Binomial Expansion MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Binomial Expansion - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Apr 11, 2025
Latest Binomial Expansion MCQ Objective Questions
Binomial Expansion Question 1:
एक द्विपद बंटन में, यदि माध्य 6 है और मानक विचलन √2 है, तो क्रमशः प्राचल n और p के मान क्या हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Binomial Expansion Question 1 Detailed Solution
व्याख्या:
दिया गया है:
⇒ माध्य x = np = 6....(i)
⇒ मानक विचलन = \(\sqrt{npq} = \sqrt2\)...(ii)
(ii) को (i) से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है
⇒ \(\frac{npq}{np} = \frac{2}{6}\)
⇒ q= 1/3
अब
⇒ p = 1 - q = 1- 1/3 = 2/3
(i) से
⇒\(n\times \frac{2}{3} = 6\)
⇒n =9
∴ विकल्प (d) सही है।
Binomial Expansion Question 2:
Comprehension:
निर्देश : निम्नलिखित प्रश्नों के लिए निम्नलिखित पर विचार करें :
मान लीजिये (8 + 3√7) 20 = U + V और (8 - 3√7) 20 = W, जहाँ U एक पूर्णांक है और 0 < V < 1.
(U + V)W का मान क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Binomial Expansion Question 2 Detailed Solution
व्याख्या:
दिया गया है:
(8 + 3√7) 20 = U + V...(i)
(8 - 3√7) 20 = W...(ii)
⇒ (U + V)W =] (8 + 3√7) 20][(8 - 3√7) 20]
= (64 - 63)20 = 120 = 1
∴ विकल्प (b) सही है।
Binomial Expansion Question 3:
Comprehension:
निर्देश : निम्नलिखित प्रश्नों के लिए निम्नलिखित पर विचार करें :
मान लीजिये (8 + 3√7) 20 = U + V और (8 - 3√7) 20 = W, जहाँ U एक पूर्णांक है और 0 < V < 1.
V + W किसके बराबर है?
Answer (Detailed Solution Below)
Binomial Expansion Question 3 Detailed Solution
व्याख्या:
दिया गया है:
(8 + 3√7) 20 = U + V...(i)
(8 - 3√7) 20 = W...(ii)
यहाँ, 0 < W < 1
अब, समीकरण (i) और (ii) को जोड़ने पर, हमें प्राप्त होता है
U + V +W = (8 + 3√7) 20 + (8 - 3√7) 20
= 2[20C0820+ 20C2818. (3√7 )2+........+(3√7)20
⇒ यह एक सम संख्या है।
इसके अलावा, 0 < V < 1, 0 < W < 1 और U एक पूर्णांक है
इस प्रकार, V + W एक पूर्णांक है
V + W = 1
∴ विकल्प (d) सही है।
Binomial Expansion Question 4:
जब 7n - 6n को 36 से विभाजित किया जाता है, तो n = 100 के लिए शेषफल क्या होगा?
Answer (Detailed Solution Below)
Binomial Expansion Question 4 Detailed Solution
व्याख्या:
मान लीजिये p(n) = 7n - 6n
= (6+1)n - 6n
= 1+6n +nC262 + nC363+.......... 6n -6n
= 1+ 62(nC2+ nC3 x 6 +....... 6n-2)
= 1+ 36(100C2 + 100C3 x 6 +........698).....(n =100)
= 1 + 36 k
जहाँ k = (100C2 + 100C3 x 6 +........698)
इस प्रकार जब 7n - 6n को 36 से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल 1 होगा
∴ विकल्प (b) सही है
Binomial Expansion Question 5:
n का वह न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए \((\sqrt[3]{7}+\sqrt[12]{11})^{n}\) के द्विपद प्रसार में पूर्णांक पदों की संख्या 183 है:
Answer (Detailed Solution Below)
Binomial Expansion Question 5 Detailed Solution
सामान्य पद = nCr {71/3}n-r (111/12)r
पूर्णांक पदों के लिए, r, 12 का गुणज होना चाहिए।
∴ r = 12k, जहाँ k ∈ W है
r के कुल मान = 183
इसलिए r का अधिकतम मान = 12(182)
= 2184
n का न्यूनतम मान = 2184
Top Binomial Expansion MCQ Objective Questions
C(n, 1) + C(n, 2) + _ _ _ _ _ + C(n, n) किसके बराबर है?
