Binomial Expansion MCQ Quiz in తెలుగు - Objective Question with Answer for Binomial Expansion - ముఫ్త్ [PDF] డౌన్‌లోడ్ కరెన్

గణన

\( 1(1-2x)^{18}+ax(1-2x)^{18}+bx^{2}(1-2x)^{18} \)

\( x^{3} \) గుణకం: \( (-2)^{3} \: ^{18}C_3 \) + \( a\times(-2)^{2} \times^{18}C_2 \) + \( b\times(-2) \times{^{18}C_1} = 0 \)

⇒ \( \displaystyle \frac{4\times (17\times 16)}{(3\times 2)}-2a\cdot \displaystyle \frac{17}{2}+b=0 \cdots (i) \)

\( x^{4} \) గుణకం: \( (-2)^{4} \: ^{18}C_4 \) + \( a\times(-2)^{3} \times^{18}C_3 \) + \( b\times(-2)^{2} \times{^{18}C_2} = 0 \)

⇒ \( (4\times 20)-2a\cdot \displaystyle \frac{16}{3}+b=0 \cdots (ii) \)

సమీకరణం \( (i) \) మరియు \( (ii) \) నుండి,

⇒ \( 4\left ( \displaystyle \frac{17\times 8}{3} -20\right )+2a \left( \displaystyle \frac{16}{3} -\displaystyle \frac{17}{2}\right )=0 \)

⇒ \( 4\left ( \displaystyle \frac{17\times 8-60}{3} \right )+ \displaystyle \frac{2a(-19)}{6}=0 \)

⇒ \( a=\displaystyle \frac{4\times 76\times 6}{3\times 2\times 19} \)

\( \Rightarrow a=16 \)

\( \Rightarrow b=\displaystyle \frac{2\times 16\times 16}{3}-80=\displaystyle \frac{272}{3} \)

కాబట్టి 4వ ఎంపిక సరైనది

సిద్ధాంతం:

• (1 + x)^r విస్తరణలో (r + 1)వ పదం గుణకం ⁿC_rx^r.
• మనకు తెలుసు \(\rm\frac{^{n}C_{r}}{^{n}C_{r-1}}=\frac{n-r+1}{r}\).

గణన:

(1 + x)¹⁴ విస్తరణలో rవ పదం గుణకం 14Cr-1

(1 + x)¹⁴ విస్తరణలో (r + 1)వ పదం గుణకం ¹⁴C_r

(1 + x)¹⁴ విస్తరణలో (r + 2)వ పదం గుణకం 14Cr+1

(1 + x)¹⁴ విస్తరణలో rవ, (r + 1)వ మరియు (r + 2)వ పదాల గుణకాలు అంకశ్రేఢిలో ఉన్నాయని ఇవ్వబడింది.

⇒ 2(14Cr ) = 14Cr-1 + 14Cr+1

సమీకరణాన్ని మళ్ళీ వ్రాయడం.

⇒ \(\rm\frac{^{14}C_{r-1}}{^{14}C_r}+\frac{^{14}C_{r+1}}{^{14}C_r}\) = 2.

మనకు తెలుసు \(\rm\frac{^{n}C_{r}}{^{n}C_{r-1}}=\frac{n-r+1}{r}\)

⇒ \(\rm\frac{r}{14-r+1}+\frac{14-r}{r+1}=2\)

⇒ \(\rm\frac{r^2+r+(15-r)(14-r)}{(15-r)(r+1)}=2\)

⇒ 2r² - 28r + 210 - 2(15 - r)(r + 1) = 0

⇒ 4r² - 56r + 180 = 0

⇒ r² - 14r + 45 = 0

⇒ (r - 5)(r - 9) = 0

⇒ r = 5 లేదా r = 9

r అవసరమైన విలువ 5 లేదా 9.

కాన్సెప్ట్:

సాధారణ సంఖ్య: (x + y)ⁿ యొక్క విస్తరణలో సాధారణ పదం ద్వారా ఇవ్వబడింది

\({T_{\left( {r\; + \;1} \right)}} = \;{\;^n}{C_r} \times {x^{n - r}} \times {y^r}\)

మధ్య సంఖ్య: మధ్య పదం అనేది n విలువపై ఆధారపడి (x + y)ⁿ యొక్క విస్తరణ.

