి I, ఇక్కడ R అనేది వాస్తవ సంఖ్యల సమితి మరియు I అనేది పూర్ణాంకాల సమితి.

గ్రాఫ్ నుండి, ప్రతి పూర్ణాంకం వద్ద ఫలము నిలిపివేయబడుతుందని మనం చెప్పగలం.

అందువల్ల, f(x) = [x] నిరంతరాయమైన ఫలము అనంతమైన పాయింట్ల వద్ద 

కాన్సెప్ట్:

f(x) x వద్ద నిరంతరంగా ఉంటుంది= a, if LHL = RHL = f(a)

 \(\rm\lim _{x \rightarrow a^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=lim _{x \rightarrow a} f(x)\)

 f(x) భేదమైనదిif LHD = RHD

\(\begin{array}{l} \rm L H D=\lim _{h \rightarrow 0^{-}} \frac{f(a-h)-f(a)}{-h} \\ \rm R H D=\lim _{h \rightarrow 0^{+}} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} \end{array}\)

మొదటి రకం యొక్క నిలిపివేత: ఫంక్షన్ యొక్క కుడి చేయి ఉనికిలో ఉన్నట్లయితే f(a)కి సమానం కానట్లయితే, f(x) అనేది x = a వద్ద కుడివైపు నుండి మొదటి రకం యొక్క నిలిపివేతను కలిగి ఉంటుంది.

రెండవ రకం యొక్క నిలిపివేత: f(x) x = a వద్ద f(x) యొక్క ఎడమ చేతి పరిమితి లేదా f(x యొక్క కుడి-చేతి పరిమితి కానట్లయితే, f(x) x = a వద్ద రెండవ రకమైన నిలిపివేతను కలిగి ఉంటుంది. x = a వద్ద ఉంది.

తొలగించగల నిలిపివేత: ఒక ప్రమేయం f(x) x = a వద్ద తొలగించగల నిలిపివేతను కలిగి ఉంటుందని చెప్పబడింది, x వద్ద ఎడమ చేతి పరిమితి 'a' పాయింట్‌కి సమానంగా ఉంటే x వద్ద 'a' పాయింట్‌కి కుడివైపు పరిమితి ఉంటుంది. కానీ వాటి సాధారణ విలువ f(a)కి సమానం కాదు.

సాధన:

\(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{\left| x \right|}}{x}}\\ {0,} \end{array}\begin{array}{*{20}{c}} {,x ≠ 0}\\ {x = 0} \end{array}} \right.\)

x ≠ 0 కొరకు,

f(x) = -x/x = -1,   if x < 0

f(x) = x/x = 1. if x > 0

ఇపుడు,

LHL = \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^- }f(x)=\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^- }-x/x=-1\)

RHL = \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^+ }f(x)=\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^+}x/x=1\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0 }f(x) = 0\)

నుండి,

LHL ≠ RHL

x = 0 వద్ద ప్రమేయం నిరంతరంగా లేదని మనం చెప్పగలం

x = 0 మాత్రమే, నిలిపివేత బిందువు.

నిర్వచనం ఆధారంగా, ప్రమేయం మొదటి రకమైన నిలిపివేతను కలిగి ఉంది.