Answer (Detailed Solution Below)
Binomial Expansion Question 6 Detailed Solution
Download Solution PDFअवधारणा:
(1 + x)n = nC0 × 1(n-0) × x 0+ nC1 × 1(n-1) × x 1 + nC2 × 1(n-2) × x2 + …. + nCn × 1(n-n) × xn
G.P. का nवां पद an = arn−1 है
n पदों का योग = s = \(a (r^n-1)\over(r- 1)\); जहाँ r >1
n पदों का योग = s = \(a (1- r^n)\over(1- r)\); जहाँ r <1
गणना:
C(n, 1) + C(n, 2) + _ _ _ _ _ + C(n, n)
⇒ nC1 + nC2 + ... + nCn
⇒ nC0 + nC1 + nC2 + ... + nCn - nC0
⇒ (1 + 1)n - nCo
⇒ 2n - 1 = \(\rm 2^n - 1\over 2-1\) = 1 × \(\rm 2^n - 1\over 2-1\)
G.P योग = a × \(\rm r^n - 1\over r-1\), के साथ इसकी तुलना करना हमें a = 1 और r = 2 मिलता है
∴ 2n - 1 = 1 + 2 + 22 + ... +2n-1 जो हमें कुल में n पद देगा।
(1 + x)2n के विस्तार में पहले और अंतिम पदों के गुणांक का योग क्या है, जहां n एक प्राकृतिक संख्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Binomial Expansion Question 7 Detailed Solution
Download Solution PDFअवधारणा:
\(\rm ^n C_r = {n!\over(r!(n - r)!)}\)
(1 + x)n = nC0 × 1(n-0) × x 0+ nC1 × 1(n-1) × x 1 + nC2 × 1(n-2) × x2 + …. + nCn × 1(n-n) × xn
गणना:
दिया गया विस्तार (1 + x)2n है
= 2nC0 ×1(2n-0) × x0 + 2nC1 ×1(2n-1) × x1 + ... + 2nC2n ×1(2n-2n) × x2n
पहला पद = 2nC0 ×1 × 1 = 1
अंतिम पद = 2nC2n ×1 × x2n = 1 × x2n = x2n
⇒ योग = 1 + x2n
1 का गुणांक = 1, x2n का गुणांक = 1
∴ तो, गुणांकों का योग = 1 + 1 = 2
यदि (1 + x)m के द्विपद प्रसरण में तीसरा पद (-1/8)x² है, तो m का परिमेय मान क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Binomial Expansion Question 8 Detailed Solution
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(1 + x)n का प्रसरण:
\(\rm (1+x)^n = 1+nx+\frac{n(n-1)}{2!}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3 +....\)
गणना:
दिया गया है: (1 + x)m के द्विपद प्रसरण में तीसरा पद (-1/8)x² है।
\(\rm (1+x)^m= 1+mx+\frac{m(m-1)}{2!}x^2+\frac{m(m-1)(m-2)}{3!}x^3 +....\)
इसलिए, (1 + x)m के द्विपद प्रसरण में तीसरा पद\(\rm \frac{m(m-1)}{2!}x^2\) है।
\(\rm \frac{m(m-1)}{2!}x^2\) = (-1/8)x2
⇒ \(\rm \frac{m(m-1)}{2}= \frac {-1}{8}\)
⇒ 4m2 - 4m + 1 = 0
⇒ (2m - 1)2 = 0
⇒ 2m - 1 = 0
∴ m = \(\frac 12\)
\(\rm (4-5x^2)^{-1/2}\) के विस्तार में x2 का गुणांक क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Binomial Expansion Question 9 Detailed Solution
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सामान्य पद: (x + y)n के विस्तार में सामान्य पद निम्न द्वारा दिया गया है
\(\rm {T_{\left( {r\; + \;1} \right)}} = \;{\;^n}{C_r} \times {x^{n - r}} \times {y^r}\)
(1 + x)n का विस्तार:
\(\rm (1+x)^n = 1+nx+\frac{n(n-1)}{2!}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3 +....\)
गणना:
खोजने के लिए: \(\rm (4-5x^2)^{-1/2}\) के विस्तार में x2 का गुणांक \(\rm (4-5x^2)^{-1/2} = 4^{-1/2}\left(1-\frac{5}{4}x^2 \right )^{-1/2}\\ \text{As we know}\;\rm (1+x)^n = 1+nx+\frac{n(n-1)}{2!}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3 +....\\\therefore 4^{-1/2}\left(1-\frac{5}{4}x^2 \right )^{-1/2} = 2^{-1}\left[1 + \left(-\frac{5}{4}x^2 \right ) \times (\frac{-1}{2}) + ... \right ]\)
अब, विस्तार में x2 का गुणांक = \(2^{-1} \times \frac{-5}{4} \times \frac{-1}{2} = \frac{5}{16}\)
\(\displaystyle\sum_{r=0}^n \)2r C(n, r) किसके बराबर है?