• n సమానంగా ఉంటే , (x + y)ⁿ విస్తరణలో మొత్తం పదాల సంఖ్య n +1. కాబట్టి ఒకే ఒక మధ్య సంఖ్య అంటే \(\left( {\frac{n}{2} + 1} \right){{\rm{\;}}^{th}}\) సంకఖ్య మధ్య సంఖ్య.

\({T_{\left( {\frac{n}{2}\; + \;1} \right)}} = \;{\;^n}{C_{\frac{n}{2}}} \times {x^{\frac{n}{2}}} \times {y^{\frac{n}{2}}}\)

• n బేసి అయితే , (x + y)ⁿ యొక్క విస్తరణలో మొత్తం సంఖ్యల సంఖ్య n + 1. కాబట్టి రెండు మధ్య సంఖ్యలు ఉన్నాయి అంటే \({\left( {\frac{{n\; + \;1}}{2}} \right)^{th}}\;\) మరియు \({\left( {\frac{{n\; + \;3}}{2}} \right)^{th}}\) రెండు మధ్య సంఖ్యలు.

లెక్కింపు:

ఇక్కడ, మేము \(\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)^8\) ద్విపద విస్తరణలో మధ్య సంఖ్య యొక్క గుణకాన్ని కనుగొనాలి.

ఇక్కడ n = 8 (n అనేది సరి సంఖ్య)

∴ మధ్య సంఖ్య = \(\left( {\frac{n}{2} + 1} \right) = \left( {\frac{8}{2} + 1} \right) = 5^{th}\ term\)

కాబట్టి, మధ్య సంఖ్యలు లేదా 5వ  సంఖ్య ఉంటుంది,

T ₅ = \(C^8_4\times (\frac{x}{y})^4\times (\frac{y}{x})^4=\ ^8C_4\)

ఉపయోగించిన భావన:-

(1+x)ⁿ విస్తరణకు, rవ పదం గుణకం,

T(r)=ⁿCr-1

ఇక్కడ, n ధనాత్మక పూర్ణాంకం.

వివరణ:-

(1 + x)¹⁴ విస్తరణలో rవ, (r + 1)వ మరియు (r + 2)వ పదాల గుణకాలు అంకశ్రేఢిలో ఉన్నాయి.

(1 + x)¹⁴ విస్తరణలో rవ పదం గుణకం,

T(r₁)=¹⁴C_r-1

(1 + x)¹⁴ విస్తరణలో (r+1)వ పదం గుణకం,

T(r₂)=¹⁴C_r

(1 + x)¹⁴ విస్తరణలో (r+2)వ పదం గుణకం,

T(r₃)=¹⁴C_r+1

ఇప్పుడు, అంకశ్రేఢికి, మొదటి మరియు మూడవ పదాల మొత్తం రెండవ పదం యొక్క రెట్టింపుకు సమానం. కాబట్టి,

\(\begin{aligned} & \Rightarrow 2\left({ }^{14} \mathrm{C}_{\mathrm{r}}\right)={ }^{14} \mathrm{C}_{\mathrm{r}-1}+{ }^{14} \mathrm{C}_{\mathrm{r}+1} \\ & \Rightarrow \frac{{ }^{14} \mathrm{C}_{\mathrm{r}-1}}{{ }^{14} \mathrm{C}_{\mathrm{r}}}+\frac{{ }^{14} \mathrm{C}_{\mathrm{r}+1}}{{ }^{14} \mathrm{C}_{\mathrm{r}}}=2 \\ & \Rightarrow \frac{\mathrm{r}}{14-\mathrm{r}+1}+\frac{14-\mathrm{r}}{\mathrm{r}+1}=2 \\ & \Rightarrow \frac{\mathrm{r}^2+\mathrm{r}+(15-\mathrm{r})(14-\mathrm{r})}{(15-\mathrm{r})(\mathrm{r}+1)}=2 \\ & \Rightarrow 2 \mathrm{r}^2-18 \mathrm{r}+210+2(15-\mathrm{r})(\mathrm{r}+1)=0 \end{aligned}\)