Answer (Detailed Solution Below)
Binomial Expansion Question 10 Detailed Solution
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(x + y)n का द्विपद प्रसरण निम्न द्वारा दिया जाता है
(x + y)n = nC0xn + nC1xn-1y + nC2xn-2y2+.....+ nCn-1xyn-1 + nCnyn
गणना:
दिया गया है, \(\displaystyle\sum_{r=0}^n\)2r C(n, r)
व्यंजक का प्रसार करने पर,
⇒ nC020 + nC1 21 + nC222+.....+ nCn-12n-1 + nCn2n
⇒ nC01n 20 + nC1 1n-1 21 + nC21n-2 22+.....+ nCn-1 2n-1 + nCn2n
द्विपद प्रसरण की तुलना करने पर x = 1 और y = 2
⇒ \(\displaystyle\sum_{r=0}^n\)2r C(n, r) = (1 + 2)n
⇒ \(\displaystyle\sum_{r=0}^n\)2r C(n, r) = 3n
∴ सही विकल्प (2) है।
(x + y + z)10 के विस्तार में पदों की संख्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Binomial Expansion Question 11 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
- (x1 + x2 + x3 +......+ xr)n के विस्तार में पदों की संख्या = \(^{n+r-1}C_{n}\) है, जहाँ n = विस्तारित किए जाने वाले पद का घातांक, r = विस्तारित किए जाने वाले पदों की संख्या
- \(^{n}C_{r}=\frac{n!}{(n-r)!~r!}\)
व्याख्या:
(x + y + z)10 में पदों की संख्या= \(^{10+3-1}C_{10}\) (चूंकि, n = 10 और r = 3)
⇒ \(^{12}C_{10}\)
अतः \(^{12}C_{10}=\frac{12!}{(12-10)!~10!}\)
\( \Rightarrow ^{12}C_{10}=66\)
यदि 4× nC5 = 9 × n-1C5 है तो n का मान क्या होगा?
Answer (Detailed Solution Below)
Binomial Expansion Question 12 Detailed Solution
Download Solution PDFप्रयुक्त सूत्र:
\(^nC_r=\frac{n!}{r!(n-r)!}\)
n! = n × (n - 1) × (n - 2).......3 × 2 × 1
गणना:
दिया गया है कि,
4 × nC5 = 9 × n-1C5
उपरोक्त सूत्र का प्रयोग करने पर
\(4×\frac{n!}{5!(n-5)!}=9×\frac{(n-1)!}{5![(n-1)-5]!}\)
⇒ \(4×\frac{n× (n-1)!}{5!(n-5)(n-6)!}=9×\frac{(n-1)!}{5![(n-6]!}\)
⇒ \(\frac{4n}{(n-5)} = 9\)
⇒ 9n - 45 = 49
⇒ 5n = 4n
⇒ n = 9
(x – 1/x) 12 में अंत से 9वां पद क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Binomial Expansion Question 13 Detailed Solution
Download Solution PDFधारणा:
हमारे पास है (x + y) n = nC0 xn + nC1 xn-1 . y + nC2 xn-2. y2 + …. + nCn yn
- सामान्य पद: (x + y)n के विस्तार में सामान्य पद निम्न द्वारा दिया जाता है
- \({{\rm{T}}_{\left( {{\rm{r\;}} + {\rm{\;}}1} \right)}} = {\rm{\;}}{{\rm{\;}}^{\rm{n}}}{{\rm{C}}_{\rm{r}}} \times {{\rm{x}}^{{\rm{n}} - {\rm{r}}}} \times {{\rm{y}}^{\rm{r}}}\)
- (x + y)n के द्विपदीय विस्तार में अंत से rवां पद (n – r + 2)वां पद है।
सूचना:
- (x + y)n के द्विपदीय विस्तार में अंत से rवां पद = (y + x)n के द्विपदीय विस्तार में प्रारंभ से rवां पद।
- अगर हम x → y पद को अदल-बदल करते हैं तो यह प्रारंभ से rवां पद देगा।