సమీకరణాన్ని మరింత పరిష్కరించడం ద్వారా,

\(\begin{aligned} & \Rightarrow 4 r^2-56 \mathrm{r}+180=0 \\ & \Rightarrow \mathrm{r}^2-14 \mathrm{r}+45=0 \\ & \Rightarrow \mathrm{r}^2-5\mathrm{r}-9r+45=0 \\ & \Rightarrow \mathrm{r}(r-5)-9(r-5)=0 \\ & \Rightarrow \mathrm(r-5)(r-9)=0 \\ & \Rightarrow \mathrm{r}=5,9 \end{aligned}\)

కాబట్టి, r విలువ 5 లేదా 9. సరైన ఎంపిక 2.

సిద్ధాంతం:

• (1 + x)^r విస్తరణలో (r + 1)వ పదం గుణకం ⁿC_rx^r.
• మనకు తెలుసు \(\rm\frac{^{n}C_{r}}{^{n}C_{r-1}}=\frac{n-r+1}{r}\).

గణన:

(1 + x)¹⁴ విస్తరణలో rవ పదం గుణకం 14Cr-1

(1 + x)¹⁴ విస్తరణలో (r + 1)వ పదం గుణకం ¹⁴C_r

(1 + x)¹⁴ విస్తరణలో (r + 2)వ పదం గుణకం 14Cr+1

(1 + x)¹⁴ విస్తరణలో rవ, (r + 1)వ మరియు (r + 2)వ పదాల గుణకాలు అంకశ్రేఢిలో ఉన్నాయని ఇవ్వబడింది.

⇒ 2(14Cr ) = 14Cr-1 + 14Cr+1

సమీకరణాన్ని మళ్ళీ వ్రాయడం.

⇒ \(\rm\frac{^{14}C_{r-1}}{^{14}C_r}+\frac{^{14}C_{r+1}}{^{14}C_r}\) = 2.

మనకు తెలుసు \(\rm\frac{^{n}C_{r}}{^{n}C_{r-1}}=\frac{n-r+1}{r}\)

⇒ \(\rm\frac{r}{14-r+1}+\frac{14-r}{r+1}=2\)

⇒ \(\rm\frac{r^2+r+(15-r)(14-r)}{(15-r)(r+1)}=2\)

⇒ 2r² - 28r + 210 - 2(15 - r)(r + 1) = 0

⇒ 4r² - 56r + 180 = 0

⇒ r² - 14r + 45 = 0

⇒ (r - 5)(r - 9) = 0

⇒ r = 5 లేదా r = 9

r అవసరమైన విలువ 5 లేదా 9.

కాన్సెప్ట్:

సాధారణ సంఖ్య: (x + y)ⁿ యొక్క విస్తరణలో సాధారణ పదం ద్వారా ఇవ్వబడింది

\({T_{\left( {r\; + \;1} \right)}} = \;{\;^n}{C_r} \times {x^{n - r}} \times {y^r}\)

మధ్య సంఖ్య: మధ్య పదం అనేది n విలువపై ఆధారపడి (x + y)ⁿ యొక్క విస్తరణ.

• n సమానంగా ఉంటే , (x + y)ⁿ విస్తరణలో మొత్తం పదాల సంఖ్య n +1. కాబట్టి ఒకే ఒక మధ్య సంఖ్య అంటే \(\left( {\frac{n}{2} + 1} \right){{\rm{\;}}^{th}}\) సంకఖ్య మధ్య సంఖ్య.

\({T_{\left( {\frac{n}{2}\; + \;1} \right)}} = \;{\;^n}{C_{\frac{n}{2}}} \times {x^{\frac{n}{2}}} \times {y^{\frac{n}{2}}}\)

• n బేసి అయితే , (x + y)ⁿ యొక్క విస్తరణలో మొత్తం సంఖ్యల సంఖ్య n + 1. కాబట్టి రెండు మధ్య సంఖ్యలు ఉన్నాయి అంటే \({\left( {\frac{{n\; + \;1}}{2}} \right)^{th}}\;\) మరియు \({\left( {\frac{{n\; + \;3}}{2}} \right)^{th}}\) రెండు మధ్య సంఖ్యలు.

లెక్కింపు:

ఇక్కడ, మేము \(\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)^8\) ద్విపద విస్తరణలో మధ్య సంఖ్య యొక్క గుణకాన్ని కనుగొనాలి.

ఇక్కడ n = 8 (n అనేది సరి సంఖ్య)

∴ మధ్య సంఖ్య = \(\left( {\frac{n}{2} + 1} \right) = \left( {\frac{8}{2} + 1} \right) = 5^{th}\ term\)

కాబట్టి, మధ్య సంఖ్యలు లేదా 5వ  సంఖ్య ఉంటుంది,

T ₅ = \(C^8_4\times (\frac{x}{y})^4\times (\frac{y}{x})^4=\ ^8C_4\)

వివరణ:

\(\left(2-x^2-\frac{1}{x^2}\right)^{-5}\)

= - \(\left(x^2+\frac{1}{x^2}-2\right)^{-5}\)

= - \(\left[(x-\frac1x)^2\right]^{-5}\)

= - \(\left(x-\frac1x\right)^{-10}\)

= - \(\left(\frac{x^2-1}x\right)^{-10}\)

= - \(\left(\frac{x}{x^2-1}\right)^{10}\) = - \(\frac{x^{10}}{(x^2-1)^{10}}\)

కాబట్టి, \(\left(1-x^2\right)^{20}\left(2-x^2-\frac{1}{x^2}\right)^{-5}\)

= - (x² - 1)²⁰\(\frac{x^{10}}{(x^2-1)^{10}}\)

= - x¹⁰(x² - 1)¹⁰

కాబట్టి x¹⁰ గుణకం

= - ((x² - 1)¹⁰ లోని స్థిర పదం)

= - 1

గణన:

ఇచ్చినది, (1 + x2 - x3)8

= \([1 + x^2(1 - x)]^8\)

= \( ^8C_0 +^8C_1 x^2 (1 - x) + ^8C_2 x^4 (1 - x)^2 +\dots\)

x¹⁰ని కలిగి ఉన్న రెండు పదాలు ⁸C₄ x⁸(1 − x)⁴ మరియు ⁸C₅x¹⁰(1 − x)⁵

కాబట్టి, ఇచ్చిన సమాసంలో x¹⁰ గుణకం ⁸C₄[(1 − x)⁴ విస్తరణలో x² గుణకం] + ⁸C₅ ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది

= 8C4(6) + 8C5

= \(\frac{8!}{4!4!}(6) + \frac{8!}{3!5!}\)

= 70x6 + 54

= 476

∴ x¹⁰ గుణకం 476.

సరైన సమాధానం ఎంపిక 1.

సిద్ధాంతం:

(i) (a + b)ⁿ సమాసానికి సాధారణ పదం

T_r+1 = \(^nC_ra^{n-r}b^{r}\)

(ii) \(^nC_r={n!\over r!(n-r)!}\)

వివరణ:

\(\left(m x+\frac{1}{x}\right)^n \) విస్తరణలో 4వ పదం

T3+1 = \(^nC_3(mx)^{n-3}.(\frac1x)^{3}\) = \(^nC_3m^{n-3}.x^{n-6}\)

ఇచ్చిన షరతు ప్రకారం, 4వ పదం \(\frac{5}{2}\), ఇది x మీద ఆధారపడదు.

కాబట్టి, n - 6 = 0 అంటే, n = 6

అందువల్ల

\(^6C_3m^{3}\) = \(\frac{5}{2}\)

⇒ 20m³ = 5/2

⇒ m3 = 1/8

⇒ m = 1/2

అందువల్ల mn = 6 x \(\frac12\) = 3

కాబట్టి 2వ ఎంపిక సరైనది.

ఉపయోగించిన భావన:-

(1+x)ⁿ విస్తరణకు, rవ పదం గుణకం,

T(r)=ⁿCr-1

ఇక్కడ, n ధనాత్మక పూర్ణాంకం.

వివరణ:-

(1 + x)¹⁴ విస్తరణలో rవ, (r + 1)వ మరియు (r + 2)వ పదాల గుణకాలు అంకశ్రేఢిలో ఉన్నాయి.