गणना:
हमें (x – 1/x) 12 में अंत से 9वां पद ढूंढना है
हम जानते हैं कि अंत से rवां पद मतलब प्रारंभ से (n – r + 2)वां पद।
तो अंत से 9वां पद = प्रारंभ से [12 – 9 + 2]वां पद = प्रारंभ से 5वां पद
सामान्य पद: \({{\rm{T}}_{\left( {{\rm{r\;}} + {\rm{\;}}1} \right)}} = {\rm{\;}}{{\rm{\;}}^{\rm{n}}}{{\rm{C}}_{\rm{r}}} \times {{\rm{x}}^{{\rm{n}} - {\rm{r}}}} \times {{\rm{y}}^{\rm{r}}}\)
\(\Rightarrow {{\rm{T}}_5} = {\rm{\;}}{{\rm{T}}_{\left( {4 + {\rm{\;}}1} \right)}} = {\rm{\;}}{{\rm{\;}}^{12}}{{\rm{C}}_4} \times {{\rm{x}}^{12 - 4}} \times {\left( {\frac{{ - 1}}{{\rm{x}}}} \right)^4}\)
\( = {{\rm{\;}}^{12}}{{\rm{C}}_4} \times {{\rm{x}}^8} \times \frac{1}{{{{\rm{x}}^4}}}\)
= 12C4 x4
\(\left(3x^2 + \frac 1 x\right)^{30}\) के विस्तार में x12 का गुणांक क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Binomial Expansion Question 14 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
(x + y)n का विस्तार द्विपद विस्तार द्वारा दिया गया है। विस्तार होगा
(x + y)n = nC0 xn + nC1 xn-1 y + nC2 xn-2 y2 + ... + nCr xn-r yr + ... + nCn yn;
सामान्य पद इसके द्वारा दिया गया है
Tr = nCr xn-r yr ;
गणना:
दिया गया विस्तार \(\left(3x^2 + \frac 1 x\right)^{30}\) है
माना कि rवें पद में x12 है और गुणांक A है;
⇒ Tr = A x12;
दिए गए विस्तार का सामान्य rवां पद होगा
T r = \(^{30}C_r (3x^2)^{30-r}(\frac {1}{x})^{r} \)
⇒ Tr = 30Cr 330-r × x60-2r × x-r = 30Cr 330-r × x60-3r
12 के साथ x का घात बराबर करके,
⇒ 60 - 3r = 12 ⇒ r = 16
अब गुणांक होगा
A = 30Cr 330-r = 30C16 314;
(1 + x + x2)-3 के विस्तार में x6 का गुणांक क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Binomial Expansion Question 15 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
द्विपद प्रसरण:
- (a + b)n = C0 an b0 + C1 an-1 b1 + C2 an-2 b2 + … + Cr an-r br + … + Cn-1 a1 bn-1 + Cn a0 bn, जहाँ C0, C1, …, Cn, Cr = nCr = \(\rm \frac{n!}{r!(n-r)!}\) के रूप में परिभाषित द्विपद गुणांक हैं।
- (1 - x)-n = 1 + nC1 x + n+1C2 x2 + n+2C3 x3 + ....
बीजगणितीय सर्वसमिका:
a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)
गणना:
हमें दिया गया है कि 13 - x3 = (1 - x)(1 + x + x2)
⇒ 1 + x + x2 = \(\rm{1-x^3\over1-x}\)
अब, (1 + x + x2)-3 को निम्न रूप में लिखा जा सकता है:
= \(\rm\left({1-x^3\over1-x}\right)^{-3}\)
= (1 - x)3 × (1 - x3)-3
= (1 - 3x + 3x2 - x3)(1 + 3C1 x3 + 4C2 x6 + ... x का उच्चतम घांत)
x6, (1 और 4C2 x6) तथा(-x3 और 3C1 x3) को गुणा करके प्राप्त होगा।
∴ x6 का गुणांक: (1 × 4C2) + (-1 × 3C1) = 6 - 3 = 3 होगा।