(1 + x)¹⁴ విస్తరణలో rవ పదం గుణకం,

T(r₁)=¹⁴C_r-1

(1 + x)¹⁴ విస్తరణలో (r+1)వ పదం గుణకం,

T(r₂)=¹⁴C_r

(1 + x)¹⁴ విస్తరణలో (r+2)వ పదం గుణకం,

T(r₃)=¹⁴C_r+1

ఇప్పుడు, అంకశ్రేఢికి, మొదటి మరియు మూడవ పదాల మొత్తం రెండవ పదం యొక్క రెట్టింపుకు సమానం. కాబట్టి,

\(\begin{aligned} & \Rightarrow 2\left({ }^{14} \mathrm{C}_{\mathrm{r}}\right)={ }^{14} \mathrm{C}_{\mathrm{r}-1}+{ }^{14} \mathrm{C}_{\mathrm{r}+1} \\ & \Rightarrow \frac{{ }^{14} \mathrm{C}_{\mathrm{r}-1}}{{ }^{14} \mathrm{C}_{\mathrm{r}}}+\frac{{ }^{14} \mathrm{C}_{\mathrm{r}+1}}{{ }^{14} \mathrm{C}_{\mathrm{r}}}=2 \\ & \Rightarrow \frac{\mathrm{r}}{14-\mathrm{r}+1}+\frac{14-\mathrm{r}}{\mathrm{r}+1}=2 \\ & \Rightarrow \frac{\mathrm{r}^2+\mathrm{r}+(15-\mathrm{r})(14-\mathrm{r})}{(15-\mathrm{r})(\mathrm{r}+1)}=2 \\ & \Rightarrow 2 \mathrm{r}^2-18 \mathrm{r}+210+2(15-\mathrm{r})(\mathrm{r}+1)=0 \end{aligned}\)

సమీకరణాన్ని మరింత పరిష్కరించడం ద్వారా,

\(\begin{aligned} & \Rightarrow 4 r^2-56 \mathrm{r}+180=0 \\ & \Rightarrow \mathrm{r}^2-14 \mathrm{r}+45=0 \\ & \Rightarrow \mathrm{r}^2-5\mathrm{r}-9r+45=0 \\ & \Rightarrow \mathrm{r}(r-5)-9(r-5)=0 \\ & \Rightarrow \mathrm(r-5)(r-9)=0 \\ & \Rightarrow \mathrm{r}=5,9 \end{aligned}\)

కాబట్టి, r విలువ 5 లేదా 9. సరైన ఎంపిక 2.

గణన

\( 1(1-2x)^{18}+ax(1-2x)^{18}+bx^{2}(1-2x)^{18} \)

\( x^{3} \) గుణకం: \( (-2)^{3} \: ^{18}C_3 \) + \( a\times(-2)^{2} \times^{18}C_2 \) + \( b\times(-2) \times{^{18}C_1} = 0 \)

⇒ \( \displaystyle \frac{4\times (17\times 16)}{(3\times 2)}-2a\cdot \displaystyle \frac{17}{2}+b=0 \cdots (i) \)

\( x^{4} \) గుణకం: \( (-2)^{4} \: ^{18}C_4 \) + \( a\times(-2)^{3} \times^{18}C_3 \) + \( b\times(-2)^{2} \times{^{18}C_2} = 0 \)

⇒ \( (4\times 20)-2a\cdot \displaystyle \frac{16}{3}+b=0 \cdots (ii) \)

సమీకరణం \( (i) \) మరియు \( (ii) \) నుండి,

⇒ \( 4\left ( \displaystyle \frac{17\times 8}{3} -20\right )+2a \left( \displaystyle \frac{16}{3} -\displaystyle \frac{17}{2}\right )=0 \)

⇒ \( 4\left ( \displaystyle \frac{17\times 8-60}{3} \right )+ \displaystyle \frac{2a(-19)}{6}=0 \)

⇒ \( a=\displaystyle \frac{4\times 76\times 6}{3\times 2\times 19} \)

\( \Rightarrow a=16 \)

\( \Rightarrow b=\displaystyle \frac{2\times 16\times 16}{3}-80=\displaystyle \frac{272}{3} \)

కాబట్టి 4వ ఎంపిక సరైనది